高斯《算术研究》同余理论历史研究.docx

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高斯《算术研究》同余理论历史研究

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高斯《算术研究》同余理论历史研究

（论文题目）.

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与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名∶

年月日

第一章绪论…………………………………………………

（1）

1.1引言……………………………………………………………

（1）

1.2高斯生平简介……………………………………………………（3）

第二章《算术研究》内容简介……………………………（6）

2.1一般同余及一次同余……………………………………………（6）

2.2幂剩余……………………………………………………………（8）

2.3二次剩余…………………………………………………………（8）

2.4二次型及其应用…………………………………………………（9）

2.5分圆问题………………………………………………………（11）

第三章费马小定理…………………………………………（13）

3.1费马小定理的发现……………………………………（14）

3.2费马小定理的证明及推广……………………………………（16）

3.3费马小定理与素性判别………………………………………（20）

第四章二次互反律的起源及发展…………………（26）

4.1费马之前的数学家与二次互反律有关的工作………………（27）

4.2费马的工作……………………………………………………（27）

4.3欧拉的工作……………………………………………………（32）

4.4拉格朗日的工作………………………………………………（34）

4.5勒让德的工作…………………………………………………（36）

4.6高斯的工作……………………………………………………（39）

4.7二次互反律的发展……………………………………………（41）

结语…………………………………………………………（45）

参考文献……………………………………………………（47）

高斯《算数研究》同余理论历史研究

摘要

高斯的《算术研究》是数论史上的一部经典著作，它的出版标志着近代数论研究的正式开始。

同余理论是初等数论的核心内容之一，蕴含着大量的数论所特有的思想、概念和方法。

国内外系统研究高斯同余理论的资料比较匮乏，一些相关论述大都出现在综合性的书籍中，倾向于按照现代数学的习惯给出一般性的解释，且多为简要性介绍，读者难以了解其精髓所在。

鉴于《算术研究》在数论发展史上的重要性以及同余理论在初等数论中的核心地位，本文重点研究费马小定理和被高斯誉为"黄金定律"的二次互反律的起源和发展。

本文主要做了以下工作∶

（1）首先回顾了高斯之前的数论研究状况，在系统分析高斯的科学与数学成就的基础上，探讨了《算术研究》出现的数学背景和高斯的同余理论;

（2）通过对原始文献的系统解读，深入分析了费马小定理发现发展的历程以及在素性检验中的重要作用，指出《算术研究》前三节是高斯在总结并发展了前人对该定理研究的基础上形成的，并揭示了费马小定理在初等数论定理证明中的核心地位;

（3）以二次互反律的两个主要来源为线索，详细考察了费马，欧拉，拉格朗日，勒让德，直到高斯的相关工作，揭示了该定律对十九世纪数论发展的巨大推动作用。

通过原始文献的深入分析，研究表明∶一般互反定律的寻求可能是代数数论发展的最主要动力，而通常文献中主要强调了费马大定理的作用。

关键词∶高斯，算术研究，同余理论，费马小定理，二次互反律

AResearchoftheHistorythecongruenttheoryofGauss's

DisquisitionesArithmeticae

Abstract

Gauss'sDisquisitionesArithmeticaeisaclassicworkinthehistoryofnumbertheory.Itmarkedthebeginningofmodernnumbertheory.Thecongruenttheoryisoneofthecorecontentsofnumbertheory,containingagreatdealofspecialthought,conceptandmethod.ThethoughtsofthecongruenttheoryarenotstudiedsystematicallyinChineseandwesternworksuntilnow.Somecorrelativecontextsoftenappearinthecomprehensivebooksonly,mostofwhicharebriefintroductions.Itisdifficulttounderstanditsessenceforthereader.OwingtotheimportanceofDisquisitionesArithmeticaeinhistoryofnumbertheoryandthecorepositionofthecongruenttheoryinelementarynumbertheory,thispaperistofocusonthefollowingtwotopics:

theoriginanddevelopmentofFermat'slittletheoremandthequadraticreciprocitylawwhichwashailedasgoldenbyGauss.Mainworkfollows:

（1）Inthefirstpartofthispaper,ahistoricaldevelopmentofthenumbertheorybeforeGaussisreviewed.BasedonthesystematicanalysisofGauss'sworkinscienceandmathematics,inquiryintothemathematical

backgroundthatDisquisitionescongruenttheory;

（2）Thedevelopmentprocess

Arithmeticae

ofFermat's

importantfunctioninthecompositenesstest

appearsandGauss's

littletheoremanditsiselaboratedthrough

originalliterature.wethinkthatthefirstthreesectionofDisquisitionesArithmeticaeisasummaryanddevelopmentforancestors'workaboutFermat'slittletheorem,showthatFermat'slittletheoremplayedanimportantroleintheelementarynumbertheory;

（3）Withthetwomainsourcesofthequadraticreciprocitylaw,

investigatingFermat,Euler,Lagrange,Legendre,untiltherelatedworkofGauss,thewaytorealizethelaw'shugepushtothedevelopmentof

algebraicnumbertheoryin19centuries.Byreviewingcarefullyoriginalliterature,itispointedoutthatpursingamoregeneralreciprocitylawmabythemostmotiveofthedevelopmentofalgebraicnumbertheory,usualmaterialmainlyemphasizesthefunctionofFermat'slasttheorem.

Keywords:

Gauss,DisquisitionesArithmeticae,congruenttheory,

Fermat'slittletheorem，quadraticreciprocitylaw

第一章绪论

1.1引言

数论可以说是最古老的数学分支之一，主要研究整数的性质及其相互关系。

古希腊人对数论的发展做出了重要贡献。

从毕达哥拉斯（Pythagoras，约前560-约前480）时代开始，人们就注重发掘数的神秘关系，其宗旨就是"万物皆数"。

在欧几里得（Euclid，生平不详）的《几何原本》（Elements）里，第七、八、九卷讨论的是初等数论，其中就有著名的算术基本定理，给出了求两个或多个整数的最大公因子的"欧几里得算法"，讨论了比例、几何级数等。

后来，丢番图（Diophantus，生平不详）在其《算术》（Arithmetica）中又研究了大量特殊的不定方程，但丢番图的研究停留在算术阶段，缺乏数论特色。

我国古代，许多数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大公约数、

整勾股数，著名的中国剩余定理等等。

古希腊数学衰落之后，经过了一千多年的沉寂，黑暗时期过后，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci，约1175-1250）的《算经》（Liberabbaci），标志着数论研究逐渐开始复苏。

文艺复兴时期几乎所有的代数学家都在数论方面提出一些猜测，或指出一些事实。

但近代数论的起源应该归功于法国数学家费马（PierredeFermat，1601-1665），正是他广泛而可观的工作给后来的数学家指明了研究的方向。

到了十八世纪，瑞士数学家欧拉（L.eonhardEuler，1707-1783）研究了费马提出的所有猜测包括著名的费马小定理和费马大定理，他的一系列成果奠定了近代数论作为一个独立数学分支的基础。

法国数学家勒让德（Adrien-MarieLegendre，1752-1833）在1785年发表的论文"不定分析的研究"（Recherchesd'analyseindéterminée）中第一次给出了二次互反律的确切公式，引入了著名的"勒让德符号"。

可以说，十九世纪之前数论的研究处在一种无系统的状态之中，几个优秀的数学家也获得了一些杰出但却是零散、孤立的结果。

1801年，年仅24岁的高斯（CarlFriedrichGauss，1777-1855）出版了巨著

《算术研究》（DisquisitionesArithmeticae），他把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和研究的方法进行了分类，还引进了新的方法。

《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它的出版标志着数论研究的全新时代的开始。

因此，有必要对《算术研究》进行系统的历史研究，但由于其内容博大精深，故只对其中同余理论的两个主题进行讨论。

《算术研究》主要包含了三个方面的内容∶同余理论，二次型理论以及分圆理论。

同余概念的引入简化了数论中的许多问题，同余理论是初等数论的核心内容之一，其中蕴含着大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现是数论成为一个独立的数学分支的标志。

中国剩余定理（Chineseremaindertheorem），费马小定理（Fermat'slittletheorem），二次互反律（Quadranticriciprocitylaw）构成了同余理论的基本框架。

费马小定理是初等数论的基本定理，在定理的证明中起着核心地位;二次互反律反映了二次剩余特征的奇妙性质，对它的研究引发出许多重要成果。

这是选择这两个主题的原因。

数论史的研究，国内外有很多研究成果，据作者已掌握的资料看，其中以书

籍形式出现的主要有以下几种∶

狄克森（LeonardEugeneDickson，1874-1954）的《数论史》（Historyof

TheoryofNumbers（I，IⅡ，IⅢI））详尽列举了1950年代以前数论学家的研究成果，是一本重要的数论历史研究文献，但其中没有专门研究二次互反律。

李文林主编的《数学珍宝——历史文献精选》中节录了丢番图的《算术》，费马，欧拉等人的部分成果，《算术研究》同余理论的第一节的部分内容，以及高斯关于二次互反律的第三个证明。

韦依（AndreéWeil，1906-1998）的"NumberTheory∶AnApproachThroughHistoryfromHammurapitoLegendre"，结合现代术语对数论的部分内容（以费马和欧拉的工作为主）进行了历史研究。

FranzLemmermeyer的《互反律∶从欧拉到艾森施坦因》（ReciprocityLaws∶FromEulertoEistenstein）介绍了二次互反律但主要是研究高次互反律的发展历史。

吴文俊主编的《秦九韶与<数书九章>》是一部论文集，收录了31篇优秀论文，是中国剩余定理的重要研究文献。

这些书籍和论文对数论史的研究起了很大的推动作用，但都没有专题讨论高斯《算术研究》的同余理论。

由于水平和资料有限，本论文参考文献大多为英、中资料，在此基础之上，主要对费马小定理和二次互反律作一历史研究，希望能给出其发展的一个清晰脉络，有助于从历史的角度对这两个主题有深刻的认识和理解。

1.2高斯生平简介

高斯1777年4月30日生于德国不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。

1784年高斯进入圣.凯瑟琳小学，幸运的是，布特纳（J.G.Büttner）是一位称职的好老师。

布特纳的助手巴特尔斯（M.Bartels，罗巴切夫斯基的老师）是一位数学爱好者，比高斯大八岁，经常和高斯讨论数学问题，因此，高斯在小学时就打下了坚实的算术基础。

1788年高斯进入预科学校，在这里，高斯掌握了当时科学研究的通用语言拉丁语。

少年高斯的天赋引起了当时不伦瑞克的统治者费迪南德（CarlWilhelmFerdinand）公爵的注意，1791年，不伦瑞克卡罗琳学院的教授齐默曼

（E.A.W.Zimmermann）向费迪南德公爵引荐了高斯，公爵决定资助高斯完成全部学业。

1792年，高斯进入不伦瑞克的卡罗琳学院学习。

由于经济上的独立，使高斯能全身心投入到学习中去。

在三年的学习期间，高斯阅读了牛顿（IsaacNewton，1643-1727），欧拉，拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736-1813），雅各布.伯努利（JacobBernoulli，1654-1705）等人的数学著作，对多个数学问题进行思考，并得出许多重要结论。

1792年，考虑了欧几里得平行公设问题以及素数分布问题，给出一个素数定理的猜想;1794年发现了算术-几何平均与幂级数的联系，同一年发现了现在数理统计学中最常用的工具最小二乘法;1795年，发现了二次互反律，但没给出证明。

1795年，高斯离开故乡进入哥廷根大学（但公爵更希望能够他去本地的海

尔姆斯泰特（Helmsted）大学），结识了数学教授卡斯特纳（W.Kastner），年长他两岁的波约（WolfgangvonBolyai），他们主要研究几何基础。

就在这一年，高斯解决了一个两千多年悬而未决的难题∶正多边形的尺规作图问题，给出可用尺规作出的正多边形的条件。

从此高斯决定献身科学，迎来了他第一个创作高峰。

1796年4月8日，高斯得到二次互反律的第一个严格证明。

1798年秋高斯离开了哥廷根回到不伦瑞克。

哥廷根的三年时间里，高斯几乎已经形成了他以后二十五年发表的许多重要成果的基本思想

1799年高斯以他的博士论文"单复变量有理整函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明"（Demonstrationovatheorematisomnemfunctionemalgelraicamrationalemintegramuniusvariabilisinfactoresrealsprimivelsecundigradusresolviposse，即代数基本定理（FundamentalTheoremofAlgebra）的证明）获得海尔姆斯泰特大学的博士学位。

此后他又给出代数基本定理的三个证明。

在这些证明中，高斯着眼于代数方程根的存在性，这个方式开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径。

1801年《算术研究》正式出版，这部著作早在四年前就已经完成。

1801年初，意大利西西里岛天文台台长皮亚兹（G.Piazzi，1746—1826）

发现一颗小行星，但却又失去了它的踪迹，人们将其命名为"谷神星"（Ceres）。

高斯根据皮亚兹的观测数据，运用自己创造的行星椭圆轨道计算理论，计算出该行星的运行轨道，并指出它将何时再次出现。

1801年12月7日夜，德国天文学家扎赫（F.Zach）在高斯预言的时间和地点，用望远镜再次发现"谷神星"。

《算术研究》和"谷神星"预报使高斯在科学界一举成名。

1802年初，高斯被俄国圣彼得堡科学院将聘为外籍院士，并获得邀请出任圣彼得堡天文台台长，但由于多方面原因高斯仍留在了家乡。

1803年6月高斯访问了奥尔伯（W.0lbers），后者建议高斯出任正在筹备中的哥廷根天文台台长，但未能成行。

1805年10月9日，高斯与约翰娜（JohannaOsthoff，1780-1809）结婚。

1806年，高斯的资助人费迪南德公爵在与法军决战中战死。

出于经济上的考虑，1807年，高斯出任哥廷根天文台台长，从1807年到1855年逝世，他一直担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长。

1809年10月，妻子在生第三个孩子时难

产去世。

1810年8月高斯与约翰娜的密友米娜（MinnaWaldeck，1788-1831）

成婚。

1809年，高斯的第二本巨著《天体沿圆锥曲线绕日运动的理论》（heoriamotuscorporumcoelestiuminsectionibusconicisSolemambientium）一书正式出版，一共两卷。

第一卷主要讨论微分方程，圆锥曲线，椭圆轨道;第二卷主要讨论了在各种观测情况下，如何计算行星轨道的方法和天体摄动理论。

这部著作给高斯赢得巴黎科学院"优秀著作和最佳天文观测奖"。

高斯对天文学理论的贡献以1818年发表的论文"确定行星对任意点的引力，假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”（Determinatioattra-ctionisquaminpunctumquodvispositionisdataeexerceretplanetasieiusmassapertotamorbitamrationetemporis,quosingulaepartesdescribuntur,uniformiteressetdispertita）为结束的标志，但他坚持天文观测直到70岁。

1816年，应丹麦政府邀请，高斯对丹麦大地进行测量;1820年，汉诺威政府批准高斯对汉诺威全境进行大地测量，直到1847年完成。

高斯进行大地测量的十年是他第二个创作高峰期。

1828年，高斯集十年测地学理论之大成，出版了《曲面的一般研究》（Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurva），提出内蕴几何的思想。

从1828年起，高斯开始进入物理科学，与德国电磁学家韦伯（W.Weber，1804～1891）合作发明了电磁电报，对地磁学上两人的合作也做出了重大贡献;他还关注过几何光学的理论问题。

从1840年代开始，高斯几乎退出了科学研究，只从事例行的天文观测。

1855年2月23日高斯去世。

高斯曾经被形容为∶"能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才"，数学史家经常将他和阿基米德（Archimedes，前287-前221），牛顿并列为从古至今最伟大的数学家。

③

第二章《算术研究》内容简介

高斯将《算术研究》作为自己和费迪南德公爵"对最神圣的科学所做的意义深远的贡献的见证""献给公爵，以感谢他对自己多年的支持，以及对该书出版所做的帮助。

在自序一开头高斯便明确了这本书的研究对象∶整数，分数将很少提及，无理数不包括在内。

在区分了初等算术与高等算数之后，高斯说∶本书仅研究高等算术。

简单评论了欧几里德和丢番图以及后来的费马，欧拉，拉格朗日，勒让德等人的开创性工作，解释自己在了解后面四人的相关工作之前就已经完成了本书的前四节。

最后，高斯希望这本书能为新的数论研究指明方向。

2.1一般同余及一次同余

同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，欧拉，拉格朗日等人已经在使用这个概念，但引入现代的符号"="表示同余并予以系统研究的却是高斯。

同余概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题。

它的引入使得无限的整数被划分为有限类，在一定意义下，一个特殊类中所有的数本质上是一样的，因为它们在被模除时有同样的余数。

更重要的，它是数学中第一次引进的人为创造的抽象对象，从这时起，大量的新对象进入数学;而等价类的概念不仅使过去的奇偶性概念公式化，而且它本身也像数一样成为可计算的对象，称之为模运算。

在第一节中，高斯给出了同余的定义，最小剩余等概