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大学高等数学下考试题库及答案

•选择题（3分10）

1.点M1

2,3,1到点M22,7,4的距离M1M2

A.3

B.4

C.5

D.6

2.向量a

i2jk,b

2ij,

则有（

B.a丄b

C.a,b

3屈数y

x2y21

的定义域是

A.x,y1

B.x,y1

C.x,y1

Dx,y1

4.两个向量

a与b垂直的充要条件是（

A.ab0B.a

b0C.ab

D.a

）.

a,b4

（）.

5屈数zx

3xy的极小值是（

A.2

C.1

6.设z

xsiny

，则

=（

C.-2

D.-2

7若p级数

—收敛,

n1n

则（

A.p1

B.p1

C.p

D.p1

8.幕级数

—的收敛域为（

A.1,1

1,1

C.1,1

1,1

9.幕级数

在收敛域内的和函数是

A.-

C.-

D.-

10.微分方程xyyiny0的通解为（）

xxxcx

A.yceB.yeC.ycxeD.ye

二填空题（4分5）

1•一平面过点A0,0,3且垂直于直线

AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为

4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）

0条件下的特解

2•函数zsinxy的全微分是

323Z

3•设zxy3xyxy1，贝y

4.^^的麦克劳林级数是

5.微分方程y4y4y

0的通解为

三.计算题（5分6）

1.设zesinv，而u

xy,vx

y，求一,

2.已知隐函数zzx,y

由方程x

c22

2yz

2z50确定，求—

3.计算sin、x2y2d

，其中D

42.

5.求微分方程y3ye"在y

四•应用题（10分2）

才能使用料最省?

且曲线过点1,

1•要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时,

2..曲线yfx上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,

求此曲线方程

试卷1参考答案

一.选择题

CBCADACCBD

二填空题

1.2xy

2z60.

2.cosxy

ydxxdy.

3.6x2y

9y21.

02n

5.y

C2Xe

三.计算题

1.上exyysinxycosxy

Zxy

，exsinxycosxyy

z2xz2y

2.,-

xz1yz1

sin

4.-

R3.

5.y

四应

用题

1.长、宽、高均为32m时，用料最省

《高数》试卷2（下）

•选择题（3分10）

1•点M!

4,3,1,M27,1,2

的距离m1m2

A.,12

B.13

D..15

2•设两平面方程分别为

2y2z

50,则两平面的夹角为（

A.6

B.4

C.3

D.2

3.函数zarcsin

的定义域为（

A.x,y0

x,y0

y21

C.x,y0

x,y0

4•点P1,

2,1

到平面

x2y

0的距离为（

A.3

B.4

C.5

D.6

5屈数

z2xy3x2

2y2

的极大值为（

）

A.0

B.1

D.-

6.设z

2小2

x3xyy

，则

1,2

（

）•

A.6

B.7

C.8

D.9

7•若几何级数

arn是收敛的，则（

A.r1

B.r1C.r

8•幕级数

1xn的收敛域为（

A.1,1

B.1,1

C.1,1

1,1

9.级数

A.条件收敛B.绝对收敛

二填空题（4分5）

C.发散

D.不能确定

t平行，则直线I的方程为

12t

1•直线I过点A2,2,1且与直线y

2.函数zexy的全微分为.

3•曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为

4.」亏的麦克劳林级数是

1x2

三•计算题（5分6）

1.设ai2jk,b2j3k,求ab.

2.设zu2vuv2，而u

xcosy,v

xsiny，求―z

zx,y由x3

3xyz

3.已知隐函数z

2确定，求

0）所围的几何体的体积

试卷2参考答案

一•选择题CBABACCDBA.二填空题

x2y2z1

1..

112

2.eydxxdy.

n2n

5.yx

三.计算题

1.8i3j2k.

z2z

2.——3xsinycosycosysiny,——

2x3sinycosysinycosy

siny

cosy

3.—

yzz

2，

xyzy

xyz

4.32a3—2

323

四.应用题

1..

《高等数学》试卷3（下）

、选择题（本题共

10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式2-3的值为（

A、10

B、20

C、24D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，贝Ua与b的向量积为（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）

A、2B、3C、4D、5

函数z=xsiny在点（1,）处的两个偏导数分别为

C、

-2

5、设x2+y2+z2=2Rx，则

二三分别为（

D、

6、设圆心在原点，半径为

R，面密度为

的薄板的质量为（

）（面积A=R）

A、R2A

B、2R2A

C、3R2A

1r2a

7、级数

1）n

—的收敛半径为（

C、1

8、

cosx的麦克劳林级数为（

（1）盒

1）n

（2n）!

2n1

1灼

9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的阶数是（

A、一阶B、二阶C、三阶

四阶

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（

A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2

二、填空题（本题共

5小题，每题4分，共20分）

1、

直线Li：

x=y=z

与直线L2：

直线L3：

重积分

d,D:

以z的夹角为

-与平面3x2y6z0之间的夹角为

y21的值为

幕级数

xn的收敛半径为

，—的收敛半径为

n0n!

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组C-3x+2y-8z=17

\2x-5y+3z=3

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1,1,1）处的切线及法平面方程

3、计算xyd,其中D由直线y1,x2及yx围成.

收敛？

4、问级数

（1）nsi收敛吗？

若收敛，则是条件收敛还是绝对n1n

5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫

做衰变。

由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）

已知t=0时，铀的含量为Mo,求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

1、arcos-^,arcsin?

2、0.96,0.17365

a/1821

3、刃

、

5、y

ce2,cx

1丄

三、计算题

1、

-321-8

0,+

解：

△=2-53=（-3）X

17-5

-53-2

23+

（-8）

2-5=-

138

7-5

1-5

172-8

X-

53-2

33+

（-8）X

3-5=-1

7-5

2-5

△x=--53=17

27-5

同理：

-317-8

△z=414

△y=233=276

12-5

所以，方程组的解为x—1,y

2,z

2、解：

因为

x=t,y=t,z=t,

所以xt=1,yt=2t,zt=3t2,

所以xt|t=i=1,

yt|t=i=2,zt|t=i=3

故切线方程为:

x1y1z1

123

法平面方程为:

（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0

即x+2y+3z=6

3、解：

因为

D由直线y=1,x=2,y=x围成

所以

1wyw2

.wxw2

故：

xyd1[yxydx]dy

：

（2yy）dy

4、解:

这是交错级数，因为

sin0，所以，Vn1Vn,且limsin

sin—

0，所以该级数为莱布尼兹型级数

，故收敛。

sin—当x趋于o时，inx~x，所以

，lim

.11

sin7…-发散，从而

n1,又级数nn

1n1

sin1发散。

1n5

所以，原级数条件收敛

、解：

因为eW1

x（

12x2!

）

用2x代x，得:

e2x1

（2x）

12x

）

12（2x）2!

2233

-（2x）3!

和2x）

6、解：

特征方程为r2+4r+4=0

所以，（r+2）2=o

得重根「1=「2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解为y=（C1+c2x）e-2x

四、应用题

1、解：

设长方体的三棱长分别为x，y，z

贝卩2（xy+yz+zx）=a2

构造辅助函数

F（x,y,z）=xyz+（2xy2yz2zxa）

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

yz+2

（y+z）=0

xz+2

（x+z）=0

-xy+2（x+y）=0

与2（xy+yz+zx）-a2=o联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2（xy+yz+zx）-a=0得x=y=z=一

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为

Vxyz

6a3

2、解：

据题意

dMdt

其中

0为常数

初始条件Mt0M0

对于M式

dMdt

两端积分得InMtInC

所以，Mcet

又因为Mt0M0

所以，M0C所以，MM0et

由此可知，铀的衰变规律为：

铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减

《高数》试卷4（下）

一•选择题：

31030

1.下列平面中过点（1,1,1）的平面是•

（A）x+y+z=0（B）x+y+z=1（C）x=1（D）x=3

x2y22表示

（A）圆（E）圆域（C）球面（D）圆柱面

3•二元函数z（1X）2（1y）2的驻点是

（A）（0,0）（B）（0,1）

（C）（1,0）

（D）（1,1）

1重积分的积分区域

D是1

x2y24，则

dxdy

（A）

（B）4

（C）3

（D）15

5•交换积分次序后0dx：

f（x,y）dy

11111yx1

（A）0dyyf（x，y）dx（B）0dy0f（x,y）dx（C）odyof（x,y）dx（D）odyof（x,y）dx

6.n阶行列式中所有兀素都是1,其值是•

（A）n（B）0

8•下列级数收敛的是

（C）n!

（D）1

（C）

（

1）n

（D）

n1卞n

（A）

（1）n

11n

（B）

n1亦

9•正项级数

Un和

Vn满足关系式UnVn

，则

n1n

（A）

若Un

收敛，则

收敛

（B）若

收敛，

则Un

收敛

（C）

右Vn

发散，则

发散

（D）若

收敛,

则Vn

发散

10・

已知：

xx2

则1的幕级数展开式为

1x2

（A）

1x2

（B）

x2x4

（C）

1x2x

4（D）1x2x4

•填空题：

4520

数z

X2y21ln（2

y2）的定义域为

2・

若f（x,y）

xy，则f（Y,1）

已知（xo,yo）是f（x,y）的驻点，

若

fxx（xo,,yo）3,fyy（xo,yo）12,fxy（xo,yo）a则

当时，（xo,yo）一定是极小点.

5•级数Un收敛的必要条件是

三.计算题（—

）:

653O

已知:

zxy，求：

z_z

2・

计算二

重积分4

x2d，其中D{（x,y）|Oyv'4x2,Ox2}

4•求幕级数（i）n1—的收敛区间.

n1n

$•求f（x）ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）

四.计算题

（二）：

10*20

1.求平面x—2y+z=2和2x+y—z=4的交线的标准方程.

参考答案

3.解：

B01

AB1

415

4.解:

R1,当|x|

〈1时,

级数收敛，

当x=1时，得

（1）n1

收敛，

当x

1时，得匚

1）2n1

—发散，所以收敛区间为

（1,1]

n1n

5.解:

.因为ex

x（,

），所以ex（

x）n

（1）nxnx（

0n!

127

）.

C;2.D

；3

.D;4.

D;5.A;

.B;7

.B;

8.C;

9.B;10.

二

（x,y）11

y22

2.y3

.27

5.limUn

四.

1.解：

y1Z

yxy1-

xylny

0（4

x32

解:

x2d

24x

dxn

■.4x2dy

x2）dx

四.1.解：

•求直线的方向向量：

以交线的标准方程为：

•口丫3

135

111

2•解：

A11

111

110

111

（1）

（2）1

（1）当

2时,r（A）

2,（A）

3，无解；

1,2时,

⑵当

r（A）

（A）3,有唯一解

z2;

1C1

⑶当

1时，r（A）

（A）

1,有无穷多组解：

（C1,C2为任意常数

）

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

—*■

1、已知a

+■—Sr—■

ij,b

―b-

k,则

（）

—1?

■*1*

2、空间直角坐标系中x

1表示（

）

A圆

3、二元函数z

B圆面C圆柱面D球面

sinxy在（0，0）点处的极限是（）

B0CD不存在

Ady0f（x,y）dx

dyf（x,y）dx

Bdy0f（x,y）dx

Ddyf（x,y）dx

5、二重积分的积分区域D是：

1,则

dxdy（

A2B1

6、n阶行列式中所有兀素都是

其值为（

）

A0B1

7、若有矩阵A32,B23,C33，下列可运算的式子是（）

AACBCBCABCDABAC

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（）

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零

10、正项级数

Un和Vn满足关系式

n1n1

Vn,

则（）

若

Un收敛，则

Vn收敛

若

Vn收敛，

则

Un收敛

若

Vn发散，则

Un发散

若

Un收敛，

则

Vn发散

n1n1n1n1

二、填空题（4分/题）

1、空间点p（-1，2，-3）至^xoy平面的距离为

2、函数f（x,y）x4y26x8y2在点处取得极小值，极小值为

3、A为三阶方阵，A3，则A

0xy

4、三阶行列式x0z=

yz0

5、级数Un收敛的必要条件是

三、计算题（6分/题）

1、已知二元函数zy2x，求偏导数—，-Z

2、求两平面:

x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。

4、求幕级数

（x1）n

-的收敛半径和收敛区间。

n15

四、应用题（

10分/题）

1、判断级数

（1）p的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

n1np

x1x2x31

2、试根据的取值，讨论方程组

1是否有解，指出解的情况。

参考答案

一、选择题（3分/题）

DCBDA

ACBCB

二、填空题（

4分/题）

1、3

2、（3，

-1）

-11

三、计算题（

6分/题）

2x一

2x1

1、一2yIny，-

—

2xy

y0z

2、—

3、-34、05、limun0

3、

4、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）

四、应用题（10分/题）

1、当p0时，发散；

0p1时条件收敛;

p1时绝对收敛

2、当1且2时，r（A）r（A）3，A0,方程组有唯一解;

当2时，r（A）3r（A）2，方程组无解；

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