原子物理学褚圣麟完整答案doc.docx
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原子物理学褚圣麟完整答案doc
原子物理学习题解答
第一章原子的基本状况
若卢瑟福散射用的
粒子是放射性物质镭
C放射的，其动能为
10
电子伏
特。
散射物质是原子序数
Z
79
的金箔。
试问散射角
150
b多
所对应的瞄准距离
大
cot
4
Mv
b
4
K
b
2Ze
2
Ze
得到：
Ze2ctg2
79
（1
.6
0
101
2
b
3.97
1米
4
0
式中K
Mv是
粒子的功能。
已知散射角为
的
粒子与散射核的最短距离为
rm
1
0
）
2Ze
（
1
1
）
（
Mv2
si
，试问上题
粒子与散射的金原子核
4
之间的最短距离
r多大
解：
将题中各量代入r的表达式，得：
rmi
1
2Z
（1
1
）
（
0
）
4
Mv2
si
2
n
9
1
4
7
9
（1
.6
0
（1
1
）
7.6
8
10
1.6
0
sin7
3.0
2
10
14
米
若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可
能达到的最小距离多大又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e电荷而质量是质子的
解：
当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。
当入射粒子的动能全部转化为两
粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：
1
Mv
K
Ze
Ze
r
，故有：
r
2
4
4
p
9
1
79
（1.60
1
1.141
10
1.60
由上式看出：
r与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代
替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
米。
10
钋放射的一种
粒子的速度为
10
秒，正面垂直入射于厚度为
10
米/
米、
密度为
10公斤/
米的金箔。
试求所有散射在
90的
粒子占全部入射粒子数
的百分比。
已知金的原子量为197。
dn
Ntd
n
N
/
m
N
其中单位体积中的金原子数：
Au
/
而散射角大于
90
dn'
dn
的粒子数为：
dn
d
Nt
所以有：
n
N
t
1
）
2Ze）
co
2
A
4
Mu
sin
2
cos
dsin
等式右边的积分：
I
90
180
d
2
180
2
sin3
sin
90
2
2
故
1
（22
dn'
N0
）2
）
n
A
t
2
4Ze
Mu
Au
0
8.
5
10
0
0
即速度为
10米/
秒
的
粒子在金箔上散射，散射角大于
90
以上的粒子数大约是
10。
粒子散射实验的数据在散射角很小（15）时与理论值差得较远，时什么原
因
答：
粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。
而粒子通过金属箔，
好多原子核的附近，实际上经过多次散射。
至于实际观察到较小的角，那是多次小角散
射
合成的结果。
既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。
所以，
粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。
证明：
设碰撞前、后粒子与电子的速度分别为：
v,v',0,v。
根据动量守恒定律，
Mv
Mv
mve
由此得：
v
v
mv
1
v
（1
M
7300
又根据能量守恒定律，得：
1
Mv
1Mv1
mv
v
v
mv
M
（2）
将
（1）式代入
（2）式，得：
vv7300（v
整理，得：
v（7300
1）
v（7300
1）27300v
7300
上式可写为：
7300（vv）
vv
即粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。
能量为
兆电子伏特的细
粒子束射到单位面积上质量为
10
公斤/米
的银箔上，
粒子与银箔表面成
60
L=米处放一窗口面积为
10米
角。
在离
的计数器。
测得散射进此窗口的
粒子是全部入射
粒子的百万分之
29。
若已知银的原
子量为。
试求银的核电荷数
Z。
解：
设靶厚度为t。
非垂直入射时引起
粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚
度t，而是t
t/sin60
，如图1-1所示。
因为散射到
与
d
之间d
立体
60°
角内的粒子数
dn与总入射粒子数n的比
dn
Ntd
t
n
（1
t
而d
60
1
ze
d
图
d
）
（
）
（2）
4
Mv
sin
2
把
（2）式代入
（1）式，得：
dn
1）
）
d
n
4
ze
（3）
Mv
sin
2
式中立体角元d
ds/
L,t
t/sin60
2t/
N为原子密度。
Nt为单位面上的原子数，Nt
/m
（A/N），其中
面积式上的质量；m是银原子的质量；A是银原子的原子量；N是阿佛加德罗常数。
将各量代入（3）式，得：
dn
2
N
1
）（ze）
d
n
3A
（
4
Mv
si
2
由此，得：
Z=47
设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为
10米的球形原子内，如果有能量为10电子伏特的粒子射向这样一个“原子”，试通过
计算论证这样的
粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于
90的散射。
这个
结论与卢瑟福实验结果差的很远，
这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的
（原子中电子的影
响可以忽略）。
解：
设
粒子和铅原子对心碰撞，
则
粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量
1Mv2
Ze/4
R
10焦耳
10电子伏特
2
由此可见，具有10电子伏特能量的
粒子能够很容易的穿过铅原子球。
粒子在到达原子
表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：
F
2Ze/4
R和F2
Zer/4
R。
可见，原子表面处
粒子所受的斥力
靠近原子的中心
粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使
粒子发生散射最强的垂
直入射方向的分力越小。
我们考虑粒子散射最强的情形。
设
粒子擦原子表面而过。
此时受
力为F
2Ze/4
R。
可以认为
粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷
用，即作用距离为原子的直径
D。
并且在作用范围
D之内，力的方向始终与入射方向垂直
，
大小不变。
这是一种受力最大的情形。
根据上述分析，力的作用时间为
t=D/v,
粒子的动能为
1Mv
K，因此，
2
v
K
M，所以，t
D
v
DM
/
2/
/
根据动量定理：
Fdt
p
p
Mv
而
Fdt
2Ze
/4
Rdt
2Ze
t/4
R
所以有：
Zet
/4
R
2
由此可得：
v
2
Zet/4
粒子所受的平行于入射方向的合力近似为
0，入射方向上速度不变。
据此，
tg
v
2
Zet
/4
RMv
2
ZeD
/
v
10
这时
很小，因此tg
10弧度，大约是。
这就是说，按题中假设，能量为1
兆电子伏特的
粒子被铅原子散射，不可能产生散
射角
90的散射。
但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当
粒子无限靠近原子
会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生90的散射，甚至会产生180
的散
第二章原子的能级和辐射
试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。
解：
电子在第一玻尔轨道上即年n=1。
根据量子化条件，
p
h
n
2
可得：
频率
v
nh
h
2
a
2
2
2
2
ma1
ma
1015
赫兹
速度：
v
2
a
h/
ma
6
米/秒
1
1
加速度：
w
2/
r
2v
/
a1
2210米2
/秒
试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。
解：
电离能为EE
E，把氢原子的能级公式E
/
Rhcn代入，
Ei
1
1
）
Rhc=电子伏特。
RHhc
（
E
电离电势：
V
伏特
e
第一激发能：
E
Rhc（
1
2
1）
3Rhc
3
电
H
2
i
1
2
4
4
第一激发电势：
V
E
e
伏特
用能量为
电子伏特的电子去激发基态氢原子，
问受激发的氢原子向低能基跃迁
时，会出现那些波长的光谱线
解：
把氢原子有基态激发到你
n=2,3,4
等能级上去所需要的能量是：
1
E
hcR（n
1
其中hcR
电子伏特
1
1
E
（1
2
）
电子伏
1
E
（1
3
）
电子伏
1
E
（1
4
）
电子
其中E和E小于
电子伏特，E大于
电子伏特。
可见，具有
电子伏特能量的
电子不足以把基态氢原子激发到
n4的能级上去，所以只能出现n
3的能级间的
跃迁。
1
RH（1
1）
5RH/
1
22
32
1
RH（12
12）
3
2
1
2
4
1
RH（12
12）
8
3
1
3
9
3
1025
A
H
L
势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：
在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，
即把原子核视为不动，
这样简单些。
a）氢原子和类氢离子的轨道半径：
4
h
n
n
a
r
mZe
4
Z
其中a
4
h
10
米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；
4me
HZ
；对于H
Z
；对于Li，Z
Z是核电荷数，对于
1
2
因此，玻尔第一轨道半径之比是
r
Z
1r,
Z
r
Z
2r
Z13
b）氢和类氢离子的能量公式：
2
meZ
E
Z
n
E
）n
n
（4
2
me
电子伏特，是氢原子的基态能量。
其中E
）
（4
电离能之比：
0
E
Z2
He
He
0
H
Z2
H
0
ELi
Z2
0
H
Z2
H
c）第一激发能之比：
2
2
E
E
E21E
4
E
E
1
1
E21
3
3
E
E
EE
21
9
E
E
1
1
E21
d）氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：
~
2
1
1）
，
{n1
1,2,
v
ZR（
n
（1n
n2n2
2
2
其中R
2me
是里德伯常数。
（4
）
氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：
1
1
vH1
（
R21
2
相应地，对类氢离子有：
1
22R
1
1
12
122
v
1
（
）
32R
He
122
1
1
1
12
1
v
（
）
Li
因此，
1
He
Li
1
1
4
H
1
H
9
1
1
1）,（n
1
试问二次电离的锂离子L从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能
使处于基态的一次电离的氦粒子H的电子电离掉
解：
L由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：
H的电离能量为：
v
He
4hcR
11
）
He
2
1
hcR
1
m/
hvLi
27RLi
27
MHe
hv
16
RHe
1
/
He
16
M
m
由于MM,
所以1
m/M1
m/
HeLi
He
M
hvHe，所以能将H的电子电离掉。
从而有hvLi
氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。
试问
其巴耳末系的第一条（
H）光谱线之间的波长差
有多大已知氢的里德伯常数
R
10米，氘的里德伯常数
R
10米。
1
（
1
），
解：
123
1
（
1
），
123
36
1（
1
5
RR
A
1
（
1
）1
3
112
m3
4
8
1
m
8
1
R
33
试证明氢原子中的电子从
n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率
。
当n>>1时
光子频率即为电子绕第
n玻尔轨道转动的频率。
~
1
R
1
1
v
[
]
n
（n
频率为：
v
c
1
n
2
Rc
1
n
]
（n1）n（n
1）
当n>>1时，有（2n
1）/n2（n1）
2
2n/n4
2/n3
，所以在
vn
3
电子从n+1轨道跃迁到n
轨道所发光子的频率为：
2Rc/
n
。
v
mvr
P
f
r
mr
2Rc
n
2
2
mr
2
因此，在n>>1时，有vn
f
由上可见，当
n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第
n玻尔轨道
转动的频率。
这说明，在
n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。
Li
~
R
R
。
已知锂原子电离成
Li离子需要
电子伏特的
v
（1
（n
功。
问如把Li离子电离成Li离子，需要多少电子伏特的功
解：
与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。
锂光谱的主线系是锂原子的价电
子由高的p能级向基态跃迁而产生的。
一次电离能对应于主线系的系限能量，
所以Li离子
电离成Li离子时，有
E
Rhc
Rhc
R
hc
电子伏特
（1
2
（1
2
1
Li是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此
Li
Li时，电离能E为：
2Rhc
2R
电子伏特。
E3Z
12
ZRhc
设Li
Li的电离能为E。
而Li
Li需要的总能量是E=电子伏特，所以有
E2
EE1
E3
电子伏特
具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同
答：
设原子的磁矩为
，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为
，于
具有磁矩的原子在磁场中所受的力为
F
B
，其中
是磁场沿Z方向的梯度。
Z
B
Z
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