小学数学难题解法大全 第七部分 名词术语解释全书完.docx
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小学数学难题解法大全第七部分名词术语解释全书完
小学数学难题解法大全 第七部分名词术语解释
(一)整数(非负整数)
【自然数】
人们在数物体的时候,用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6、……中的每一个数,都是自然数。
自然数又叫做正整数。
【自然数集合】
自然的全体,叫做“自然数集合”,简称“自然数集”。
每一个自然数,都是自然数集合里面的一个元素。
自然数集合常用字母“N”表示。
相邻的两个自然数,一个可以用“n”表示,另一个可以用“n+1”或“n-1”来表示。
【自然数列】
把全体自然数按照从小到大的顺序排列起来,所得到的一列数,便是“自然数列”。
即
1,2,3,4,5,6,7,8,……,n,……这样的一列数,叫做“自然数列”。
自然数列中的每一个数,都叫做它的“项”。
1是自然数列的第一项,2是第二项,3是第三项,……,n是第n项。
【扩大自然数列】
如果在自然数列的前面再添上一个零“0”,使它变成
0,1,2,3,4,5,6,7,8,……,n,……这样的一列数,便是“扩大自然数列”。
在扩大的自然数列里,只有“0”不是自然数,其他的数都是自然数。
【自然数的单位】
任何一个自然数,都是由若干个“1”组合而成的。
所以,“1”是自然数的单位,它是自然数中最小的一个数。
自然数除了“1”这个基本单位外,它还有其它一些计数单位,如“十”、“百”、“千”、“万”、“十万”、“百万”……等自然数的基本单位“1”,具有下面一些性质:
——任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。
——“1”是奇数(注:
奇读jī,音“鸡”,不读qí)。
任何一个不是1的自然数,加上(或减去)1所得的自然数与原来的自然数比较,都改变了奇偶性。
——“1”能整除任何一个自然数,所以“1”是任何一个自然数的约数,即任何一个自然数都是“1”的倍数。
——“1”不是质数,也不是合数。
——“1”去乘(或去除)任何数,所得的积(或商)还是原来的那个数。
【自然数的基数理论】
自然数可以用来表示事物的多
少。
用来表示事物数量多少的自然数,叫做“基数”。
例如“共有5个同学”中的“5”,与“第5个同学”中的“5”,在概念上是不相同的,前者为“基数”,而后者却不是“基数”。
从集合的观点上看,每一个自然数都表示一类等价非空有限集合的共同特征。
例如,两个小朋友可组成一个集合,两只眼睛可组成一个集合,两个茶杯可组成一个集合,两只小鸡可组成一集合……。
这些集合都是等价集合,它们的共同特征,是数量为2,即基数为2。
在研究自然数的时候,用集合的基数来定义自然数,这样的理论便称之为“自然数的基数理论”。
【自然数的序数理论】
用来表示事物顺序的自然数,叫做“序数”。
例如,在一次数学竞赛中,瑛瑛排名第1,聪聪排名第2,冬冬排名第3,……。
这里面的“1”、“2”、“3”……就是“序数”。
自然数的序数理论,是将自然数的一些基本性质抽象为公理,用公理形式给自然数下定义。
序数理论所采用的公理,是由意大利数学家皮亚诺(peano,1858~1932)提出来的,故被称之为“皮亚诺公理”。
【零】
在计数的时候,如果遇到一个物体也没有,我们就用“零”(0)来表示。
在数学史上,零的出现是比较晚的。
但用零来表示“没有”,仅仅是它的一种含义,也是最初的含义。
随着事物的发展,零的含义和性质也就多了起来。
零(0)的性质有以下一些:
——0也是一个数,0是一个整数,但它不是自然数,0小于一切自然数。
——在自然数列前面添加一个0,就会得到扩大自然数列。
——(注:
国际上有两个观点,0是或不是自然数。
现在大多承认0是自然数)
——在记数时,当某个数位上一个单位也没有,就用0来表示。
例如,八十记为“80”,五千零九十记为“5090”,等等。
——0可作为计量刻度的起点。
例如,米尺在刻度的起点位置记作“0”。
——0不是正数,也不是负数,它是唯一的一个“中性数”。
0比任何正数小,比任何负数大,它是正数和负数的分界数。
——0可以表示关节点。
例如水结成冰的这一关节温度,便是在标准大气压下的0摄氏度(0℃)。
显然,这里的“0℃”(0摄氏度),不能理解为“没有温度”,而表示水结冰这一关节温度。
——0能被2整除,因此0也算作偶数。
——0能被任何一个自然数整除,所以0是任何一个自然数的倍数,即任何一个自然数都是0的约数。
(在小学数学中研究约数,倍数是把“0”除外的)
——0在参加四则运算的时候,会有以下的结果出现:
a+0=a;0+a=a;
a-0=a,0-a=-a
0×a=0;a×0=0
0÷a(a≠0)=0。
但应注意,a÷0是没有意义的。
因为在除法运算中,如果除数是0,便会出现两种情况:
(1)当a≠0时,由于任何数与0相乘的积都为0,不可能得到一个不为0的数a,所以它找不到商。
也就是说,这样的商不可能存在。
(2)当a=0时,由于任何数与0相乘,它们的积都为0,所以这时的商就不可能唯一地确定。
也就是说,这一情况下它找不到唯一确定的商。
基于以上两个原因,我们便规定0不能做除数。
或者说,当除数为0时,这个除法算式便没有意义。
【数数原则】
计数(shǔ)事物的数目,有以下三条原则:
(1)数事物时,只要每个事物都数到,且每个都只数一次,那么所得的结果便是唯一的,它与数的次序没有关系。
(2)数事物个数时,可以不数原物,而数用来代替它们的其他东西,这样数得的结果不变。
(3)数事物个数时,说出数得的最后一个数,便是数得的结果。
但是数数的过程是无限的,如果再有要数的事物,还能继续数下去。
也就是说,自然数可以无限地数下去。
【整数】
正整数(即自然数1,2,3,4,5,…,n,…),零(0),负整数(-1,-2,-3,-4,-5,…,-n,…),统称为“整数”。
自然数都是整数,但整数不一定都是自然数。
我们在小学阶段所学习的零和自然数,又可以称之为“非负整数”。
【十进位制】
“十进位制”是世界各国最常用的一种记数方法或记数制度。
它的特点是,每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”,即10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位(即通常所说的“逢十进一”)。
这种以“十”为基础的进位制度,叫做“十进位制”。
我国古代很早就采用了十进位制来计数和记数。
【计数和记数】
“计数”就是数(shǔ)数,数事物的个数。
比方,当我们想知道一篮鸡蛋、一筐苹果的个数时,可以采用手指指着每个鸡蛋、每个苹果去一个个地数,同时口念1,2,3,4,5,……,与所指的鸡蛋或苹果一一对应。
这个过程就是计数。
这样一个一个地计数,称为“逐一计数”,也称“单元数”。
此外,还有“按群计数”(即“按群整”)。
按群计数就是一“双”一“双”地数、一“五”一“五”地数、一“十”一“十”地数……。
按群计数能提高计数速度和能力。
“记数”就是写数,也就是把数目用文字记录下来。
整数的记数法则是:
从最高位起,顺次写出表示计数单位多少的各数位上的数字,如果某一位一个计数单位也没有,就用“0”来表示。
例如八百三十万六千零八,记做(或写做)8306008;一千五百六十八万零七百八十九,记做15680789。
“计数”和“记数”常有发生混淆的情况,要注意区别。
【数位和位数】
用阿拉伯数字记出一个整数,会把若干个数字排成一行。
这样,每个数字便占有一个位置,这些位置叫做“数位”。
例如,在十进制里面:
26809
万千百十个
位位位位位
这里的个位、十位、百位、千位、万位……,都叫做数位。
“位数”的概念是:
表示一个数(最高位数字不为0)占有几个数位的个数叫做“位数”。
也可以说,一个整数里数字的个数是几个(最左边的数字不为0),它就是几位数。
例如:
2,5,8,9,……,都是一位数(0不能算一位数);
10,20,26,59,99……都是二位数;
306,468,900,……都是三位数;
4269,1000,6080,……都是四位数;
…………
一般说来,四位以上的数往往被称为“多位数”。
“数位”和“位数”常有发生混淆的情况,应引起注意。
【位置记数法】
记数的时候,每一个数位上的数字,由于它们所占数位的计数单位的不同,致使每一个数字不仅具有它本身所表示的“数值”,同时还具有它所占有的“位置值”的意义。
这样的记数方法便是“位置记数法”。
例如,在十进制的数“3639”中,9在右起第一位,表示9个一;6在右起第三位,表示6个百;十位上的3表示3个十,千位上的3表示3个千。
都是3;由于它所处位置不一样所以表示的值也不相同。
世界上最常见的十进位制和二进位制记数法等,采用的都是位置记数法,而罗马数字的记数方法则不属于位置记数法。
【二进位制】
记数的时候,若每相邻两个单位之间的进率都是二,即采用“逢二进一”的记数方法,这种进位制度叫做“二进位制”。
二进位制的记数,只需要采用“0”和“1”两个数码。
在十以内的数中,十进位制的数(十进数)与二进位制的数(二进数)的对照表如下:
为了区别这两种不同的数,当这两种数混杂在一起的时候,往往把十进数的10记为“10(10)”,二进数的10记为“10
(2)”;十进数的110记为“110(10)”;二进数的110记为“110
(2)”;……。
显然:
1(10)=1
(2);
2(10)=10
(2);
3(10)=11
(2);
……
10(10)=1010
(2)
……
110(10)=1111110
(2)
……
(二)小数
【小数】
分母是10、100、1000……的分数,叫做“十进分数”。
例
十进分数可以不写出它的分母,而根据十进位制的原则写成另外一种表现形式。
如
…………
像0.1、0.3、0.07、0.91、0.011、0.208……,这样的十进分数叫做“小数”。
在小数里,圆点符号“·”叫“小数点”。
小数点左边的数叫做“小数的整数部分”,小数点右边的数叫做“小数的小数部分”。
例如小数18.608,“18”是这个小数的整数部分,“608”是这个小数的小数部分。
【小数部分的计数单位】
在小数里,小数部分的计数单位按从左往右的顺序说,依次为十分之一、百分之一、千分之一、万分之一……。
每相邻两个计数单位之间的进率都是“十”,并且,小数部分的最高位的计数单位“十分之一”,与整数部分最低位个位的计数单位“一”之间,进率也同样是“十”。
【小数的数位】
“小数的数位”一般指的是小数点后面(右面)的第一位、第二位、第三位、……等各个数位。
小数点后面的第一位、第二位、第三位、……又分别被称之为十分位、百分位、千分位……。
例如,
需要注意的是,“十分位”与“十分之一”,“百分位”与“百分之一”,“千分位”与“千分之一”,……,是不相同的两个概念。
每一对的前者为小数部分的数位,后者却是小数部分的计数单位。
【小数的分类】
小数一般有两种分类方法。
一是按照整数部分的情况分类,二是按照小数部分的情况分类。
按照整数部分的情况分类,可得“纯小数”和“带小数”两种小数:
纯小数——是整数部分为“0”的小数。
例如,0.8,0.207,0.0012,等等,都是“纯小数”。
带小数——是整数部分不为“0”的小数。
例如,2.3,12.608,300.168,等等,都是“带小数”。
一般说来,纯小数都小于1,而带小数却都大于1。
(注意:
0.99999……=1,而不是小于1。
)
按照小数部分的情况分类,可得“有限小数”和“无限小数”两种:
有限小数——是小数点后面只有有限个不全为“0”的数字的小数。
例如,0.6,0.49,6.064,10.168,……,都是“有限小数”。
无限小数——是小数点后面有无限多个不全为“0”的数字的小数。
例如,0.333……,2.304304304……,
3.1415926535897932384626……,……,都是“无限小数”。
此外,在无限小数中,又有“无限循环小数”和“无限不循环小数”:
无限循环小数——一个无限小数,如果从小数部分的某一位起,都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现,这样的小数叫做“无限循环小数”,简称“循环小数”。
重复出现的一个或几个数字,叫做“循环节”。
记数时,在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点(循环节只有一个数字的只记一个圆点)“·”,表示这个循环小数的这几个(或一个)数字重复出现。
这样的圆点叫做“循环点”。
例如,
在无限循环小数中,循环节从小数第一位(十分位)开始的,叫做“纯
若小数点与第一个循环节之间还有不循环的数字,则这个循环小数便叫做“混
无限不循环小数——若一个小数的数位无限多,而且小数位上的数字是不循环的,这种无限小数便叫做“无限不循环小数”。
无限不循环小数也叫做“无理数”。
在小学数学中,圆周率(π)3.1415926535897932384626……,便是一个无限不循环小数(无理数),但小学数学里只有这一个数是无限不循环小数。
到了中学,数学教科
数。
可用下表表示上面所述有限小数、无限小数、循环小数之间的关系:
这一关系,也可用“韦恩图”来表示(如图7·1):
【准确数和近似数】
在实际生活中,有些量必须用毫无差错的数来表示,如某家有5口人,某班有43个学生,某学校有65个老师,……。
这些数都是“准确数”。
还有一些数量,实际上不可能或者不需要用准确的数来表示,例如某省约有6500万人口,甲乙二人的住址约相距2.68千米等等。
这些数都是“近似数”。
【近似数的绝对误差】
近似数与准确数的差(大数为被减数),称为这个近似数的“误差”或“绝对误差”。
也可以说,一个近似数和它的准确数的差的绝对值,叫近似数的绝对误差。
如果用a表示一个近似数,用A表示它的准确数,那么近似数a的绝对误差就是:
|a—A|。
例如,学校有715人,如果把700作为学生人数的近似值,则近似数700的绝对误差是
715-700=15
或|700-715|=|-5|=15
【近似数的相对误差】
近似数的绝对误差,对于它的准确数所占的百分数,叫做近似数的“相对误差”。
如果用a表示近似数,A表示它的准确数,那么近似数a的相对误差就是
(在准确数不知道的情况下,可以用绝对误差对于近似数a所占的百分数,作为这个近似数的相对误差。
)
例如,学校有715人,如果把700人作为人数的近似值,则近似数700的相对误差是
【精确度】
用近似数来近似地表示一个量的准确值,虽然容许有一定限度的误差,但这个误差的限度又不能过大,必须保证必要的精确程度,即“精确度”。
由近似数的截取方法可知,近似数并不都是同样地接近于它所代替的准确数;同一个准确数,可以用具有不同大小的误差的近似数来代替。
近似数误差的大小不同,它们的精确度也就不同。
一般说来,对于同一个量(或相等的量),如果它们的近似值的误差愈小,就认为这个近似值的精确度愈高。
例如,丈量100米的道路,第一次丈量的结果为100.1米,第二次丈量的结果为99.8米。
这两个数值100.1和99.8,都是近似数。
因为第一次丈量结果的误差较小,就说第一次丈量结果100.1米的精确度愈高。
(三)分数、百分数
【分数】
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫
单位“1”不一定就是自然数“1”。
单位“1”可以表示一个物体,一个计量单位。
也可以表示一个整体(如1班学生,1篓水果,1个学校的老师人数等),或者表示一个空间(1间教室,一个仓库……),或者表示一段时间(1年,3个月,6小时……),等等。
例如,一个盘子里有4只梨,我们可把这4只梨看作单位“1”。
这样,自然数“1个”梨便是这个
m叫分子,n叫分母,中间的横线叫做分数线。
数中的分子,除数相当于分母,除号相当于分数线,除得的商相当于分数值。
分数和除法的主要区别是:
分数是一个数,而除法却是一种运算。
【分数单位】
把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫做这一组分数的“分数单位”。
母相同的分数有相同的分数单位,分母不同的分数有不同的分数单位。
【真分数、假分数和带分数】
分子比分母小的数叫做“真分数”。
真分数的值都小于1。
分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”。
假分数的值大于或等于1。
在假分数中,分子是分母的倍数(或说分母是分子的约数)时,这个假分数可以化成整数;如果分子不是分母的倍数,则这个假分数就可以写成整数和真分数合成的数,这种合成的数,平常称它为“带分数”。
真分数、假分数和带分数之间的关系,可以用图形来表示(如图7·2)。
【最简分数】
分子和分母是互质数的分数,叫做“最简分数”。
最简
【未约分数】
分子和分母不是互质数的分数,叫做“未约分数”。
例
【零分数】
【倒数】
如果两个数相乘的积是1,那么其中的一个数便叫做另一个数
“倒数”是指“乘积为1”的两个数之间的一种关系,而不是一种“数”。
【繁分数】
在一个分数形式的算式里,如果分子部分和分母部分都含有分数,或者其中的一个部分含有分数,这种形式的算式,通常被称之为“繁分数”。
例如,
在繁分数里,最长的一条分数线叫做“主分数线”,也叫做“繁分数线”。
主分数线把繁分数分成上、下两个部分。
上面的是繁分数的分子,下面的是繁分数的分母。
从实质上看,繁分数是一个含复合运算的除法算式,它并不是“分数”定义里面所定义的一种分数。
它只有经过运算,才能化成分数,或者化成整数。
(也就是繁分数的化简)
【连分数】
(见第一部分(四)2节“求连分数的值”)
【约分和通分】
把一个分数的分子和分母,都除以它们的公约数(1除外),化成和原来相等的分数,这种运算叫做“约分”。
约分时,通常都要约成最简(既约)分数。
每一个分数,都有一个而且只有一个和它相等的最简分数。
约分方法通常有两种:
一是“逐次约分”,即把分数的分子、分母逐次除以它们的公约数(一般不是除以分子、分母的最大公约数),直到得出一个最简分数为止;二是“一次约分”,即把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数,便得到一个最简分数。
把几个分母不同的分数化成分母相同的分数,而不改变每一个分数值的大小,这样的运算叫做“通分”。
通分时,通常是先求出原来几个分数分母的最小公倍数,然后,把各个
因为〔9,12,6〕=36(即9、12和6的最小公倍数为36),
【百分数】
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做“百分数”。
百分数一般用含百分号“%”的形式来表示,百分号“%”读作“百分之”,例如115%读作“百分之一百一十五”,0.8%读作“百分之零点八”。
【百分比、百分率和百分法】
表示两个量的比,当比值写成百分数的形式时,这个比值便叫做这两个量的“百分比”。
例如,某班有女生20人,有男生30人,则女生占全班人数的百分比是20∶(20+30)=40%
男生占全班人数的百分比是30∶(20+30)=60%
也可以说,百分比是以100为后项的一种特殊形式的比。
例如,3∶4=75:
100,通常用“75%”去表示,可说成3与4的百分比为75%。
“百分率”指的是在100份中含有几份的意思,或者说,某个数量中的一部分占总数的百分之几,便是这个数量中的一部分占总数的“百分率”。
例如,出勤率、缺勤率、合格率、次品率、发芽率、成活率……,都是百分率。
也可以说,“百分比”也叫做“百分率”。
“百分法”指的是求百分率的方法,或者说,它指的是应用百分数的方法。
【百分比浓度】
(见第一部分“(四)法则、方法”“1.有关数的法则和方法”的“百分比浓度的求法”词条。
)
【千分率】
表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫做“千分率”。
千分率一般用“千分号”“‰”来表示。
例如,千分之三记作“3‰”。
人口的出生率、死亡率、增长率,银行存款的月利率,等等,常用千分率来表示。
【成数与折数】
“成数”就是十分数。
也可以说,表示一个数是另一个数的十分之几的数,可以用“成数”来表示。
例如,两成就是十分之二,四成五就是十分之四点五,也就是百分之四十五。
“折数”与“成数”有相同的意义。
例如,八折表示十分之八,也就是80%;七五折表示十分之七点五,也就是75%。
一股的情况下,“成数”多用于增加,如某农民今年的苹果产量增产二成;“折数”则多用于减少,如某一批货物以九五折降价出售。
(四)数的整除
【整除】
整数a除以自然数b,如果能得到整数的商q,没有余数,那么,就叫做“a能被b整除”,或者叫做“b能整除a”。
整除的表示方法可以是:
或“b能整除a”;
8整除”,或“8能整除32”。
有些除法算式,被除数虽然能够被除数“除尽”,但被除数却不一定能够被除数整除。
例如
15÷2=7.5
就不能说“15能被2整除”。
它可以用“2×15”,表示“2不能整除15”,或表示“15不能被2整除”。
“×”是不能整除的符号,可读作“不能整除”。
反过来,若甲数能被乙数整除,则一定可以说“甲数能被乙数除尽”,例略。
【约数、倍数】
如果整数a能被自然数b整除,那么,“a叫做b的倍数”,“b叫做a的约数”。
(约数有时也叫“因数”。
)例如,
7是35的约数;9|36,36是9的倍数,9是36的约数。
约数和倍数,是彼此紧密地联系在一起的。
没有“约数”,就没有“倍数”;没有“倍数”,也就无所谓“约数”。
所以,我们不能孤立地说“8是倍数”,“4是约数”之类的错话。
由于0可以被任何一个自然数整除,所以,0是任何一个自然数的倍数,任何一个自然数都是0的约数。
任何一个整数都能被1整除,所以任何整数都是1的倍数,1是任何整数的约数。
因为自然数a的约数总是不大于a的,所以自然数a的约数个数也就不会多于a,自然数a的约数个数是有限的。
因为自然数是无穷多的,所以自然数a的2倍、3倍、4倍、……,都是a的倍数,一个自然数的倍数也是无穷多的。
整数a除以自然数b,若不能得到整数的商q(即还有余数),则a就不能被b整除,记作“b×a”。
“b×a”也表示“a不是b的倍数”,或者“b不是a的约数”。
【奇数、偶数】
能被2整除的数叫做“偶数”,平常又称它为“双数”;而不能被2整除的数,叫做“奇(音jī,不读qí)数”,平常又称它为“单数”。
例如,2、4、6、8、10、12、14、16、……都是偶数,而1、3、5、7、9、11、12、13、15、……都是奇数。
0能被2整除,所以0也是偶数。
一般地说,偶数用“2n”来表示(n表示整数),奇数则用“2n+1”或“2n-1”来表示(n表示整数)。
【质数、合数】
一个大于1的整数,只能被1和它本身整除,这个整数就叫做“质数”,也可叫做“素数”。
或者说,除了1和它本身以外,没有其他的约数的大于1的自然数,叫做“质数”(或“素数”)。
例如,2,3,5,7,11,13,17,19,……,都是质数。