C.{x|-2WxW3}D.{x|3Wx<4}
2.“a>l”是“（a-l）（a—2）<0”的（）
A,充分不必要条件B.必要不充分条件
C,充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知变量x,y之间的一组数据如下表.若y关于x的线性回归方程为y人=0.7x+aA,则a八=（）
X
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A.0.1B,0.2
C.0.35D.0.45
4.已知a,b为不同直线，a,B为不同平而，则下列结论正确的是（）
A.若a_La,b_La,则b〃aB.若a,bua,a/73,b〃B,则（1〃0
C.若4/ab_LB,a〃b,则D.若anp=b,aua,a±b>则a_L。
5.高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）
A.15种B.90种C.120种D.180种
6.已知。
£（亏，n）,tan。
=—3,则sin（a—"干）等于（）
A.当b.平C.卓D.|
7.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：
贝克）与时间t（单位：
天）满足函数关系P（t）=P°2一主，其中P。
为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为一冬肝则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）
8
A.20天B.30天C.45天D.60天
若f（x）=e，iOe「x,则有（）
A.函数y=f（x）的图象关于x=l对称B,函数f（x）在R上单调递增23
C.函数f（x）的最小值为2D.f（2J）>f（2b
二、多项选择题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9.中国的华为公司是全球领先的ICT（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：
万元），得到如图的折线图，则下列说法正确的是（）
—■甲店评411黑一乙店港也沏
A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在［31,32］内
B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小
D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7,8,9月份的总营业额甲店比乙店少
10.若非零实数x,y满足x>y,则下列判断正确的是（）
A.B.x3>^C.（；）x>（3）yD.lii（x—y+l）>0
11.已知函数f（x）=cos（3x+（p）（3>0,OV（P〈5）的最小正周期为n,其图象的一条对称轴为x=答，贝女）
JI
A.4=y
B.函数y=f（x）的图象可由y=sm2x的图象向左平移高个单位长度得到
C.函数f（x）在［0,亍］上的值域为［-1,坐］
D.函数f（x）在区间［一叫一勺上单调递减
OWxWl,af（x—1）,
其中a£R.F列关于函数
x>l,
B.当|a|vl时,函数f（x）的值域为［-2,2］
2n—1
-2-
C.当a=2且x£[n-l,n]（n£N.）时，f（x）=2丁】（2—4
D.当a>0时，不等式f（x）W2ax-；在［0,+s）上恒成立
第H卷（非选择题共90分）
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
2
13.（x2+;）5的展开式中x4的系数为.
14.若一直角三角形的而积为50,则该直角三角形的斜边的最小值为.
15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（l-x）=f（l+x）.若f（l）=l,贝ijf（l）+f
（2）+负3）+…+f（2021）=.
16.已知菱形ABCD边长为3,NBAD=60°,点E为对角线AC上一点，AC=6AE.将AABD沿BD翻折到AABD的位置，E记为E,且二面角A'BDC的大小为120°,则三棱锥ABCD的外接球的半径为；过E作平面a与该外接球相交，所得截而面积的最小值为.
四、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知正三棱柱ABCAiBCi的底面边长为2,点E,F分别为棱CG与A】Bi的中点.
（1）求证：
直线EF〃平面AiBC：
（2）若该正三棱柱的体积为2班,求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.
18.（本小题满分12分）
在①csinB=bsin巴。
旦，②cos8=当^：
③bcosC+csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答.
问题：
ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=y,点D是边AB上一点,AD=5,CD=7,且,试判断AD和DB的大小关系.
注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分12分）
己知函数f（x）=x3—3x?
+3bx+c在x=0处取得极大值1.
（1）求函数y=f（x）的图象在x=l处的切线的方程；
（2）若函数9x）在。
t+2］上不单调,求实数t的取值范围.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD〃AB,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,侧面PAD,平面ABCD,PA=PD=2.
（1）求证：
BD±PA：
（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为1,在1上是否存在点N,使二面角PDCN的余弦值为:
？
若存在，请确定点N位置：
若不存在，请说明理由.
2L（本小题满分12分）
2020年10月16日是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤,通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m（me[70,100]）,其质量指标等级划分如下表：
质量指标值
ill
[70,75）
[75,80）
[80,85）
[85,90）
[90,100]
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A,求事件A发生的概率：
（2）若从质量指标值mN85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值[90,95）的件数X的分布列及数学期望：
（3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：
元）的关系如下表（l质量指标值m
[70,75）
[75,80）
[80,85）
[85,90）
[90,100]
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
等
试分析生产该产品能否盈利？
若不能，请说明理由：
若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：
hi2七0.7,In541.6）.
22.（本小题满分12分）
己知函数f（x）=xex—a（hix+x）.
（1）当a>0时，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x>0恒有不等式f（x）21成立.
①求实数a的值；
②求证：
x2ex>（x+2）111x+2sinx.
2021届高三年级第一学期期中考试（潍坊）
数学参考答案及评分标准
1
ACD
.C2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.A9.ABD10.BD11.BC12
23.4014.10<215.116.粤5n（第一空2分，第二空3分）
17.
（1）证明：
取BB】中点D,连接ED.FD,（1分）
在平行四边形BCCiBi中，点E为CCi的中点，点D为BBi的中点,所以ED〃CB.
在△B1BA1中，点F为AiBi的中点，点D为BBi的中点，
所以FD〃A】B.（3分）
又ED.FDu平而EFD,EDGFD=D,所以平而EFD〃平面A】BC.
又EFu平面EFD,所以EF〃平面AiBC.（5分）
（2）解：
设AAi=h,\ABCAiBiCi=Saabc・h=乎X4h,所以4h=2&,即h=2，i（6分）
因为平而ABC〃平面AiBiCp
所以EF与平而ABC所成的角即为EF与平面AiBiCi所成的角.
因为CC】_L平而AiBiCi，
所以EF在平而AiBiCi上的射影为CiF,
所以NEFCi为EF与平面A]B】Ci所成的角.（8分）
因为EC产虚，FCi=@,所以EF=4，
所以cosNEFCi=1=华，即EF与平而ABC所成角的余弦值为华.（10分）
18
（2分）
.ft?
：
设AC=x,在4ACD中，由余弦定理可得49=x?
+25-2x5cos卷即X?
—5x—24=o,解得x=8或X=—3（舍去），所以AC=8.（3分）选择条件①：
A+B由正弦定理得sinCsinB=smBsm-5-d分）
A+B因为B£（0,冗），所以sinBHO,所以smC=sin---.（5分）
因为A+B=n—Ct所以sinC=2sinycosy=cosy.（6分）因为Ce（0.n）,所以、£（0,5，所以cos，HO,
C1cnn所以sin万=£,即5=不，C=y（10分）
又A=g,所以4ABC是等边三角形，所以AB=8,（11分）
所以DB=3,故AD>DB.（12分）
选择条件②：
由cosB=耳，得sinB=¥<5分）
因为A+B+C=n,
所以sinC=siii（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
等厚序缗普G分）
ABACAB8
sinsinB即诙=函a。
分）
147
解得AB=10.（ll分）
又AD=5,故AD=DB.（12分）
选择条件③：
因为bcosC+csinB=a,由正弦定理得sinBcosC+sinCsiiiB=siiiA.（4分）
因为A+B+C=n,所以sinBcosC+siiiCsiiiB=sin（B+C）=siiiBcosC+siiiCeosB,所以sinCsiiiB=sinCeosB
因为sinCWO,所以sinB=cosB.（7分）
因为B£（0,又），故B=?
所以NACB=：
2（8分）
ABACAB8
six】C-sinB跳河/r亚'（1°分）
42
解得AB=4（小+1）>10.（11分）
因为AD=5,所以AD19.解：
⑴因为F（x）=3x?
—6x+3b,（1分）
由题意可得｛f（0）=0,f（0）=1,解得b=0,c=l,（3分）
所以f（x）=x3—3x2+l；
经检验，适合题意.
又f（l）=-1,F⑴=-3,（5分）
所以函数y=f（x）图象在x=l处的切线的方程为y—（-1）=-3（x-l）,
即3x+y-2=0.（6分）
（2）因为F（x）=3x?
-6x,
令3x2—6x=0,得x=0或x=2.（8分）
当x<0时，f'（x）>0,函数f（x）为增函数；
当0〈xV2时，f（x）<0,函数f（x）为减函数；
当x>2时，f'（x）>0,函数f（x）为增函数.（9分）
因为函数f（x）在［t,t+2］上不单调，
所以tV0Vt+2或tV2Vt+2,（11分）
所以一2VtV0或020.
（1）证明：
连接BD,BD=）CD2+CB2=2W，AD=2艰，
所以BD2+AD2=AB2,所以AD±BD.（2分）
因为平而PADL5rnnABCD,平面PADG平面ABCD=AD,BDu平面ABCD,所以BD,平面PAD.
因为PAu平面PAD,所以BD，PA.（4分）
（2）解:
延长AD,BC相交于点M,连接PM,
因为MF平面PAD,平而PBC,所以M£L
又PCI,所以PM即为交线1.（5分）
取AB中点Q,连DQ,则DQLDC,
过D在平面PAD内作AD的垂线DH,则DH_L平面ABCD.
分别以DQ,DC,DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（6分）
则P（l,-1,巾）,C（0,2,0）,M（—2,2,0）,D（0,0,0）,
所以侨=（1,-1,g,DC=（0,2,0）.
设平面PDC的法向量为〃,=（x,y,z）,则〃,•氏=0,;//•DP=0,
所以｛y=0,x+事z=0,取〃,=（一皿，0,1）.（8分）
设N（xi，ypzD，PN=XPKL
则（xi—1,yi+1,zi—\/2）=X（—3,3,-2姬），
所以xi=l-33yi=-l+3X,z】=5一娘人，
PN=（l-3k,-1+3入，小一小，）,DC=（0>-2,0）.
设平面NDC的法向量为〃=（X2,%,Z2）,则〃氏=0,〃•标1=0,
所以｛%=0,（1-3X）X2+（小一6）Z2=0，取〃=（5一山入，0,3人-1）,（10
分）
|（一娘）x=x（1一2）+3入-1|1
所以皿加，加尸.山（17）2+（311）2=?
所以取2-10九+3=0,
所以入/或入经检验入=1时，不合题意，舍去.
所以存在点N,点N为PM的中点.（12分）
21.解：
（1）设事件A的概率为P（A）,则由频率分布直方图，可得1件产品为废品的概
率为P=（0.04+002）X5=03,贝ijP（A）=1—©（0.3）3=1-0.027=0.973.（2分）
（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m£[85,90）的频率为0.08X5=0.4：
me[90,95）的频率为0.04X5=0.2：
mE[95,100]的频率为0.02X5=0.1.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，mG[85,90）的有4件，mG[90,95）的有2件，m
S[95,100]的有1件.（4分）
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值mG[90,95）的件数X的所有可能取值为0,1,2,
G2C^Cs4
p（x=o）=@=^,p（x=D=&=7,
所以x的分布列为
X
0
1
2
2
4
1
p
■■MB
Jr
7
7
7
（7分）
所以E（X）=0X,+M+2X；=*（8分）
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示（l<4）：
质量指标值m
[70,75）
[75,80）
[80,85）
[85,90）
[90,100]
利润y
6t
8t
4t
2t
工3e
p
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的利润y=0.3t+0.8t+0.6t+0.8t—0.5e，=2.5t—0.5武1VtV4）.（10分）
则歹=2.5—0.5-令父=2.5—0.53=0,得t=ln5,
故当t£（l,In5）时，y，>0,函数y=2.5L0.5e，单调递增；
当t£（ln5,4）时，y'<0,函数丫=2勺一0.54单调递减.
所以当t=ln5时，y取得最大值,为2.5X35-0.5/5=15
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5%L6时，每件产品的利润取得最大值1.5元.（12分）
22.
（1）解：
（解法l）f（x）的定义域为（0,4-oo）.（1分）
aa
由题意f（x）=（x+l）（ex--）=（x+l）——,
XX
令xex—a=0i得a=xex>
令g（x）=xe",gf（x）=ex+xex=（x+l）ex>0,
所以g（x）在x£（0,+8）上为增函数，且g（0）=0,
所以auxH有唯一实根，即f（x）=0有唯一实根，设为xo，即a=xoexo，（3分）
所以f（x）在（0,xo）上为减函数，在（xo,+8）上为增函数，
所以f（x）n.in=f（xo）=xoexo-a（liixo+xo）=a—ahia.（5分）
（解法2）f（x）=xeX-a（lnx+x）=elnex-a（lnx+x）（x>0）.
设t=lnx+x,则t£R.
记（p（t）=et-at（t£R）,故f（x）最小值即为cp（t）最小值.（3分）
犷（t）=e」a（a>0）,
当t£（-8,ma）时，<1/（t）VO,小（t）单调递减，
当t£（lna,+8）时，犷（t）>0,小（t）单调递增，
所以f（x）min=（p（lna）=e!
na—alna=a—alna,
所以f（x）的最小值为a—alaa.（5分）
（2）①解：
当aWO时，f（x）单调递增，f（x）值域为R,不适合题意；（6分）
当a>0时，由⑴可知fOdnLa-alna.
设O）t所以当a£（O,1）时，由'（a）>0,d）（a）单调递增，
当a£（l,+8）时，犷Q）VO,4）（a）单调递减，
所以（p（a）皿=（p（l）=l,即a—aln1.（7分）
由己知f（x）21恒成立，所以a—alna^L
所以a—alna=L
所以a=l.（8分）
②证明：
由①可知xex—liix-x^L因此只需证x2+x>21nx+2siiix.
因为InxWx—1,只需证x?
+x>2x—2+2sinx,即x2—x+2>2sitix.（10分）
当x>l时，x2—x+2>2^2sinx,结论成立：
当x£（0,1］时，设g（x）=x?
-x+2-2smx,
g'（x）=2x-1—2cosx,
当x£（0,1］时，g'（x）显然单调递增.
g'（x）^g,（l）=l-2cosl<0,故g（x）单调递减，
g（x）^g（l）=2—2sml>0»即x2—x+2>2sitix.
综上，结论成立.（12分）
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