高考数学试题分类汇编解析几何图文.docx
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高考数学试题分类汇编解析几何图文
图2013年高考数学试题分类汇编——解析几何
班级______________姓名________________座号_______
一、选择题
1.（新课标Ⅱ卷数学（理已知点
（1,0,（1,0,（0,1ABC-,直线（0yaxba=+>将
△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（
A.（0,1
B
.1
（12（C1（1]23-
D.11[,322.（山东数学（理试题过点（3,1作圆
22
（11xy-+=的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（
A.230xy+-=
B.230xy--=
C.430xy--=
D.430xy+-=
3.（辽宁数学（理已知点（（（
3
0,0,0,,,.ABC,OAbBaa
∆若为直角三角形则必有
（A.3
ba=B.3
1
baa
=+
C.（
3
3
10ba
ba
a⎛⎫
---=⎪⎝⎭
D.3
3
1
0babaa
-+--
=4.（湖南卷（理在等腰三角形ABC中,=4ABAC=,点P是边AB上异于,AB的一点,光线从点P出发,经,BCCA发射后又回到原点P（如图1.若光线QR经过ABC∆的中心,则AP的长等于（
A.2
B.1
C.83
D.4
3
5.（2013年高考江西卷（理
过点引直线l与曲线y=A,B两点,O为坐
标原点,当∆AOB的面积取最大值时,直线
l的斜率等于（
A.
B
.C
.±D.6.（福建数学（理双曲线2
214
xy-=的顶点到其渐近线的距离等于（
A.25
B.4
5
C
D7.（广东省数学（理已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（3,0F,离心率等于3
2,在双曲
线C的方程是
（
A.2214x=
B.22145xy-=
C.221
2
5xy-=D.2212x-=
8.（新课标1（理已知双曲线C:
22221xyab-=（
0,0ab>>,则C的渐近线
方程为（
A.1
4
yx=±
B.13
yx=±
C.12
yx=±
D.yx=±
9.（湖北卷（理已知04
π
θ<<,则双曲线22
12
2:
1cossinxyCθθ-=与22
2222:
1sinsintanyxCθθθ
-=的（
A.实轴长相等
B.虚轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等
10.（四川卷（理抛物线24yx=的焦点到双曲线2
2
13
yx-=的渐近线的距离是（
A.1
2
B
C.1
D11.（浙江数学（理如图,21,FF是椭圆14:
22
1=+yxC与双曲线C的公共焦点,
BA,分别是1
C,2C在第二、四象限的公共点.
若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是（
A.2
B.3
C.
23
D.26
12.（天津数学（理已知双曲线22
221（0,0xyabab
-=>>的两条渐近线与抛物线
22（0pxpy=>的准线分别交于A,B两点
O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的
则p=（
A.1
B.
3
2
C.2
D.3
13.（大纲版数学（理椭圆22
:
143
xyC+=的左、右顶点分别为12,AA,点P在C上且直线2PA的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA斜率的取值范围是（
A.1324
⎡⎤⎢⎥⎣⎦,
B.3384
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,
14.（大纲版数学（理已知抛物线2
:
8Cyx=与点（2,2M-,过C的焦点且斜率为k的直线
与C交于,AB两点,若0MAMB⋅=
则k=（
A.
12
B
.
2
C
D.2
15.（北京卷（理若双曲线
2
2
22
1xyab-=的离心率
为,则其渐近线方程为
（
A.y=±2x
B.y
=C.1
2
yx=±D
.2yx=±
16.（山东数学（理已知抛物线1C:
212yxp=（0p>的焦点与双曲线2C:
2213xy-=的右
焦点的连线交1C于第一象限的点M.若1C
在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p=（
A
.16
B
.8
C
.3
D
.3
17.（新课标1（理已知椭圆22
22:
1（0xyEabab
+=>>的右焦点为（3,0F,过点F的直线交
椭圆于,AB两点.若AB的中点坐标为（1,1-,则E的方程为（A.
22
14536
xy+=B.
2213627xy+=C.2212718xy+=D.22
1189
xy+=18.（新课标Ⅱ卷数学（理设抛物线2
:
2（0Cypxp=>的焦点为F,点M在C上,5MF=,
若以MF为直径的圆过点2,0（,则C的方程为（A.24yx=或28yx=
B.22yx=或28yx=
C.24yx=或216yx=
D.22yx=或216yx=
19.（上海市已知AB、为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若
2MNANNBλ=⋅
其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是（
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
20.（重庆数学（理已知圆（（2
2
1:
231Cxy-+-=,圆（（2
2
2:
349Cxy-+-=,,MN
分别是圆12,CC上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN+的最小值为（A
.4
B
1C
.6-D
二、填空题
21.（江苏卷（数学双曲线
19
162
2=-yx的两条渐近线的方程为_____________.22.（江西卷（理抛物线2
2（0xpyp=>的焦点为F,其准线与双曲线22
133
xy-=相交于
AB两点,若ABF∆为等边三角形,则P=_____________
23.（湖南卷（理设12,FF是双曲线22
22:
1（0,0xyCabab
-=>>的两个焦点,P是C上一点,若
216,PFPFa+=且12PFF∆的最小内角为30,则C的离心率为____________.
24.（上海卷（理设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且4
CBAπ
∠=
若
AB=4,BC=则
Γ的两个焦点之间的距离为________
25.（安徽数学（理已知直线ya=交抛物线2
yx=于,AB两点.若该抛物线上存在点C,使
得ABC∠为直角,则a的取值范围为_____________.
26.（江苏卷（数学抛物线2
xy=在1=x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部与边界.若点,（yxP是区域D内的任意一点,则yx2+的取值范围是__________.
27.（江苏卷（数学在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为0,0（122
22>>=+bab
yax,
右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为1d,F到l的距离
为2d,若126dd=
则椭圆C的离心率为________________.
28.（福建数学（理椭圆22
22:
1（0xyabab
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,FF,焦距为2c,若直
线yxc=+与椭圆Γ的一个交点M满足12212MFFMFF∠=∠,则该椭圆的离心率等于
___________________
29.（陕西卷（理双曲线22116xym-=的离心率为5
4
则m等于_________________.
30.（辽宁数学（理已知椭圆22
22:
1（0xyCabab
+=>>的左焦点为,FC与过原点的直线相交
于,AB两点,连接,AFBF,若4
10,6,cosABF5
ABAF==∠=,则C的离心率e=______.
31.（江苏卷（数学在平面直角坐标系xOy中,设定点,（aaA,P是函数x
y1
=（0>x图象
上一动点,若点AP,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a的所有值为________________.
32.（浙江数学（理设F为抛物线xyC4:
2
=的焦点,过点0,1（-P的直线l交抛物线C于两
点BA,,点Q为线段AB的中点,若2||=FQ,则直线的斜率等于_________________.
三、解答题
33.（上海市春季高考数学本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.
已知椭圆C的两个焦点分别为1（1
0F-,、2（10F,,短轴的两个端点分别为12BB、（1若112FBB∆为等边三角形,求椭圆C的方程;
（2若椭圆C的短轴长为2,过点2F的直线l与椭圆C相交于PQ、两点,且11FPFQ⊥
求直线l的方程.
34.（四川卷（理已知椭圆C:
22
221,（0xyabab
+=>>的两个焦点分别为12（1,0,（1,0FF-,
且椭圆C经过点41
（,33
P.
（Ⅰ求椭圆C的离心率;
（Ⅱ设过点（0,2A的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且
222
211
||||||
AQAMAN=+,求点Q的轨迹方程.
35.（山东数学（理椭圆2
2
22
:
1xyCa
b
+=（0ab>>的左、右焦点分别是12,FF,
离心率为
2
过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ求椭圆C的方程;
（Ⅱ点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接12,PFPF,设12FPF∠的角平分线PM交C的长轴于点（,0Mm,求m的取值范围;
（Ⅲ在（Ⅱ的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直
线12,PFPF的斜率分别为12,kk,若0k≠,试证明12
11kkkk+为定值,并求出这个定值.
36.（福建数学（理如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为（10,0,点C的坐
标为（0,10.分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为129,,....AAA和129,,....BBB,连结
iOB,过iA做x轴的垂线与iOB交于点*（,19iPiNi∈≤≤.
（1求证:
点*
（,19iPiNi∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
（2过点C做直线与抛物线E交于不同的两点,MN,若OCM∆与OCN∆的面积比为4:
1,求直线的方程.
37.（湖南卷（理过抛物线2
:
2（0Expyp=>的焦点F作斜率分别为12,kk的两条不同的直
线12,ll,且122kk+=,1lE与相交于点A,B,2lE与相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N（M,N为圆心的公共弦所在的直线记为l.
（I若120,0kk>>,证明;2
2FMFNP<;
（II若点M到直线l
求抛物线E的方程.
38.（浙江数学（理如图,点1,0（-P是椭圆0（1:
22
221>>=+bab
yaxC的一个顶点,1C的长轴
是圆4:
2
22=+yxC的直径.21,ll是过点P且互相垂直的两条直线,其中1l交圆2C于两点,2l交椭圆1C于另一点D
（1求椭圆1C的方程;（2求ABD∆面积取最大值时直线1l的方程.
39.（重庆数学（理如题（21图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率2
2
e=
过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于,AA'两点,4AA'=.
（1求该椭圆的标准方程;
（2取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点,PP',过,PP'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQPQ'⊥,求圆Q的标准方程
.
40.（安徽数学（理设椭圆22
22
:
11xyEaa
+=-的焦点在x轴上（Ⅰ若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
（Ⅱ设12,FF分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线2FP交y轴与点Q,并且11
FPFQ⊥,证明:
当a变化时,点p在某定直线上.
41.（新课标1（理已知圆M:
2
2（1
1xy++=,圆N:
22（19xy-+=,动圆P与M外切并
且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.（Ⅰ求C的方程;
（Ⅱl是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
（第38题图
42.（天津数学（理设椭圆22221（0xyabab
+=>>的左焦点为F,
过点F且与x
（Ⅰ求椭圆的方程;
（Ⅱ设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若··8ACDBADCB+=,求k的值.
43.（江西卷（理如图,椭圆2
2
22+
=1（>>0xyCaba
b:
经过点3（1,,2P离心率1=2
e,直线l的方程为=4x.
（1求椭圆C的方程;
（2AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P,设直线AB与直线l相交于点M,记,,PAPBPM的斜率分别为123,,.kkk问:
是否存在常数λ,使得123+=.kkkλ?
若存在求λ的值;若不存在,说明理由
.
44.（广东省数学（理已知抛物线
C的顶点为原点,其焦点（（0,0Fcc>到直线
l:
20xy--=
的距离为
2
.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.
（Ⅰ求抛物线C的方程;
（Ⅱ当点（00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程;（Ⅲ当点P在直线l上移动时,求AFBF⋅的最小值.
45.（新课标Ⅱ卷数学（理平面直角坐标系xOy中,过椭圆22
22:
1（0xyMabab
+=>>的右焦点
F
作直0xy+=交M于,AB两点,P为AB的中点,且OP的斜率为1
2
.
（Ⅰ求M的方程;
（Ⅱ,CD为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CDAB⊥,求四边形ABCD面积的最大值.
46.（湖北卷（理如图,已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短
轴长分别为2m,2n（mn>,过原点且不与x轴重合的直线l与1C,2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记m
n
λ=
BDM∆和ABN∆的面积分别为1S和2S.（I当直线l与y轴重合时,若12SSλ=,求λ的值;
（II当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得12SSλ=?
并说明理由.
47.（北京卷（理已知A、B、C是椭圆W:
2
214
xy+=上的三个点,O是坐标原点.（I当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
（II当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
48.（陕西卷（理已知动圆过定点A（4,0,且在y轴上截得的弦MN的长为8.
（Ⅰ求动圆圆心的轨迹C的方程;
（Ⅱ已知点B（-1,0,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ∠的角平分线,证明直线l过定点.
49.（辽宁数学（理如图,抛物线（2
2
12:
4,:
20CxyCxpyp==->,点（00,Mxy在抛物线
2C上,过M作1C的切线,切点为,AB（M为原点O时,,AB重合于O
当01x=时,
切线.MA的斜率为1
2
-.
（I求p的值;
（II当M在2C上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.（,,.ABOO重合于时中点为
50.（江苏卷（数学如图,在平面直角坐标系xOy中,点3,0（A,直线42:
-=xyl,设圆C的
半径为1,圆心在l上.
（1若圆心C也在直线1-=xy上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;（2若圆C上存在点M,使MOMA2=,求圆心C的横坐标a的取值范围.
2013年高考数学试题分类汇编——解析几何参考答案
1-5:
BACDB6-10:
CBCBD11-15:
DCBDB16-20:
DDCCA
21、x
y
4
3
±
=22、623、32425、
1[+∞26、⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
2
1
2
27、
3
281
-29、930、
5
7
31、1
-或1032、1
±
33【上海春季高考】[解]（1设椭圆C的方程为
22
22
1（0
xy
ab
ab
+=>>.
根据题意知
22
2
1
ab
ab
=
⎧
⎨
-=
⎩
解得2
4
3
a=,2
1
3
b=故椭圆C的方程为
22
1
41
33
xy
+=.
（2容易求得椭圆C的方程为
2
21
2
x
y
+=.
当直线l的斜率不存在时,其方程为1
x=,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线l的方程为（1
ykx
=-.
由2
2
（1
1
2
ykx
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得2222
（2142（10
kxkxk
+-+-=.
设
1122
（（
PxyQxy
,,,则
22
1212111122
22
42（1
（1（1
2121
kk
xxxxFPxyFQxy
kk
-
+===+=+
++
,,,,
因为
11
FPFQ
⊥
所以
11
FPFQ
⋅=
即
2
1212121212
（1（1（1（1（1
xxyyxxxxkxx
+++=++++--
222
1212
（1（1（1
kxxkxxk
=+--+++
2
2
71
21
k
k
-
==
+
解得2
1
7
k=,即k=±故直线l的方程为10
x+-=或10
x-=.
34、【四川】解:
12
2aPFPF
=+==
所以,a=.又由已知,1
c=,所以椭圆C的离心率
2
c
e
a
===
（II由（I知椭圆C的方程为221
2
x
y
+=.设点Q的坐标为（x,y.
（1当直线l与x轴垂直时,l与椭圆C交于（（
0,1,0,1
-两点,此时Q点坐标为0,2
⎛
⎝⎭
（2当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为2
ykx
=+.
因为,
MN在直线l上,可设点,
MN的坐标分别为
1122
（,2,（,2
xkxxkx
++,则
22
2222
12
（1,（1
AMkxANkx
=+=+.又（
22
222
2（1.
AQxykx
=+-=+
由
222
211
AQAMAN
=+,得（（（
222222
12
211
111
kxkxkx
=+
+++
即
（2
1212
22222
1212
2
211xxxx
xxxxx
+-
=+=①
将2
ykx
=+代入
2
21
2
x
y
+=中,得（
22
21860
kxkx
+++=②
由（（
22
842160,
kk
∆=-⨯+⨯>得2
3
2
k>.
由②可知
1212
22
86
,
2121
k
xxxx
kk
+=-=
++
代入①中并化简,得2
2
18
103
x
k
=
-
③
因为点Q在直线2
ykx
=+上,所以
2
y
k
x
-
=,代入③中并化简,得（22
102318
yx
--=.
由③及2
3
2
k>,可知2
3
2
x
<<,即x
⎛⎫⎛
∈⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
.
又0,2
⎛
-
⎝⎭
满足（22
102318
yx
--=,故x
⎛
∈
⎝⎭
.
由题意,（
Qxy在椭圆C内部,所以11
y
-≤≤,
又由（
2
2
102183yx-=+有（2
992,54y⎡⎫
-∈⎪⎢⎣⎭且11y-≤≤,
则1,22
y⎛∈⎝⎦.所以点Q的轨迹方程是（2
2
102318yx--=,其中
x⎛
∈⎝
⎭
1,22y⎛∈-⎝⎦35、【山东】解:
（Ⅰ由于222
cab=-,将xc=-代入椭圆方程22221xyab
+=得2bya=±
由题意知221ba=,即2
2ab=又
c
ea=
=2
2a=1b=2
21
4xy+=36【福建】解:
（Ⅰ依题意,过（,19∈≤≤iAiNi且与x轴垂直的直线方程为=xi
（10,iBi,∴直线iOB的方程为10
=i
yx
设iP坐标为（,xy,由10=⎧⎪
⎨=⎪⎩
xi
i
yx得:
2110=yx,即210=xy,∴*（,19∈≤≤iPiNi都在同一条抛物线上,且
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