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留数定理的相关文献综述精选

留数定理在定积分中的应用

100111205徐海搏

摘要:

留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。

在某些积分中，不能直接求出原函数或者计算十分复杂,而留数定理就很好的解决了这些问题。

本文综述了留数理论的起源、发展及基本内容和计算定积分的各种方法，例如直接积分法、凑微分法、换元法、分部积分法，并利用了所学到的这些知识去解决留数定理在定积分中应用的相关问题。

关键字:

留数定理;定积分;可去奇点.

TheApplicationofResidueTheoreminintegral

Abstract:

ResidueTheoryisthecombinationofthetheoriesofintegralandseries,ResidueTheoremcanbeusedtocalculatetheintegralalongtheclosedloopintotheisolatedsingularityofresidue.Insomepoints,whetherdirectlycalculatedfunctionorcalculationisverycomplicated,andResidueTheoremisverygoodtosolvetheseproblems.ThepaperreviewsResidueTheoryoforigin,developmentandbasiccontentandvariousmethodsofcalculatingdefiniteintegral,suchasdirectintegralmethod,differentialmethod,changeelementmethod,thedivisionofintegralmethod,andusetheknowledgewhichwaslearnedtosolveResidueTheoremindefiniteintegralapplicationrelatingissues.

Keywords:

ResidueTheorem;Definiteintegral;Singularity

一、留数的起源

留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分.综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义.同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路线的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了基础[1].1825年,柯西（Cauchy）在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2].随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3].若函数f（z）在

上全纯,其中r>0,a为f（z）的孤立奇点,f（z）在a的留数定义为

柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,并推广到微分方程[4],级数理论及其他一些学科中,并在相关学科中产生了深远影响,成为一个极其重要的概念.因而很自然地产生了这样一个问题:

柯西为什么要定义这一概念?

或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义?

显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.某些学者在研读柯西1814年,1822年,1825年3篇论文及其与复分析有关的原始文献的基础上,以“为什么数学”[5]为切入点和主要目的,对上述问题进行探讨。

二、留数的计算啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。

此外,在数学分析以及实际问题中,往往要求出一些定积分或反常积分的值,而这些积分中的被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来;有时即使可以求出原函数,计算也非常复杂,但我们利用留数定理,可以把要求的某些类型的反常积分或者定积分转化为复变函数沿封闭曲线的积分,从而把待求的积分转化为留数计算,这种方法也就是我们通常所说的围道积分方法。

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

一般来说,求函数f（z）在孤立奇点Z处的留数,根据留数的定义,只须求出其在

为中心的圆环域的洛朗展式中负一次幂项的系数

。

但实际求解时我们不需要这么来求,而是先讨论函数孤立奇点的类型,这样计算起来非常简便。

1.若

为函数的可去奇点,因为根据可去奇点的定义,

的洛朗展式中不含有负数次幂的项,即

。

2.若

为函数的本性奇点,则只能根据留数定义把f（z）在

展开为洛朗级数,然后求出

。

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

3.若

为函数的极点,则可以根据极点的阶数利用以下三个法则进行快速求解。

法则I若

为f（z）的一阶极点,则

法则II若

为f（z）=

的一阶极点,则

啊啊

法则III若

为f（z）的n阶极点,则

啊啊

三、留数定理啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

留数定理:

设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点

外处处解析,C为D内包围各奇点的一条正向简单封闭曲线,则

。

下面我们针对f（z）具体的不同进行讨论,把留数定理与柯西积分理论联系起来:

1.当f（z）在区域D内解析时,即在区域D内无孤立奇点,应用留数定理

可见柯西积分定理实际上是函数为解析函数的留数定理。

2.当f（z）在区域D内解析,

为

在区域D内的一阶极点,应用留数定理有

，而根据一阶极点的计算公式有

。

可见柯西积分公式实际上就是函数在被积区域内有一阶极点的留数定理。

3.当f（z）在区域D内解析,

为

在区域D内的n+1阶极点时,应用留数定理,

此即为n阶求导公式,可见高阶求导公式实际上就是函数在被积区域内有n+1阶极点的留数定理。

四、定积分计算的相关方法

1.公式法

凡运用不定积分公式和牛顿一莱布尼兹公式

，

其中

且f（x）在[a，b]上连续）计算定积分值的方法，本文把它称为公式法。

公式法适用于解决能用不定积分法求出被积函数的原函数的。

这类函数积分问题。

而用不定积分求原函数时有直接积分法、换元积分法、分部积分法等，因此相应地也有定积分的直接积分法、换元积分法、分部积分法等[6]。

1.1直接积分法

直接应用不定积分的基本公式和法则求出被积函数的原函数，再求原函数在上、下限对应的函数值之差。

1.2凑微分法

先将被积式凑成与不定积分基本公式相同的形式，再用直接积分法求定积分。

1.3换元积分法

为了使一部分无理式能运用积分公式进行计算，我们在积分中引人一新的变量使原积分变量

其中

为单值且有连续导数的函数，再将原变量x的积分限换成相对应新变量t的积分限，关于新变量t的原函数求出后直接带新变量的积分限相减即可。

1.4分部积分法

当我们遇见一些被积式为积的形式时，既不能直接积分计算，而用“凑微分”法、“换元法”计算又比较困难的时候，分部积分公式:

我们提供了方便[7]。

只要将

的积分转化为

的积分，就使问题迎刃而解。

2利用留数理论求定积分

留数理论，不仅在复变函数中可简化某些复积分的计算，而且把其应用于实变函数中可解决某些原函数难以用初等函数表示或即使有但计算过于复杂的定积分和广义积分的计算问题。

由于在积分中此法用得较少，在此笔者拟作较细的讨论。

把留数理论应用于定积分的计算，一般可通过下列四步完成[8]:

步骤一：

作变量替换将被积函数由实变函数化为复变函数要用留数定理计算定积分首先得选择一个与被积函数相关的复变函数，把被积函数由实变函数化为复变函数。

步骤二：

转换积分域。

定积分的积分域为区间，要用留数定理计算定积分，必须把问题化为复平面上沿着某一闭曲线上的积分。

此时应注意以下几点[9]:

第一，积分闭路，一般由两部分组成:

一部分与定积分的积分区间有关，称为主要部分;另一部分称为附加部分。

第二，被积函数在积分闭路上解析，这是应用留数定理的必要条件。

第三，附加路线上的积分要容易求得。

第四，多值函数应避开支点，选择适当的割线把多值函数分成解析分枝。

步骤三：

利用留数定理求选择的解析函数在闭路上的积分。

步骤四：

处理附加路线上的积分[10]。

求附加路线上的积分较为困难，但是如果我们能掌握运用好以下两个引理，对于处理函数在充分大或充分小的圆弧（可能是圆周）上的积分值，在一般情况较为简便[11]。

3计算机在定积分计算中的应用

在大多数时候能得到不定积分闭式解的情况较少，特别是在现代科学研究和工程实践中所遇到的积分表达式越来越复杂，其原函数很难找到，也就是说在很多情况下求定积分都不能用公式法解决。

而用留数定理求定积分，不仅较难操作而且又有局限性，它不能解决所有原函数难以计算的积分问题[12]。

用笔算或用计算器求定积分近似解时计算又太繁，而且分割越细、计算量越大，其结果近似程度才越好。

多少年来，有关人员一直在寻求既方便又有效的定积分计算方法。

现代计算机的出现，人们将定积分的近似计算方法程序化，把人们从繁琐的手工计算劳动中解放出来。

计算机的计算速度快，而且近似程度好。

借助于计算机使定积分的近似计算法在实际中得到广泛应用。

特别是运用近来研制成功的Maple数学软件包，在进行积分计算时仅需输人被积函数

、积分变量x、积分区间[a,b]及选择N的数目，即可得到其近似结果。

不仅如此，它还可计算不定积分，并且当被积函数的解析解不存在时，Maple数学软件会将被积函数展开成级数后再积分，从而得到不定积分的近似解析解。

五、总结

事实上,每当一个数学理论发展到一定程度,便会遇到一些困难,此时数学家们便会构造一些新的定义或方法,以使他们的理论完美.如果宏观地,浅显的谈论了一下留数定理和定积分。

不难发现其中的想通共同之处，我们稍加利用柯西等前辈们的成果，就能更好的解决实际问题。

在我们更快更好地理解了留数定理和定积分的计算方法。

我们就能用这些方法解决比如计算积分

等等一类的实际问题。

参考文献:

[1]F.Smithies.Cauchy,twomemoirsoncomplex-variablefunctiontheory.

（1825,1827）[J].LandmarkwritinginwesternMathemat-ics1640-1940.2005:

377-390.

[2]胡作玄.近代数学史[M].山东:

山东教育出版社,2006:

286-293.

[3]龚升.简明复分析[M].北京:

北京大学出版社,2003:

100-105.

[4]M.Kline.Mathematicalthoughtfromancienttomoderntimes[M].NewYork,OxfordUniversityPress,1972（中译本：

M.克莱因著.古今数学思想（第三册）[M].上海：

上海科学技术出版社，2002:

8-16）

[5]曲安京.中国数学史研究范式的转换[J].中国科学技术杂志,2005,26

（1）:

50-58.

[6]钟玉泉.复变函数[M].北京:

高等教育出版社，2004．

[7]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:

高等教育出版社，2010．

[8]李文林.数学史教程[M].北京:

高等教育出版社,2000:

258-262.

[9]A.N.Kolmogorov,A.P.Yushkevich.Mathematicsofthe19thCentury[M]·BirkhauserVerlag.1996:

119-270.

[10]GarrettBirkhoff.ASourceBookinMathematicas1200-1800[M].Cambridge,Massachusetts:

HarvardUniversityPress,1973:

31-60.

[11]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].高等教育出版社出版.2004.

[12]郑建华.复分析（第一版）[M].清华大学出版社出版.2003.

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顶岗实习总结专题13篇

第一篇:

顶岗实习总结

为了进一步巩固理论知识，将理论与实践有机地结合起来，按照学校的计划要求，本人进行了为期个月的顶岗实习。

这个月里的时间里，经过我个人的实践和努力学习，在同事们的指导和帮助下，对村的概况和村委会有了一定的了解，对村村委会的日常工作及内部制度有了初步的认识，同时，在与其他工作人员交谈过程中学到了许多难能可贵经验和知识。

通过这次实践，使我对村委会实务有所了解，也为我今后的顺利工作打下了良好的基础。

一、实习工作情况

村是一个（此处可添加一些你实习的那个村和村委会的介绍）我到村村委会后，先了解了村的发展史以及村委会各个机构的设置情况，村委会的规模、人员数量等，做一些力所能及的工作，帮忙清理卫生，做一些后勤工作；再了解村的文化历史，认识了一些同事，村委会给我安排了一个特定的指导人；然后在村委会学习了解其他人员工作情况，实习期间我努力将自己在学校所学的理论知识向实践方面转化，尽量做到理论与实践相结合。

在实习期间我遵守了工作纪律，不迟到、不早退，认真完成领导交办的工作。

我在村委会主要是负责管理日常信件的工作，这个工作看似轻松，却是责任重大，来不得办点马虎。

一封信件没有及时收发，很有可能造成工作的失误、严重的甚至会造成巨大的经济损失。

很感谢村委会对我这个实习生的信任，委派了如此重要的工作给我。

在实习过程中，在信件收发管理上，我一直亲力亲为，片刻都不敢马虎。

为了做好信件的管理工作，我请教村委会的老同事、上网查阅相关资料，整理出了一套信函管理的具体方法。

每次邮递员送来的信件，我都要亲自检查有无开封、损坏的函件，如果发现有损坏的函件，我马上联络接收人亲自来查收。

需要到邮局领取的函件，我都亲自到邮局领取，并把信函分别发放到每个收件人的手里。

对于收到的所有信函，我都分门别类的登记，标注好收发人的单位、姓名还有来函日期等等。

我对工作的认真负责，受到了村委会领导和同事们的一致好评，在他们的鼓励下，我的工作干劲更足了。

在工作之余，我还经常去村民家里，帮助他们做一些我力所能及的事情，也让我收获了很多知识，学会了许多技能。

我学会了一些常见农作物的生长特征，也学会了怎么给农作物施肥，洒药。

这些，都将是我今后人生道路上的宝贵财富。

短短个月的实习生活很快就过去了，这次实习是我从学校踏入社会的第一步。

在这里，我感受到了村民们的纯朴，也体会到了农村生活的不易，更加深刻的认识到了作为当代大学生身上肩负的使命。

在这次实习生活中，村委会的叔叔、阿姨们对我十分的照顾，在工作中，在生活上都给予了我很多的帮助，也对我寄予了很高的期望。

通过这次实习，锻炼了我的做事能力，养成了对人对事的责任心，也坚定了我加强学习，提升自我价值的信心。

二、发现的问题和建议

在此次在村村委会顶岗实习的工作中，确实让我学到了不少书本以外的知识，同时我也发现了不少问题。

第一，该村村委会的工作人员文化水平相对偏低，在村务工作的处理上，方式方法比较粗放。

第二，村委会工作人员思想比较守旧，缺乏对新事物、新观念的学习和认识。

第三，村委会的现代化办公水平还比较低，虽然配备了电脑等现代化办公工具，但是实际的利用程度很低。

第四，村委会人员由于不是国家编制，工作人员的工作热情和工作态度不是很积极。

三、实习的心得体会

刚开始去村村委会实习的时候，我的心情充满了激动、兴奋、期盼、喜悦。

我相信，只要我认真学习，好好把握，做好每一件事，实习肯定会有成绩。

但后来很多东西看似简单，其实要做好它很不容易。

通过实践我深有感触，实习期虽然很短，却使我懂得了很多。

不仅是进行了一次良好的校外实习......

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第二篇:

会计顶岗实习工作总结

从我踏进实习单位的那一刻起，我就知道我将经历一段特殊的不平凡的并且充满收获的人生旅程，那旅程必定在我的生命中写下浓墨重彩的一笔，必定会在我的生命中留下绚烂多彩的回忆，必定会给我带来生命中无与伦比的财富。

一、实习目的

毕业实习是我们大学期间的最后一门课程,不知不觉我们的大学时光就要结束了,在这个时候,我们非常希望通过实践来检验自己掌握的知识的正确性。

在这个时候，我来到圣鹿源生物科技股份有限公司在这里进行我的毕业实习。

二、实习内容及过程

为了达到毕业实习的预期目的。

在学校与社会这个承前启后的实习环节，我们对自己、对工作有了更具体的认识和客观的评价。

在整个的实习工程中,我总共做了以下的一些工作,同时自己的能力也得到了相应的提高。

1.工作能力。

在实习过程中，积极肯干，虚心好学、工作认真负责，胜任单位所交给我的工作，并提出一些合理化建议，多做实际工作，为企业的效益和发展做出贡献。

2.实习方式。

在实习单位，师傅指导我的日常实习，以双重身份完成学习与工作两重任务。

向单位员工一样上下班，完成单位工作；又以学生身份虚心学习，努力汲取实践知识。

3.实习收获。

主要有四个方面。

一是通过直接参与企业的运作过程，学到了实践知识，同时进一步加深了对理论知识的理解，使理论与实践知识都有所提高，圆满地完成了教学的实践任务。

二是提高了实际工作能力，为就业和将来的工作取得了一些宝贵的实践经验。

三是在实习单位受到认可并促成就业......

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第三篇:

工厂车间顶岗实习总结

我怀着激动的心情踏上了期待已久的顶岗实习之路，当我坐上离开学校的的班车那一刻起，我就知道我将经历一段特殊的不平凡的并且收获的人生旅程，那旅程必定在我的生命中写下浓墨重彩的一笔，必定会在我的生命中留下绚烂多彩的回忆，并定会给我带来生命中无与伦比的财富。

那时候对自己的未来希，希在那里能大展拳脚，实现自己的抱负。

那时候想的是多么多么的好啊，直到此刻我才觉得我当时是那么的幼稚，不可能你刚出来什么都没有就让你做好的岗位。

是的，顶岗实习的生活是艰辛的挑战的。

当我们来到实习点面对一间间产房和一条条流水线时，很多人后悔为什么当初选择了到海信科龙顶岗实习，但是我想说，这是我所预料到的，这也是我想要的，我知道人只有在艰苦的环境中才能磨练出坚强的意志，我也知道吃得苦中苦，方为人上认得道理，我自然还不是人上人，但是我相信在这个世界上每一个人都渴成功，都渴自己有限的生命能创造出的价值，都渴为更多的人做出自己能做的一切，都渴在看来你的生命无可，我自然也比例外。

我知道我的实习之路还刚刚开始，我要经历的还有很多。

到啦海信科龙之后，尽管他们很就帮我们把食宿解决啦，但那里生活习惯和在湖南的时候相差太大，吃的很不习惯。

对我们湖南人来说菜里面没有一点辣椒是吃不下的，因此在那里的时候开始一段时间都只是吃一点点饭，很快身材就“苗条”啦。

我的实习岗位被分配在总装车间箱发组，面对一台台发好泡的冰箱从自己流过，而我的工作就是和这些冰箱打交道。

我在这里做的装冰箱的托板，是将托板固定在冰箱上，这个岗位说难也不难，就是要你记得哪种型号的冰箱用哪种托板，要不要带电容，是几微法的电容。

要分清楚，不能弄错，不然会导致以后的环节出错，冰箱制冷时有可能电容会发爆炸。

所以这个一定要很认真的做，不能粗心大意，害别人帮你善后。

带我的师傅是一个个中专生，开始时我觉得做这个很简单，不用学，一看就会，做是会做，不过不是最省力的方法，就那么做啦一天，做得很累，后来，我看师傅做看他做的很轻松很快，我就在想为什么我不行呢，难到是我不如他，我知道我不是只是我不够虚心，不想学，看不起这个岗位，是我的态度，既然找到的根本原因，那就好解决啦。

后来，仔细看师傅的动作，怎么最省力，怎么最舒服。

并且不懂的地方虚心讨叫那些老员工。

就这样到我正式独立上岗时，我也像我师傅那样独立上岗啦，并不用要人帮忙啦。

就这样一直到今年，我把我那条的岗位都学会啦，并且我自己也当师傅啦，而且是带三个徒弟，分别教他们不同的岗位该怎么做，开始当别人师傅时我觉得很好玩，终于不用自己做啦，可以徒弟来做啦，就这样想，所以当徒弟一来时，我就给他做啦，当时我是舒服啦，不过后来就不是那么的啦，我没有认真的教他们......

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第四篇:

师范系中学顶岗实习总结

大一的时候就知道大三的上学期学校有顶岗实习活动，也知道这个机会对于我们师范生来说很难得，所以我毅然地选择了顶岗。

不知道顶岗的生活会是怎样，学校怎么样，学生好不好管，会是收获满满还是不如不曾经历过，一切都充满疑惑。

曾经问过师哥师姐，答案却是相差甚大，一切都是未知数。

可转眼间，实习已接近尾声，中学是一个小社会，是大社会的一个缩影，顶岗实习是大学步入社会的一个缩影，是大学进入社会的一个过渡。

在这为期半年的实习中，我们有最初的迷茫、紧张、陌生到现在的习惯、大方自然，工作、生活看似单调，但是，不论从刚开始的听课，到后来的讲课，参加班级管理，我们都受益匪浅：

不在懒床，不再拖拉，多了责任，多了经验，也收获了幸福。

从脚步迈入二中这所学校大门开始，我就知道自己已经不仅仅是一个大学生了，我现在是一个老师，我要以老师的身份来完成这半年的实习生涯。

另外在这里,学校的领导和老师都给了我很多帮助。

学校完全把我们这些顶岗实习生看成正式老师,无论哪一方面都更正式老师一样,没有区别。

这对我们这些实习生来说实在是一次难得的锻炼的机会。

另外，学校还专门为我们配有指导老师。

他们无论在教学技能和教学经验上都能给我们很多指导和帮助。

使我们在教学这条路上少走弯路。

每个礼拜我们的指导老师都会来听我们的课。

每一次准备的过程都是在不断的进步。

而我们每个礼拜也会去听指导老师的课，从他们身上，我们能够看到自己的不足，使自己在教学实际中扬长避短。

初为人师，总是有些紧张。

我带着羞涩与忐忑抱着课本和教案走上讲台时，尽管我做了很多准备，但当我真正面对那么多双眼睛时，我还是紧张了。

同学们，现在开始上课。

我机械得重复了在台下不知念了多少遍的开场白。

然而，这句话说完，下句该说什么呢？

突然间我的脑袋一片空白，只能感觉到有十几双眼睛正齐刷刷地盯着我，让我感到十分地不自在。

短暂的犹豫之后，我剩下来的只有微笑，因为我想起了那句话：

微笑是法宝。

这时学生也对着我微笑，看着他们那一张张稚气的面孔，我所有的紧张都在这一瞬间消失了，透过那一双双澄清的眼睛，我也似乎读到了那一颗颗纯净的心。

等我大汗淋漓的走下讲台，我知道我已成功地走出第一步。

从此以后，我便穿梭于讲台与办公室之间。

刚来到这里，对于我们最重要的就是身份的变换，我们不在是天天由老师管理的学生了，我们变成老师了，我们不但要处理好自己的事情，还要管理好孩子，特别是作为班主任，一切的工作都显得那么细致入微，因为这里是县城，大部分来自乡村的孩子都住宿，所以教师又充当着另一种身份－－家长。

初为人师，总是有些紧张。

我带着羞涩与忐忑抱着课本和教案走上讲台时，尽管我做了很多准备，但当我真正面对那么多双眼睛时，我还是紧张了。

同学们，现在开始上课。

我机械得重复了在台下不知念了多少遍的开场白。

然而，这句话说完，下句该说什么呢？

突然间我的脑袋一片空白，只能感觉到有十几双眼睛正齐刷刷地盯着我，让我感到十分地不自在。

短暂的犹豫之后，我剩下来的只有微笑，因为我想起了那句