中考数学专题讲义最值问题.docx
《中考数学专题讲义最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题讲义最值问题.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学专题讲义最值问题
最值问题
试试看：
与最值有关的知识与题目能想起多少？
说明：
最值问题是指最大最小、最多最少、最长最短问题，让我们翻开记忆，按最值问题在课本出现的顺序搜索一下：
（1）两点之间线段最短；
（2）垂线段最短；
（3）不等式的最大（小）解；（4）二次整式最值；
（5）线段和最小差最大；（6）勾股对称最短路径；
（7）一次函数最优方案；（8）二次函数的最值；
（9）圆中最长弦是直径；（10）圆的最近（远）距离－－－
以上所列，有的是同一问题、有的是具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”）、有的很少出现，为了简捷实用，提升能力、直面中考，通过整理，就以下几个问题展开研究：
（1）两点之间线段最短；
（2）垂线段最短
（3）圆中最长弦是直径；（4）两正数和的最小值
（5）不等式一次函数最优方案；（6）二次函数最值；
（7）几何最值探究
一、两点之间线段最短
（一）线段和（PA＋PB）最小：
“两点之间线段最短”与轴对称结合.
【通法】求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”；作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段长即为该最小距离，该线段与这条直线的交点即为所求点.
例6－1－1几何模型
（1）如图6－1－1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小.你的根据是.
（2）如图6－1－1②，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小.你的根据是：
A：
.
B：
.
模型应用：
（3）如图6－1－1③，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一点，则PE＋PB的最小值为.
（4）如图6－1－1④，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝.
（5）如图6－1－1⑤，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝
，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是.
【规律】题目背景不对，但解决问题方法一样，都是作对称点、连线段、求最值.
体验与感悟6－1－1
1.
（1）如图6－1－2①，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB＋PE的值最小，最小值为.
（2）如图6－1－2②，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是；
（3）如图6－1－2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，P在BC边上，则△PDE周长的最小值为.
2.
（1）如图6－1－3①，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，
），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为.
（2）如图6－1－3②，菱形ABCD中AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为.
（3）如图6－1－3③，锐角△ABC中，AB＝4
，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是.
3.
（1）如图6－1－4①，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是.
（2）如图6－1－4②，点A（a，1）、B（－1，b）都在双曲线y＝
（x<0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（）.
A.y＝xB.y＝x＋1C.y＝x＋2D.y＝x＋3
4.如图6－1－5已知，直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝2
，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝（）
A.6B.8C.10D.12
（二）“小虫爬行问题”
【通法】见“小虫爬行问题”作展开图构造Rt△，再用勾股定理求之.
例6－1－2
（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm，一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点的最短路径是多少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短.”
图6－1－6②
（2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm?
【规律】“一点内一点外要用轴对称.”
体验与感悟6－1－2
1.
（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，最短距离是（）
A.5
B.25C.10
＋5D.35
图6－1－7②
图6－1－7③
图6－1－7④
（2）6－1－7②，底面半径为3cm的圆锥的主视图是个正三角形，C是母线OB的中点，则从圆锥表面从A到C的最短距离等于cm.
（3）6－1－7③,圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（）cm.
A.20B.10C.14D.无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH是个无上底长方体容器，M在容器内侧，位于侧棱BF上，已知AB＝5，BF＝9，FM＝3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于.
2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？
图6－1－8
（三）两二次根式和的最小值
【通法】形如“求
＋
（其中a，b，m为正常数）的最小值”的题目，在平面内画出线段AB＝m，使C、D在AB两侧，并且CA⊥AB，DB⊥AB，CA＝a，BD＝b，则CD长即为所求.
例6－1－3求代数式
＋
（0≤x≤4）的最小值.
【规律】先把代数问题转化为直角三角形问题，再根据两点之间线段最短，借助勾股定理求最小值.
体验与感悟6－1－3
求函数y＝
＋
（0≤x≤12）的最小值.
（四）折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是：
（1）在折叠中感受大小变化规律，
（2）通过特殊位置求最值.
例6－1－4
（1）如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值范围是.
（2）如图6－1－10，直角梯形纸片ABCD中，AD∥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，则P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.
【规律】
（1）A、E重合时k最小为0，的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；
（2）观察发现P在线段DE上时，PD比P在其它位置时小，并且DE长等于DB长时的PD最小.
体验与感悟6－1－4
1.动手操作：
在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为.
2.如图6－1－12，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AD＝CD＝3，AB＝6.点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值为.
（五）旋转最值（见第九单元旋转探究）
（六）线段差（PA－PB）最大
例6－1－6几何模型：
（1）如图6－1－13①，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上一点P，使∣AP－BP∣的值最大.
你作图的根据是.
⑵如图6－1－13②，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使︱AP－BP︱的值最大．你作图的根据是：
A：
______________________________________________B：
_______________________________________模型应用
⑶如图6－1－13③，一次函数y＝－2x＋4的图象与x、y轴分别交于点A，B，D为AB的中点，C、A关于原点对称．P为OB上一动点，请直接写出︱PC－PD︱的范围：
___________________．
体验与感悟6－1－6
1．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是____________________．
2．在⊙O所在的平面上有一点A，它到⊙O的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O的半径为________________．
3．在A、B均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P是x轴上使得︱PA－PB︱的值最大的点，OP＝__________________.
4．如图6－1－16，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一B．
⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;
⑵点D所在抛物线的对称轴上，求︱DB－DC︱的最大值．
提醒：
请回顾怎么解决求差的绝对值最大的题目．
二、垂线段最短[9]
说明：
“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少．只要涉及点到线、线到线距离用的都是“垂线段最短”，如高，与圆有关的位置关系等．
例6－2－1⑴如图6－2－1，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值范围是_______________，写出它的一个可能值是______________________．
⑵如图6－2－2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AB为地角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小值是（）
A．2B.3C．4D.5
⑶如图6－2－3，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，点E在线段AB上，且BE＝1，点P是线段AB上的动点．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，如果点E不动，则线段EP的最小值为_________________________．
例6－2－2如图6－2－4，二次函数y＝ax2＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO＝2．
⑴此二次函数的解析式为：
_________________________________________;
⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合时终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长_________________________________________.
②点D与B、C不重合时，过点D作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？
若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．
体验与感悟6－2
1．如图6－2－5，等边△ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y与x的函数图象大致是（）
2．如图6－2－6，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA＝OB＝
．
⑴则A、B两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．
3．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝
探究：
如图6－2－7①，AH⊥BC于点H，AH＝____________,AC＝___________，△ABC的面积S△ABC＝___________________．
拓展
如图6－2－7②，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，CF＝n（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）
⑴用x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
⑵求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值及最小值；
⑶对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现
请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出最小值．
三、圆中最长弦是直径[9]
解法归一：
求地角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它．
例是6－3如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小值是_________________．
交流分享：
EF是△FDE与△FCE公共斜边，所以E、C、F、D四点在以EF为直径的圆上，在这个圆中，总有EF≥CD，所以它的最小值等于CD的长．
体验与感悟6－3
1．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为_______________________．
提醒：
请回顾一下这两题怎么用圆是最长弦的．
四、求两正数和的最小值[9]
解法归一：
①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；
②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2（a、b为正数），则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2
，即m＋n≥2
，当且仅当m＝n时等号成立．
这是高中两个最重要的不等式．
③求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．
例6-4-1阅读理解：
对任意实数a，b，
∵（
－
）2≥0，∴a－2
＋b≥0，
∴a＋b≥2
，只有当a＝b时，等号成立．
根据上述内容，回答下列问题：
⑴若m＞0，只有m＝____时m＋
有最小值______________；．．
⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋
有最小值_____________；
⑶若x＞0，只有x＝______时，8x2＋
有最小值___________________;
例6－4－2如图6－4－1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B不重合的任意一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．请用本题图验证a＋b≥2
并指出等号成立时的条件．
交流分享：
用相似证CD2＝AD×BD．
例6-4-2如图6－4－2，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线y＝
（x＞0）上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
交流分享：
利用P点的坐标表示OD、OC的长．
体验与感悟6－4
1．公式：
对于任意正数a、b，总有a＋b≥2
，并且只有当a＝b时，等号成立．
直接应用与变形应用
⑴已经y1＝x（x＞0），y2＝
（x＞0），则当x＝____________时，y1＋y2取得最小值___________.
⑵已知函数y＝x＋
（a＞0，x＞0），当x＝______________时，该函数有最小值_____________．
⑶已知函数y1＝x＋1与函数y2＝（x＋1）2＋4，当x＞－1时，求
的最小值，并指出相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：
一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？
最低是多少元？
提醒：
想一下求a＋b的最小值实际在考查什么？
五、不等式、一次函数最优方案[8]
见第18单元，一次函数综合应用
六、二次函数最值[9]
解法归一：
“二次整数ax2＋bx＋c最值”完全可以借助二次函数y＝ax2＋bx＋c最值解决，解决方案有三：
一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：
a,b,c为常数，且a≠0）
例6-6-1⑴x2－2x＋6的最小值是_______________________;
⑵二次函数y＝－x2＋6x的最大值是______________________．
例6－6－2如图6－6－1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？
交流分享：
线段最值可由相似建立二次函数模型求．
例6－6－3如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），C（5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．
⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标_________________________;
⑵连接AC，探索：
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
体验与感悟6－6
1．如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．
2．问题情境：
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0）,当该矩形的长为多少时，它的周长最小？
最小值是多少？
数学模型：
设该矩形的长为x,周长为y，则y与x的函数关系式为：
y＝2（x＋
）（x＞0）．
探索研究：
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x＋
（x＞0）的图象性质．
1在图6－6－4中填写下表，并画出函数的图象．
x
1/4
1/3
1/2
1
2
3
4
y
2观察图象，写出该函数两条不同类型的性质;
3在求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你用配方法求函数y＝x＋
（x＞0）的最小值．
解决问题：
⑵用上述方法解决“问题情境“中的问题，直接写出答案．
交流分享：
对任意非负数m，可设m＝t2，其中t＝（
）2
七、几何探究最值类[8]
例6－7－1请阅读下列材料：
问题：
如图6－7－1①，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：
走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC）．
路线2：
走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB＋BC的长）
设路线1的长度为l1，设路线2的长度为l2，则l12＝AC2＝AB2＋
l22＝（AB＋BC）2，将AB＝5，BC＝10，半圆弧
长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：
l12＝AC2＝；
l22＝（AB＋BC）2＝；
l12－l22＝.
∴l12>l22∴l1>l2∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：
“圆柱的底面半径为1dm,高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）：
路线1：
l12＝AC2＝；
路线2：
l22＝（AB＋BC）2＝；
∵l12l22，∴l1l2（填>或<），所以选择路线（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究：
在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
体验与感悟6－7－1
1.在河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm（a>1）现计划在河岸上建一抽水站P向两个村庄供水.
方案设计：
某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，且d1＝PB＋BA（km）（其中PB⊥l于P点）；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2,且d2＝PA＋PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）.
观察与计算：
（1）在方案一中，d1＝km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝km（用含a的式子表示）.
探索归纳：
（1）①当a＝4时，比较大小：
d1d2（填“>”或“＝”或“<”）；
②当a＝6时比较大小：
d1d2（填“>”或“＝”或“<”）；
请你就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
【总结】以上两题是打破学生的思维定势、训练学生思考全面性的经典好题.
例6－7－2动手操作
（1）如图6－7－3①，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与重合，点B与
重合.
探究与发现
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是cm；（丝线的粗细忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？
创新与应用：
（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sinα＝.
【规律】
（1）
（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE、BE哪个等于底面周长.本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考查学生空间想象能力、分析能力的好题.
体验与感悟6－7－2
1.如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
2.如图6－7－5，四边形ABCD是正方形
升级会员 