数学建模B题眼科病床安排模型一等奖.docx
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数学建模B题眼科病床安排模型一等奖
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
云南大学
参赛队员（打印并签名）：
1.苟常兴
2.叶知秋
3.李立蓉
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
尉洪
日期：
2009年9月14日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排
摘要
针对医院病床的合理安排问题，文中通过建立三种不同的排队论模型，展开病床分配策略的讨论，使医院的病床资源得到了有效利用。
针对问题一，为了在医院管理中对病床工作效率进行正确分析，我们确定了四个评价指标：
病床周转次数、等待住院病人队列长度、术前准备时间和病床利用率。
应用上述四个指标对该医院现有的病床安排进行了综合评价。
利用TOPSIS法[1]、[2]确定了一个评价病床工作效率的综合指标C，通常C处于0到1之间，C取值越大，病床工作效率越高。
利用该指标对现行已有的分配方案进行评价，得到C的平均值为0.6724，且C呈现递减趋势，说明现行的病床工作效率并不高。
针对问题二，问题处理为一个并串随机服务系统[3]，考虑到对病床的合理安排主要受到问题一中评价指标的影响，而等待住院病人队长及病床周转次数都受术前准备时间的影响，因此建立以术前准备时间最优为指标的优化规则。
基于第二天拟出院人数和等待队列情况，利用计算机模拟[4]的方法确定第二天的入住安排。
以9月12日-18日一周时间为例，得出每种病的入院安排情况，比如12日安排青光眼、视网膜疾病和外伤患者各一人。
平均术前等待时间如下表：
病人种类
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
外伤
平均术前等待时间（天）
2.5
2.5
1.7
1.9
1
针对问题三，根据现有数据，分析得到入院等待时间服从正态分布，利用normrnd函数来产生各类病人入院等待时间的随机数，模拟出一个病人的入院时间。
通过仿真模拟得到，白内障单眼、白内障双眼、青光眼和视网膜疾病的大致入院时间区间为10—15天、10—14天、9—15天和10—15天，其中外伤的入住天数为一天固定不变。
针对问题四，比较分析了3种可行的白内障手术安排时间，确定出周三与周五是最佳的手术时间。
然后调整问题二的优化规则，重新求解问题二中12日至18日的入院情况及平均术前准备时间。
比如12日青光眼2人和视网膜疾病1人入院。
平均术前等待时间如下表：
病人种类
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
外伤
平均术前等待时间（天）
2.1
2.1
1.3
1.7
1
针对问题五，综合考虑各类病人占用病床比例大致固定和FCFS的服务策略，初始设定各类病床的参考基数，结合波动系数形成约束条件，以所有病人的平均逗留时间最短为目标，建立整数线性规划模型，求出最佳病床分配比例如下表：
白内障
白内障（双眼）
青光眼
视网膜疾病
外伤
24.05%
27.85%
10.13%
21.52%
16.46%
关键字：
TOPSIS法病床工作效率并串随机排队计算机模拟正态分布
并行随机排队整数线性规划
一、问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：
试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：
作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：
若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二、模型假设
1.假设每天到医院门诊的人数服从泊松分布；
2.只要门诊过的病人都会等到入院；
3.白内障手术较简单，没有急症；
4.外伤属于急症，只要有空病床，第二天便安排住院；
5.医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制；
6.考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术不在同一天做。
7.青光眼与视网膜疾病术前准备时间在2-3天里均匀分布
三、符号说明
X1
病床周转次数
X2
排队长度
X3
入院到手术时间
X4
病床利用率
Z
归一化矩阵
Zmax
最优矩阵
Zmin
最劣矩阵
Dmax
评价对象与最优值的距离
Dmin
评价对象与最劣值的距离
C
评价对象与最优值的相对接近程度
Tin
各类病人入院时间
Ts
病人到医院门诊时间
i
病的种类，题中有四种
Ri
i类病人的人数
Pi
各类病人门诊时间到入院时间的均值
S
各类病人门诊时间到入院时间的方差
que
队列长度
men
门诊人数
ti
同一类病人从入院到出院的时间的均值
λ
不同种类病人的比例
Ai
同种类病的参考床位数
Ki
波动系数
xi
各类病人的床位数
四、问题分析
问题一中针对医院病床的管理问题，提出对医院病床安排模型的的评测。
我们认为合理安排病床的综合评价应该从影响病床工作效率的几个指标出发。
通过对医院管理的相关书籍的了解，我们将病床周转次数、队列长度、入院到手术时间和病床利用率作为评价病床工作效率的四个评价指标。
利用医院管理中常用到的TOPSIS法来建立一个评价模型，得出一个评价病床工作效率的C值，对医院现有的病床安排模型作出合理性的评价。
问题二要求就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，此模型能够根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
为此我想到了建立不同病的安排入院规则即优先安排外伤病员，星期一、二优先安排入住顺序为白内障单眼、青光眼和视网膜疾病，星期三、四、五优先安排入住顺序为青光眼、视网膜疾病，周末优先安排入住顺序为白内障双眼、白内障单眼、青光眼，且对同一种病实行FCFS规则。
在问题三中，作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
所以我们根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，建立了一个简单但实用的预测模型，在病人门诊时就能预测出此类病人的大致入住时间区间，将此信息告知病人，能够很有效地为病人做到优质且全面的服务。
在问题四中，若该住院部周六周日不安排手术，那么该医院的手术就只能安排在周一至周五，若不及时调整医院手术安排，可能会让医院运转度受到相应的影响，比如说等待手术的病人队列会变得越来越长，手术医生的任务会越来越重，所以，对医院的手术安排作出合理的调整是相当重要的。
为了有一个合理的手术安排时间，我们要探索对安排手术进行的最优时间。
问题五中，针对文中第五问的要求通过采取使各类病人占用病床的比率大致固定的方案，来让所有的病人的平均逗留时间（含等待入院即排队时间和住院时间两个部分）最短。
显然我们可以通过规划的方法来让目标函数达到全局最优（即平均的时间最短）。
我们可以假设当采用一定的比例分配床位以后，那么针对不同的病的类型我们可以将单独的一类病的系统视为具有一定的独立性，而且是动态平衡的（即输入和输出通过一段时间的波动系数之后相等，而队列长度的长度可以保持不变）。
这样就构成了一个并联的，独立的排队服务系统。
理论上就存在一个不同病类的床位比例让平均逗留时间最短。
五、模型的建立和求解
5.1模型一的建立与求解
5.1.1模型一的建立
根据题目的要求和医院的相关管理制度，我们确定了病床周转次数X1、队列长度X2、入院到手术时间X3和病床利用率X4四个评价指标，应用TOPSIS法综合评价医院病床安排模型。
TOPSIS法的具体步骤如下：
[1]用原始资料建立原始矩阵X，并使趋势高优指标病床周转次数X1和病床利用率X4的值保持不变，让低优指标队列长度X2和入院到手术时间X3用倒数法转化为高优指标，即
，
，得到下列矩阵
（1）
[2]将同趋势化后的矩阵做无量纲归一化处理，得到资料矩阵
（2）
[3]确立最优向量
和
；
[4]确立各评价对象与最优值和最劣值之间的距离
（3）
（4）
[5]计算各评价对象与最优值的相对接近度
（5）
（C即为评价病床安排模型的综合指数值。
）
5.1.2模型一的求解
我们根据TOPSIS法的建模步骤，利用MATlAB编写程序得到了评价医院病床安排模型优劣的综合指标值C，且C值越大越好。
运行程序（见附录），得到的C值如下表所示：
表1医院43天来的病床安排评价综合指数值C
0.77063
0.79666
0.82033
0.83847
0.77363
0.76943
0.91063
0.89961
0.73045
0.82194
0.79762
0.75398
0.64033
0.70507
0.3554
0.18768
0.5899
0.71721
0.90689
0.68558
0.52939
0.61916
0.41561
0.75486
0.84179
0.69768
0.54744
0.7523
0.64221
0.30535
0.52207
0.73877
0.82582
0.61916
0.43663
0.56048
0.42377
0.89719
0.71253
0.83721
0.73411
0.56747
0.45892
由上表求出C的平均值为0.6724。
为了体现出C值的变化趋势，用lstOpt软件对TOPSIS模型得到的数据进行拟合，得到的结果如下所示：
Function：
y=p1+p2*x+p3*x^1.5+p4*x^2*Ln（x）+p5*x^0.5*Ln（x）
其中：
p1=3.0387
p2=-2.5240
p3=0.2431
p4=-0.0023
p5=2.1675
y=p1+p2*x+p3*x^1.5+p4*x^2*Ln（x）+p5*x^0.5*Ln（x）即为病床安排评价综合指数值C满足的拟合方程。
误差分析结果：
均方差（RMSE）：
0.1523
残差和（SSE）：
0.9975
相关系数（R）：
0.45519
决定系数（DC）：
0.2072
其中残差和（SSE）=0.9975，这个误差值很小，在我们可以接受的范围内，所以证明我们的评价模型相当有优点。
通过lstOpt拟合出来的曲线与实际的C值曲线的图形如图1所示：
图1C值的拟合曲线与真实曲线的对比图
图1中x表示天数，y表示C值
从评价结果可以看出，我们建立的TOPSIS模型误差是比较小的，可行性很强，从上面的图可以看出通过lstOpt软件拟合出来的曲线除去一些随机条件，与实际曲线的趋势大致是相吻合的，且可以看出病床的工作效率呈现下降趋势。
5.2模型二的建立与求解
5.2.1模型二的建立
据了解，医院通常使用串入的FCFS排队系统[2]来为病人提供服务，这种思想本身有自己的好处，但在这种模式下，建立模型来解决队列越来越长的问题，就是尽快合理安排当前病人的手术日期的问题。
所以我们采取并入的FCFS排队系统来为病人提供服务，即不同种类的病人有不同的队列，按照以下病床分配规则，得出合理的病床安排模型，使得病人的实际术前准备时间最少，从而提高病床周转率，队列越来越长的问题也随之解决。
由上文分析可知病人等待队列长度和病床周转次数均可是作由术前等待时间（手术时间-入院时间），因此我们将问题一中评价简化为术前等待时间，由此建立优化并从分配规则。
病床分配规则：
1.优先安排外伤
2.有病人等待时，使住满率为1
3.星期一、二优先安排入住顺序为白内障单眼、青光眼和视网膜疾病
4.星期三、四、五优先安排入住顺序为青光眼、视网膜疾病
5.周末优先安排入住顺序为白内障双眼、白内障单眼、青光眼
6.同一种病实行FCFS规则
7.在青光眼与视网膜疾病均可入住时，其入住权重比为2：
1
下图为医院病人从住院到出院的系统流程图[5]，医院的床位应用排队服务系统满足先到先服务（FCFS）的服务法则。
图2串入的FCFS排队系统图
图3并入的FCFS排队系统图
5.2.2模型二的求解
根据以上规则，用matlab编程[6]建立一个模拟的系统，根据第二天的拟出院病人数和第二天的各病种队列长度，优化出第二天安排病人入住的方法。
并用9月12日至18日一周的时间作为示例。
1、计算第二天各病种队列长度quei，等于前一天的剩余病人队列长度quei-1加第二天的各病种门诊人数meni。
即
quei=quei-1+meni，i=1,2…n
门诊人数根据题目所给表中各个病种的出现次数统计得到各个病种门诊人数的期望如表2所示：
表2门诊人数期望
青光眼
视网膜疾病
白内障
白内障双眼
外伤
1.5
2.8056
1.9038
2.4182
1.5714
根据查询大量资料后得知，病人到达时间服从泊松分布，用matlab泊松分布函数产生随机数R=poissrnd（λ,7,5），得到门诊人数如表3所示：
表3门诊人数
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
外伤
2
2
2
1
0
4
3
0
2
0
1
2
3
2
2
1
2
2
2
0
2
5
0
2
1
2
2
0
3
2
3
1
1
4
3
再对9月11日以前已门诊但未入院的各类病人数进行统计，得到9月11日的剩余病人队列长度，将此作为初始病人队列。
表4初始病人队列
青光眼
视网膜疾病
白内障
白内障双眼
外伤
19
26
18
20
1
2、计算出院人数，首先计算出各个病种的平均术后观察时间及其方差（见附录），考虑其服从正态分布，用matlab正态分布函数产生随机数R=normrnd（mu,sigma,m,n），即在一定范围内变动的随机术后观察时间。
然后用该观察时间加手术日期，即得到该病人出院日期。
对出院日期进行排序统计，得到9月12日及其后6天的出院病人数：
31852247。
将以上得到的出院病人数和各病种队列长度，代入优化规则的matlab程序代码（见附录）进行迭代，整理数据得到：
表5优化规则所得入院人数
入院人数
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
外伤
9月12日
1
1
0
0
1
9月13日
0
0
0
18
0
9月14日
0
0
0
3
2
9月15日
0
0
2
0
0
9月16日
0
0
1
0
1
9月17日
1
1
0
0
2
9月18日
2
2
0
0
3
由此可算得平均术前等待时间
：
（6）
为具体一个病人的术前等待时间，由病种与入院时为星期几决定；r为当天一个病人种类入院人数。
可以求得如下表6数据：
表6平均术前等待时间
病人种类
青光眼
视网膜疾病
单眼白内障
双眼白内障
外伤
平均术前等待时间（天）
2.5
2.5
1.7
1.9
1
由此可知，经优化规则安排的入院病人实际术前等待时间均与必须术前等待时间相近，即接近最小值，从而病床周转次数也较高，病人等待队列长也将在一定时间后开始减小。
故问题1中所建的评价体系指标C也将上升至一个较高的水平。
可见，用该优化规则模型安排病床可有效解决该住院部的病床合理安排问题，提高对医院资源的有效利用。
5.3模型三的建立与求解
5.3.1模型三的建立
在模型三的建立中，我们希望建立的是一个能够通过原始数据而预测出一个病人将会在那个时间段入院的模型。
首先根据原始数据计算出2008年7月13日到2008年9月11日病人门诊时间到入院时间的均值，通过我们检验，这个时间的直方图和曲线图如下所示，可以看出此时间符合正态分布直方图和正态分布Q-Q图，说明其服从正态分布。
图4正态分布直方图
图5正态分布Q-Q图
因为这个时间符合正态分布，所以我们可以利用函数normrad[5]依次得到除急诊外的各类病人从门诊时间到入院时间的随机数，然后对这些数求出min和max值，就可以得出病人门诊时到入院时的时间范围。
从而就达到了我们建模的目的，在病人门诊时就可以告知他大致入院的时间区间。
为了对建立的预测模型进行优化，我们仍然对来门诊的同类病人按照FCFS排队系统服务规则给与服务，即在这一大致区间内又划分为很多小区间，然后对于先来的病人，我们就告知其最优的时间区间，这样就不会造成在某个时间区间内病人入院的拥挤而有的时间区间又没有病人入院，从而影响到医院病床利用率。
5.3.2模型三的求解
1、根据原始数据计算出2008年7月13日到2008年9月11日各类病人门诊时间到入院时间的均值
（7）
求得的各类病人（除急诊外）的均值如下表：
表7入院等待时间均值
病种
白内障
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
入院等待时间均值
12.69
12.68269
12.31
12.72
2、求2008年7月13日到2008年9月11日各类病人入院等待时间的方差Si，求得Si的值如下表：
表8入院等待时间的方差Si
病种
白内障
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
入院等待时间的方差
1.193
0.821
1.241
1.314
3、用normrad函数求出一组除急诊外的各类病人从门诊时间到入院时间的随机数，然后对这些数求出min和max值，就可以得出病人门诊时到入院时的时间范围如下表所示：
表9病人入院等待时间范围
病种
白内障
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
外伤
入院等待时间最小值
10.1069
10.8719
9.4965
10.0386
1
入院等待时间最大值
15.288
13.9878
14.8657
15.3387
1
4、由于只在周一和周三做白内障手术，所以我们在告知这类病人的时候要特别注意，要尽量将其安排其入院日期接近他的手术日期，这样就大大提高了病床的利用率，当然除急诊（门诊的第二天就无条件入院）外，其它病人不能安排在周一和周三。
5、例如某一病人在2008年7月20日（周日）门诊后得知自己患了单眼白内障，那么我们可以根据单眼白内障的门诊到入院的大致时间区间为10到15天左右，所以我们可以安排病人7月30（周三）日至8月4日（周一）之间入住，兼顾到此种病只在周一和周三做手术，所以我们应该尽量安排病人入院时间接近周一和周三，比如可以安排在8月2日或8月3日住院，那么此病人就可以在短期内做手术，这也会大大提高病床利用率。
假如还有一个患单眼白内障的病人需要告知其大致入住区间，那么兼顾到FCFS排队服务系统，我们就应该将此病人的入住期间与前面排队的患者的入住期间之间尽量有个小小的差距，避开入院高峰，并对先到的病人先服务。
5.4模型四的建立与求解
5.4.1模型四的建立
题目假设该住院部周六周日不安排手术，那么问题二中病床分配的规则也将随之改变。
另外还可能导致白内障手术时间不合理化。
因此需要进行对不同手术时间方案进行分析比较。
由于白内障双眼需要隔天分别进行2只眼睛的手术。
因此该手术时间安排可有3种方案：
周一与周三、周二与周四或周三与周五。
我们以最短术前准备时间为目标，分别考虑这三种方案下每周可作为最佳入住时间的天数，天数越多则方案越优。
假设各种病（除急症外）最佳入院时间的优先考虑顺序为双眼白内障、单眼白内障、其它（除急症外），当某一天作为一种病的最佳入院时间后则不再作为其它病种的最佳入院时间。
三种方案的分析比较：
方案1：
周一与周三
双眼白内障：
周六、周日
单眼白内障：
周一、周二
其它：
周三；
故该方案周四与周五2天不能作为最佳安排入院时间。
方案2：
周二与周四
双眼白内障：
周日、周一
单眼白内障：
周二、周三
其它：
周五、周六；
故该方案周五不能作为最佳安排入院时间。
方案3：
周三与周五
单眼白内障：
周三、周四
双眼白内障：
周一、周二
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