(3)A∪B={(x,y)|x=2或y=3},几何意义是两条直线x=2和y=3上所有点组成的集合.
A∩B={(2,3)},几何意义是两条直线x=2和y=3的交点组成的集合.
拓展提升
1.求集合并集的方法
解此类题目首先应看清集合中元素的范围,简化集合.
(1)若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果.
(2)若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.
2.求集合交集的注意点
(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果.
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中,应重点考虑数轴分析法,直观清晰.
【跟踪训练1】
(1)集合A={x||x|≥2,x∈Z},B={x||x|≤3,x∈Z},求A∩B,A∪B;
(2)已知集合M={x|-1≤x≤1},N={x|3x<1},求M∩N;
(3)集合A={(x,y)|y=x+2},B={(x,y)|y=x+3},求A∪B,A∩B.
解
(1)A={x||x|≥2,x∈Z}={…,-4,-3,-2}∪{2,3,4,…}.
B={x||x|≤3,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
∴A∩B={-3,-2,2,3},A∪B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}=Z.
(2)∵3x<1,∴x<
,∴M∩N=
-1≤x<
}.
(3)A∪B={(x,y)|y=x+2或y=x+3},A∩B=∅.
探究
利用集合交集、并集的性质求参数
例2 设集合A={x|x2=4x},B={x|x2+2(a-1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
解
(1)∵A={x|x2=4x}={0,4},又∵A∩B=B,∴B⊆A.
①若B=∅,则Δ=4(a-1)2-4(a2-1)<0,解得a>1.
所以,当a>1时,B=∅⊆A.
②若0∈B,则0为方程x2+2(a-1)x+a2-1=0的一个根,即a2-1=0,解得a=±1.
当a=1时,B={x|x2=0}={0}⊆A;
当a=-1时,B={x|x2-4x=0}=A.
③若4∈B,则4为方程x2+2(a-1)x+a2-1=0的一个根,即a2+8a+7=0,解得a=-1或a=-7.
由②知当a=-1时,A=B符合题意,当a=-7时,B={x|x2-16x+48=0}={4,12}⊄A,综上可知,a的取值范围为{a|a≥1或a=-1}.
(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.又∵A={0,4},而B中最多有2个元素,
∴A=B,即0,4为方程x2+2(a-1)x+a2-1=0的两个根.
∴
解得a=-1.
拓展提升
利用子集关系求参数问题
(1)在进行集合运算时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=∅的情况.
(2)集合运算常用的性质
①A∪B=B⇔A⊆B;
②A∩B=A⇔A⊆B;
③A∩B=A∪B⇔A=B.
【跟踪训练2】 已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B=∅;
(2)A⊆(A∩B).
解
(1)若A=∅,则A∩B=∅成立.
此时2a+1>3a-5,即a<6.
若A≠∅,如图所示,则
解得6≤a≤7.
综上,满足条件A∩B=∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A⊆(A∩B),且(A∩B)⊆A,所以A∩B=A,即A⊆B.
显然A=∅满足条件,此时a<6.
若A≠∅,如图所示,则
或
由
解得a∈∅;
由
解得a>
.
综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是
.
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:
x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅.
2.进行集合的交、并运算应注意的三点
(1)意义化:
分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形.
(2)直观化:
借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来.
(3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.运算时还要注意:
①勿忘对空集的讨论;②勿忘集合中元素的互异性;③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍.
1.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则( )
A.M⊆NB.N⊆M
C.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}
答案 C
解析 显然A,B均错误,M∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3},C正确,M∪N={1,2,3,4},D错误.故选C.
2.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1},那么集合A∩B等于( )
A.{x|2≤x<4}B.{x|x≤3或x≥4}
C.{x|-2≤x<-1}D.{x|-1≤x≤3}
答案 C
解析 在数轴上表示出两个集合,如图所示,由图可知A∩B={x|-2≤x<-1}.
3.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=( )
A.∅B.{2}C.{0}D.{-2}
答案 B
解析 解法一:
因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2},
A={-2,0,2},所以A∩B={2}.
解法二:
代值验证法,将-2,0,2分别代入x2-x-2=0,经检验知只有2满足题意,故选B.
4.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是________.
答案 m≥2
解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m≥2.
5.已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x-a<0},
(1)当a=3时,求A∪B;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
解
(1)当a=3时,集合B={x|x<3},
∴A∪B={x|1≤x<4}∪{x|x<3}={x|x<4}.
(2)若A⊆B,如图:
则a≥4.
A级:
基础巩固练
一、选择题
1.设集合A={x|-2≤x≤3},集合B={x|0≤x≤4},则A∪B=( )
A.{x|-2≤x≤4}B.{x|-2≤x≤3}
C.{x|0≤x≤4}D.{x|3≤x≤4}
答案 A
解析 结合数轴分析可知A∪B={x|-2≤x≤4}.
2.已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )
A.{0}B.{-1,0}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
答案 B
解析 因为A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},所以A∩B={-1,0}.
3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集的个数共有( )
A.2B.4C.6D.8
答案 B
解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴P=M∩N={1,3},则集合P的子集有∅,{1},{3},{1,3},共4个.
4.设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|x≤a},若A∩B=∅,则实数a的取值集合为( )
A.{a|a<2}B.{a|a≥-1}
C.{a|a<-1}D.{a|-1≤a≤2}
答案 C
解析 如图,要使A∩B=∅,应有a<-1.
5.设M,P是两个非空集合,规定M-P={x|x∈M,且x∉P},根据这一规定,M-(M-P)等于( )
A.MB.PC.M∪PD.M∩P
答案 D
解析 当M∩P≠∅时,由图可知M-P为图中的阴影部分,则M-(M-P)显然是M∩P;当M∩P=∅时,M-P=M,此时M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且x∉M}=∅=M∩P,故选D.
二、填空题
6.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=________.
答案 0,1或-2
解析 由已知得B⊆A,∴x2=4或x2=x,∴x=0,1,±2,由元素的互异性知x≠2,∴x=0,1或-2.
7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,则实数m的取值范围是________.
答案 m=3或-2
解析 由A∩B=B得B⊆A,而A={1,2},对于方程x2-mx+2=0,Δ=m2-8.
当B=∅时,Δ=m2-8<0,解得-2
;
当B={1}或B={2}时,
或
m无解;
当B={1,2}时,
解得m=3.
综上所述,m=3或-2
.
8.已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R},则A∩B=________.
答案 {y|-4≤y≤14}
解析 由题可知集合A,B分别是二次函数y=x2-2x-3和y=-x2+2x+13的函数值y的取值集合.
A={y|y=(x-1)2-4,x∈R}={y|y≥-4},B={y|y=-(x-1)2+14,x∈R}={y|y≤14}.
因此,A∩B={y|-4≤y≤14}.
三、解答题
9.已知集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∩B={-3},A∪B={-3,4},求实数a,b,c的值.
解 由A∩B={-3},得-3∈A.
∴(-3)2-3a-12=0,解得a=-1.
∴A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.
又A∪B={-3,4},A≠B,∴B中只有一个元素-3,
∴
解得b=6,c=9.
∴a=-1,b=6,c=9.
B级:
能力提升练
10.设集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.
(1)若A∩B=A∪B,求实数a的值;
(2)若∅(A∩B),且A∩C=∅,求实数a的值;
(3)若A∩B=A∩C≠∅,求实数a的值.
解
(1)B={x|x2-5x+6=0}={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}.
因为A∩B=A∪B,所以A=B,则A={2,3},
所以
解得a=5.
(2)因为∅(A∩B),且A∩C=∅,
B={2,3},C={-4,2},
所以-4∉A,2∉A,3∈A,所以32-3a+a2-19=0,
即a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2.
当a=-2时,A={-5,3},满足题意;
当a=5时,A={2,3},不满足题意,舍去.
综上,可知a=-2.
(3)因为A∩B=A∩C≠∅,B={2,3},C={-4,2},
所以2∈A,则22-2a+a2-19=0,
即a2-2a-15=0,解得a=5或a=-3.
当a=5时,A={2,3},不满足题意,舍去;
当a=-3时,A={-5,2},满足题意.
综上,可知a=-3.