空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案2.docx
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空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案2
空间向量在立体几何中的应用
【考纲说明】
1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；
2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；
3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；
【知识梳理】
一、空间向量的运算
1、向量的几何运算
（1）向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即
空间向量数量积的性质：
①；
②；
③．
（2）向量共线定理：
向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．
2、向量的坐标运算
（1）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则
，，
，
；
，．
（3）夹角公式：
1
（4）两点间的距离公式：
若，，则
二、空间向量在立体几何中的应用
4.利用空间向量证明平行问题
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
5.利用空间向量证明垂直问题
对于垂直问题，一般是利用进行证明；
6.利用空间向量求角度
（1）线线角的求法：
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[0
0,900]）
（2）线面角的求法：
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为
（3）二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或
其补角的大小（如图）
7.利用空间向量求距离
（1）平面的法向量的求法：
设n=（x,y,z），利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取
其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
2
（2）利用法向量求空间距离
（a）点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量。
（b）直线与平面之间的距离：
，其中，是平面的法向量。
（c）两平行平面之间的距离：
，其中，是平面的法向量。
【经典例题】
【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-ABCD中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）
1111
（A）2
3
（B）3
3
（C）2
3
（D）6
3
【解析】D
【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）
（A）
3
4
（B）
5
4
（C）
7
4
（D）
3
4
S
F
【解析】D
C
E
B
【例3】（2012全国卷）三棱柱
ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，
111
A
BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
【解析】
6
6
3
【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=，3D为AB的中点。
（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。
【解析】5
1
3
【例5】（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同
A
1
C
1
于点C），且ADDE，F为
BC的中点．B1
11
F
求证：
（1）平面ADE平面
BCCB；
11
E
（2）直线
A1F//平面ADE．
C
A
D
B
【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，
AE⊥BD，CB=CD=C．F
（Ⅰ）求证：
BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．
错误！
未指定书签。
【解析】二面角F-BD-C的余弦值为
5
5
．
【例7】（2012江西）在三棱柱
ABCABC中，已知
111
ABACAA，BC4，点
15
A在底面ABC的投
1
影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱
AA上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；
1
A1
C1
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
B1
【解析】
5
5
，
30
10
A
C
O
B
4
【例8】（2012湖南）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：
CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】
11851285
VSPA16
33515
【例9】（2012广东）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD,PDAD，E是PB中
点，F是DC上的点，且
1
DFAB，PH为PAD中AD边上的高。
2
（1）证明：
PH平面ABCD；
（2）若PH1,AD2,FC1，求三棱锥EBCF的体积；
（3）证明：
EF平面PAB．
【解析】三棱锥EBCF的体积
111112
VShFCADh12
BCF
3326212
1
【例10】（2012新课标）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=
2
AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
（1）证明：
DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小．
A1
C1
B1
【解析】二面角
A1BDC的大小为30
1
D
C
B
A
【例11】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD点E在线段PC上，PC
平面BDE．
（1）证明：
BD平面PAC；
P
（2）若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值．
A
ED
【解析】二面角BPCA的平面角的正切值为3
BC
【例12】（2012天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，
0
ABC=45，
P
5
PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角APCD的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为
0
30，求AE的长.
【解析】
30
6
，
10
10
【课堂练习】
1、（2012上海）若n（2,1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（用反三角函数值表示）
2、（2012四川）如图，在正方体
ABCDABCD中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN
1111
所成角的大小是____________。
D1
C1
A1
B1
N
DC
M
A
B
3、（2012全国卷）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC22，PA2，
E是PC上的一点，PE2EC。
P
（Ⅰ）证明：
PC平面BED；
（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。
E
A
BD
C
4、（2010辽宁理）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?
AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC
的中点.
（Ⅰ）证明：
CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
5、（2010辽宁文）如图，棱柱
ABCABC的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B
111
6
（Ⅰ）证明：
平面
ABC平面
1
ABC；
11
（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B//平面B1CD，求A1D:
DC1的值.
6、（2010全国文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1
（Ⅰ）证明：
DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB
1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小
7、（2010江西理）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB23。
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
8、（2010重庆文）四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面
7
ABCD，PAAB2，点E是棱PB的中点.
（Ⅰ）证明：
AE平面PBC；
（Ⅱ）若AD1，求二面角BECD的平面角的余弦值.
9、（2010浙江文）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。
E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE
翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：
BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
10、（2010重庆理）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点。
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
P
（2）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
E
AD
B
C
11、（2010北京理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：
AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：
CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
12、如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和
8
点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=5a
（1）证明：
EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.
0
13、（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=，1AB=2，AB∥DC，∠BCD=90
。
（1）求证：
PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离。
P
D
C
AB
16题图
14、（2012上海）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，
PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
15、（2012四川）如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，平面PAB平面ABC。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。
P
C
AB
16、（2012安徽）长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点。
9
（Ⅰ）证明：
BDEC1；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=2，OEEC1,求AA1的长。
17、（2012北京文）如图1，在RtABC中，C90，D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，
将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。
A
（Ⅰ）求证：
DE//平面
ACB；（Ⅱ）求证：
A1FBE；
1
D
E
A1
（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？
说明理由。
F
D
E
CBC
图1
F
B
图2
18、（2012湖南）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：
BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
19、如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB2，AC23，
2
PA2，求：
（1）三棱锥PABC的体积
10
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
20、（2008安徽文）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC,OA底面ABCD,
OA2,M为OA的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
O
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
M
D
A
B
C
【课后作业】
8.（2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC．
（Ⅰ）证明：
AC平面BED；
1
D1
C1
A1B
1
（Ⅱ）求二面角
ADEB的大小．
1
E
DC
AB
2、（2008湖南）四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
PA＝2.
（Ⅰ）证明：
平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
11
3、（2008福建）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：
PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
3
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
？
2
AQ
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.QD
4、（2008海南、宁夏理）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC1所成角的大小；
（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
D
1
C
1
A
1
B1
P
D
C
AB
5、（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO
1
折成直二面角，如图2。
（Ⅰ）证明：
AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。
O1
DC
D
O1
C
AB
12
O
A
O
B
6、（2007安徽文、理）如图,在六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是
边长为1的正方形,
DD平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD，DD
1=2。
1
（Ⅰ）求证:
A1C与AC共面，B1D1与BD共面.
1
（Ⅱ）求证:
平面;
A1ACC平面BBDD
111
（Ⅲ）求二面角ABBC
1的大小.
7、（2007海南）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：
SO平面ABC；
（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．S
C
O
BA
8、（2007四川理）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，
∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：
平面PAC⊥平面ABC;（Ⅱ）求二面角MACB的大小;
（Ⅲ）求三棱锥PMAC的体积.
13
9、（2006全国Ⅰ卷）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上，C在l2上，
AMMBMN。
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
O
（Ⅱ）若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值。
l2
C
l1H
A
N
M
B
10、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD2.
（I）求证：
AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
A
（III）求点E到平面ACD的距离。
D
O
C
BE
11、（2010福建文）如图，在长方体ABCD–A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且
EH//A1D1。
过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。
（I）证明：
AD//平面EFGH；
（II）设AB=2AA1=2a。
在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE–D1DCGH内的概率为
p。
当点E，F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。
14
12、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：
平面AEC平面PDB；
（Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
13、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中点
O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.
（1）求证：
平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
z
P
M
（3）求点N到平面ACM的距离.
N
D
A
y
O15
B
C
x
14、如图4，在正三棱柱
ABCABC中，AB2AA。
D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE。
111
（1）证明平面ADE平面
ACCA
11
（2）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
【参考答案】
【课堂练习】
16
1、arctan22、903、30o4、SN与面CMN所成角为45°5、A
1D：
DC1=1.6、略
7、
2
15
5
，
25
5
.8、略9、略10、
1
2
11、二面角ABED的大小为
6
.12、
4
21
21
13、点A到平面PBC的距离等于2。
14、异面直线BC与AE所成的角的大小是4
15、直线PC二面角BAPC的大小为arctan2与平面ABC所成的角的大小为arctan39
13
AEAC2AA
16、111
AOEA
1
222
2
AA
1
32
17、略
18、四棱锥PABCD的体积为
19、略
11
VSPA9412.
33
20、
（1）AB与MD所成角的大小为
3
（2）点B到平面OCD的距离为
2
3
【课后作业】
1、二面角
ADEB的大小为
1
arccos
14
42
．
2、平面PAD和平面PBE所
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