全等三角形的基础和经典例题含有答案.docx

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全等三角形的基础和经典例题含有答案

第十一章：

全等三角形

一、基础知识

1.全等图形的有关概念

（1）全等图形的定义

能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：

图13-1和图13-2就是全等图形

图13-2

（2）全等多边形的定义

两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：

图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边

两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示

例如：

图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCD率五边形AB'C'D'E'（这里符号“也”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置

（5）全等多边形的性质

全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别

（1）根据定义

若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS

如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全

等三角形。

（4）根据ASA

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS

如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别

（1）根据HL

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形

全等。

（2）SSSSASASAAAS对于直角三角形同样适用。

判断两个直角三角形全等的方法可分为：

已知一锐角和一边或已知两边。

4.证明三角形全等的方法

证明三角形全等的一般方法有四种：

“SSS、“SAS、“ASA、“AAS。

每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。

判定方法的选择：

已知条件

可选择的判定方法

一边对应一角对应相等

SASAASASA

两角对应相等

ASAAAS

两边对应相等

SASSSS

具体地说，证明角相等的常用方法有：

对顶角相等；两直线平行，同位角、内错

角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。

证明线段相等的方法有：

同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。

为什么“AAA和“SSA不能判定两个三角形全等？

这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，

AB=AB,AC=AD/B=ZB,但△ABC与△ABD不全等。

5.证明两个三角形全等如何入手

证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。

（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。

同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。

（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。

证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

二、经典例题

例1：

（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm13cm又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。

（2）在厶ABC中，已知/A+ZC=2/B,/C-/A=80°,求/G

［考点透视］

（1）考察三边关系的应用；

（2）考察三角形内角和定理

［参考答案］解：

（1）设第三边为xcm，则

132x132

即11x15

周长L213x15x的范围是

151115x1515

即27L30

又L为偶数

L28

L15x28

x13

即第三边长为13cm

（2）

（AC）

B2B

B3B180

120

又

120

由

100

得

100

例2:

已知，在△ABC中，AD是角平分线，B66,C54,DEAC于E,

求：

ADB和ADE

［考点透视］考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质

［参考答案］解：

由三角形内角和定理，得

在RtADE中

ADE90CAD903060（直角三角形的两个锐角互余）

例3:

已知：

在ABC和A'B'C'中

AA，BB'，CDAB于d,C'D'A'B'于D'，且CDC'D'

求证：

ABCA'B'C'

［考点透视］如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。

［参考答案］证明：

在RtADC和RtA'D'C'中

AA'

ADCA'D'C'90

CDC'D'

RtADCRtA'D'C'（AAS）

ACA'C'（全等三角形对应边相等）

在ABC和A'B'C'中

AA'

BB'

ACA'C'

3.适时训练

（一）精心选一选

1.在△ABC中，/A:

/B:

/C=1:

3，且△DEFBC=EF点A的对应顶

点是D,下列说法正确的是（）

/C与/D互余

/C与/F互余B.

2.如图，△ABC中,AB=ACCEBD分别是ABAC边上的中线，AMLCE于M

AN!

BD于N,则图中全等三角形共有（）弋

A.3对B.4对C.5对D.6对

氏C

3.如图，△ACD中,AB丄CD且BD>CB△BCE^PAABD都是等腰Rt△，下列结

论①△ABC^ADBE②△ACB^AABD③△CBE^ABED④△AC

正确的是（）

A.①②③B.①C.

①③④D.②③④

如图，△ABE和厶ADC是△ABC分别沿AB,AC边翻折/2:

/3=28:

3，则/度数为（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

5.下列命题正确的是（）

A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等

6.在厶ABC内部取一点P使得点P到厶ABC的三边距离相等，则点P应是△

ABC的哪三条线交点.（）

（A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已知

7.下列条件能判定厶ABC◎△DEF的一组是（）

（A）ZA=/D，/C=/F，AC=DF

（B）AB=DE，BC=EF，ZA=ZD

（C）ZA=ZD，ZB=ZE，ZC=ZF

（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长

（二）细心填一填

1.如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点MEN是Z

MEC勺角平分线，则ZFEN

2.如图2-2，在△ABC中,ZBAC:

ZABC:

ZACB=3:

10，且△ABC^A，则Z1:

Z2=

3.如图2-3，若△ABC^AADEZE=ZC,Z1=20°,则Z2=

4.如图2-4，在正方形ABCD中,E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF

在图中可通过（填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使厶ABE变到

△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是

5.如图2-5，△ABC中,/C=90，AC=BCAD平分/CABDELAB于E,若AB=4cm则厶BDE的周长是

6.已知，如图2-6，AD=ACBD=BCO为AB上一点，那么，图中共有对

全等三角形.

7.如图2-7，△ABC^AADE贝XAB，/E=Z.若/

BAE=120，/BAD=40，则/BAC=°.

8.在厶ABC^PAABD中，/C=ZD=9Q若利用“AAS证明△ABC^AABD则需

要加条件或;若利用“HL”证明△ABC^AABD则需

要加条件，或.

9.把两根钢条AA?

BB?

勺中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具

（卡钳），如图2-9，若测得AB=5厘米，则槽宽为米。

10.工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD使其不变形，

这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的O

三、认真答一答

如图，AB=ADAC=AE且/DAB2CAEBE与CD交于点P,AP的延长线交BC于F,试判断/BPF与/CPF的关系，并加以证明。

2.如图，ABC的中线，AE丄ABAF丄AC,且AE=ABAF=ACMA的延长线交EF于点P,求证：

APIEF。

3.已知：

如图，C为BE上一点，点A分别在BE两侧.AB//ED,AB=CE,BC=ED.求证:

AC=CD.

4.已知：

如图，0P是/AOC和/BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：

AB=CD

5.我们知道：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：

至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于0,若

A60，DCBEBC—A，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图

中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC中，如果A是不等于60o的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且

DCBEBCA，探究：

满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证

明你的结论.

6.已知：

如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，0为BD的中点，EF丄BD于点0,与AD、BC分别交于点E、F。

求证：

DE=DF。

7.如图，在O0中，D、E分别为半径0A、0B上的点，且AD=BE.

点C为弧AB上一点，连接CD、CE、C0，/A0C=ZB0C.

求证：

CD=CE.

&如图，已知在△ABC中AB=AC,D为BC边的点D作DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E、F。

（1）求证：

△BED◎△CFD;

（2）若/A=90。

，求证：

四边形DFAE是正方形。

9.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.

⑴求证：

△ABE◎△CAD;

（2）

求/BFD的度数.

10.八

（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（I）如图1,先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,连接AC、BC,并分别延

长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（H）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E,则测出DE的长即为AB的距离.

I—la.五iHi

图1

阅读后回答下列问题：

（1）方案（I）是否可行？

请说明理由。

（2）方案（n）是否可行？

请说明理由。

（3）

BCD的平分线，点E在AD上，求

方案（n）中作BF丄AB,ED丄BF的目的是;若仅满足/ABD=/BDE丰90°,方案（n）是否成立？

11.已知，如图AB//CD,BE、CE分别是ABC、

证：

BCABCD

12.

一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如

（1）求证：

AB丄ED.

（2）若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.

13.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.

14.如图，直线I切OO于点A，点P为直线I上一点，直线PO交OO于点C、B,点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB.

（1）

求证：

DB为OO的切线.

（2）若AD=1,PB=BO，求弦AC的长.

15.已知：

如图，直径为OA的0M与X轴交于点°、A,点B、C把Oa分为三等份,连接MC并延长交y轴于点D（0,3）.

（1）求证：

AOMDBAO；

16.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和厶QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方,点Q在矩形内.

求证：

（1）ZPBA=/PCQ=30;

（2）PA=PQ.

17.如图，°°是Rt△ABC的外接圆，点°在AB上，BDAB，点B是垂足,

OD//AC,连接CD.

求证：

CD是°°的切线.

18.△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），

△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC于点

F、G,连接BE.

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时.

①求证：

△AEB=△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？

并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出

（1）中的两个结论是否成立？

（3）在

（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？

并说明理由.

图（b）

19.如图，C、F在BE上，AD,AC//DF,BFEC

求证：

ABDE.

20.如图，在△ABE中，AB=AE,AD=AC,/BAD=ZEAC,BC、DE交于点O.求证：

（1）△ABC◎△AED;

（2）OB=OE.

21.如图，在Rt△ABC中，/C=90。

，以BC为直径作OO交AB于点D，取AC的中点E,连结DE、OE.

（1）求证：

DE是OO的切线；

（2）如果OO的半径是1.5cm,ED=2cm，求AB的长.

22.如图，ABCD是正方形.G是BC上的一点，DE丄AG于E,BF丄AG于F.

（1）求证：

△ABF=△DAE；

（2）求证：

DEEFFB.

23.如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形，M,N分别EB,CD的中点，易证：

CD=BE,△AMN是等边三角形.

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？

若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？

若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与厶ABC及厶AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

求证：

（1）PEPF；

25..已知：

如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中,点E.

（1）求证：

AE=BE;

AB为斜边，AC=BD,BC,AD相交于

⑵若/AEC=45°,AC=1，求CE的长.

参考答案

（一）精心选一选

1.D2.C3.B4.C5.D6.B7.A

（二）细心填一填

1.90°2.1:

43.20°4.旋转；垂直5.4cm6.37.AD，/C,80

8./CAB=/DAB，/CBA=/DBA,AC=AD,BC=BD9.5厘米10.三角形的稳定性，不稳定性

（三）认真答一答

1.相等，过A作AM丄DC,AN丄BE，证明△DAC◎△BAE，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN，所以/BPF=/CPF2.延长AM至N，使MN=AM，证明△AMCNMB，所以AC=NB，再证明厶EAFABN，得到/E=/BAN，因为/BAN+/EAP=90°，所以/E+/EAP=90°，所以AP丄EF

3.证明：

QAB//ED,BE.

在△ABC和△CED中，

CE，

E，

ED，

△ABCCED.

ACCD.

4、证明：

•••OP是/AOC和/BOD的平分线,

AOPCOP,BOPDOP

AOBCOD

在AOB和COD中，

OAOC,

AOBCOD,

OBOD,

AOBCOD

ABCD

5、解：

（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可

（2）与/A相等的角是/BOD（或/COE）

（3）

四边形DBCE是等对边四边形.

此时存在等对边四边形DBCE.

证明1:

如图，作CG丄BE于G点，作BF丄CD交CD的延长线于F点.

•••/DCB=/EBC=/A,BC为公共边

•••△BGCCFB

•••BF=CG

•••/BDF=/ABC+/DCB=/ABE+/EBC+/DCB=/ABE+/A

•BD=CE

故四边形DBCE是等对边四边形

证明2:

如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.

易证△BCD◎△CBF，故BD=CF，/FCB=ZDBC.

vZCFE=ZFCB+ZCBF=ZDBC+ZCBF=ZABE+2ZCBF=ZABE+ZA

•CF=CE

•BF=CE

故四边形

DBCE是等对边四边形.

6•证法一：

在平行四边形

ABCD中，AD//BC

•/OBF=/ODE

•OB=OD

•/O为BD的中点

在厶BOF和厶DOE

zOBFzODE

OBOD

ZBOFZDOE

•OF=OE

•/EF丄BD于点O

证法二：

•••O为BD的中点

•/EF丄BD于点O

•DE=DF

•BO=DO

•BF=DF

•/BFO=/DFO

•••在平行四边形ABCD中,

•/BFO=/DEO

AD//BC

•/DEO=/DFO

•DE=DF

7.证明：

TOA=OBAD=BE

•OA-AD=OB-BE即

OD=OE

在厶ODC和厶OEC中

ODOE

DOCEOC

OCOC

•••△ODC◎△OEC

•••CD=CE

（1）vDE丄AB,DF丄AC,

•••/BED=/CFD=90°,

•/AB=AC,

•••/B=/C,

•/D是BC的中点，

•BD=CD

•••△BED◎△CFD.

（2）vDE丄AB,DF丄AC

•••/AED=/AFD=90°

•••/A=90°

•四边形DFAE为矩形

•/△BED也厶CFD

•DE=DF

•四边形DFAE为正方形

9。

（1）证明：

•••△ABC为等边三角形

•••/BAC=/C=60°,AB=CA,

在厶ABE和厶CAD中

AB=CA,/BAE=/C,AE=CD

•△ABE◎△CAD

（2）解I/BFD=/ABE+/BAD

又•••△ABE◎△CAD

•••/ABE=/CAD

•••/BFD=/CAD+/BAD=/BAC=60

10.

（1）可以；

（2）可以；（3）构造三角形全等，可以

11.AB//CD

ABCBCD180

又BE、CE平分

ABC,

ACD

EBC—ABC,ECB—BCD

EBCECB-（ABCBCD）—180

BEC90（三角形内角和定理）

在BC上取BF=BA，连结EF

在ABE和FBE中

ABFB

ABEFBE

BEBE

ABEFBE（SAS）

12（全等三角形对应角相等）

1BEC3180

13180BEC1809090

又2490，12

34（等量代换）

在CFE和CDE中

FCEDCE（角平分线定义）

CECE

CFECDE（ASA）

CDCF（全等三角形对应边相等）

BCBFCFABCD

12.

（1）由于△ABC与厶DEF是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以

△ABC◎△DEF，所以/A=Z。

在厶ANP和厶DNC中，因为/ANP=ZDNC，所以/APN=ZDCN，又/DCN=90°所以/APN=90°故AB丄ED.

（2）答案不唯一，女口△ABC◎△DBP;△PEM◎△FBM;△ANP◎△DNC等等.以

△ABC◎△DBP为例证明如下：

在△ABC与厶DBP中，因为/A=ZD，/B=ZB,PB=BC，所以△ABC◎△DBP.

13.例：

△AOB◎△COD.

证明：

•••四边形ABCD为平行四边形，

•••OA=OC,OB=OD,

又•••/AOB=/COD,

•△AOBCOD.

14.

（1）证明:

连结OD

•/PA为OO切线

•/OAD=90°

•/OA=OB,DA=DB,DO=DO,

•••△OADB△OBD

•••/OBD=/OAD=90°,

•P

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