14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
15．某药品经两次降价后，从原来每箱元降为每箱元，则平均每次的降价率为________．
16．方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为_______________．
17．定义新运算®：
对于任意实数a、b都有：
a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.
三、解答题
18．解一元二次方程：
（配方法）；
（公式法）；
；
．
19．已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
为何值时，此方程是一元二次方程？
并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
20．关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，求的值．
21．已知方程x2﹣（k+1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：
对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
求该公司投递快件总件数的月平均增长率；
如果平均每人每月可投递快递万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？
23．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．
降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
在的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？
若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．
24．如图，，是一条射线，，一只蚂蚁由以速度向爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与点组成的三角形面积为？
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】
A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元一次方程，故此选项错误；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：
“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．D
【解析】
【分析】
把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，
∴p=-2.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．
【详解】
∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴一元二次方程2x2-x+1=0没有实数根．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
4．C
【解析】
【分析】
将c=-a-b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．
【详解】
依题意，得c=-a-b，
原方程化为ax2+bx-a-b=0，
即a（x+1）（x-1）+b（x-1）=0，
∴（x-1）（ax+a+b）=0，
∴x=1为原方程的一个根，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．
5．B
【解析】
【分析】
方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】
x2﹣6x﹣1=0
方程移项得：
x2-6x=1，
配方得：
x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
故选：
B．
【点睛】
考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
【详解】
∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=4-4（k-1）×（-2）＞0，且k-1≠0，
解得k＞，且k≠1，
则k的最小整数值是2．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根列出k的不等式，此题难度不大．
7．B
【解析】
【分析】
赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．
【详解】
设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）=28．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：
比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
8．C
【解析】
【分析】
方程的两根相等，即，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【详解】
原方程整理得，
因为两根相等，
所以，
即，
所以是直角三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
总结：
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△<0⇔方程没有实数根．
9．B
【解析】
分析：
设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：
设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：
（10−2x）（6−2x）＝32．
故选：
B．
点睛：
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2＝2α＋4，再用α表示α3，则运算可化简为8（α＋β）＋14，然后利用根与系数的关系求解．
【详解】
∵α方程x2−2x−4＝0的实根，
∴α2−2α−4＝0，即α2＝2α＋4，
∴α3＝2α2＋4α＝2（2α＋4）＋4α＝8α＋8，
∴原式＝8α＋8＋8β＋6
＝8（α＋β）＋14，
∵α，β是方程x2−2x−4＝0的两实根，
∴α＋β＝2，
∴原式＝8×2＋14＝30．
故答案为：
30．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．
11．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义得到a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得2a2-10a=0，然后解关于a的一元二次方程即可得到满足条件的a的值．
【详解】
由题意得：
a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，
所以2a2-10a=0，
解得a1=0（舍去），a2=5，
所以a的值为5，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．B
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系把，之间的关系找出来，利用，之间的关系，解关于，的方程，然后再代入原方程检验即可．
【详解】
根据题意得，①，②，
③，④，
由②、④可得，
解之得或，
由①、③可得，
即，
当时，，
解之得，或，
即，，
把它们代入原方程的中可知符合题意；
当时，，
解之得，或，
即，，
把它们代入原方程的中可知不合题意舍去，
所以数对的个数是对，
故选．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，有一定的难度，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx
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