数学实验报告.docx
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数学实验报告
西安交通大学实验报告
一、某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间，各车间的原棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费以及各仓库的库存如表所列，问如何安排运输任务使得总运费最小？
车间
1
2
3
库存容量
1
2
1
3
50
2
2
2
4
30
3
3
4
2
10
需求
40
15
35
问题分析：
该题较为简单，只要根据表中数据确定不等式，找到上下限，在根据书上的已有例子，综合自己的判断，就可写出。
f=[2,1,3,2,2,4,3,4,2];
A=[1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1];
b=[50;30;10];
aeq=[1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1];
beq=[40,15,35];
vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,fval]=linprog（f,A,b,aeq,beq,vlb,vub）
结果分析：
由运行结果可知，第一车间由1，2仓库分别运进10，20单位的原棉，第二车间由1仓库运进15单位的原棉，第三车间由1，3仓库分别运进25，10单位的原棉，即可使总运费最小。
二、某校学生在大学三年级第一学期必须要选修的课程只有一门，可供限定选修的课程有8门，任意选修课程有10门，由于一些课程之间互有联系，所以可能在选修某门课程中必须同时选修其他课程，这18门课程的学分数和要求同时选修课程的相应信息如表：
按学校规定，每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分，因此，学生必须在上述18门课程中至少选修19学分学校同时还规定学生每学期选修任意选修课的学分不能少于3学分，也不能超过6学分，为了达到学校的要求，试为该学生确定一种选课方案。
问题分析：
本题是一道典型的0-1规划的问题，本体的难点在于，选了B一定要选A，但选了A却有选B，和不选B这两种方案，故不可采用以前普通的计算方式，考虑相减，即A-B>=0就可解决该问题。
c=[-5,-5,-4,-4,-3,-3,-3,-2,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1];
a=[-5,-5,-4,-4,-3,-3,-3,-2,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1;
0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1;
0,0,0,0,0,0,0,0,-3,-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-1;
-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;
0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0];
b=[-19;6;-3;0;0;0;0;0;0;0;0];
[x,favl]=bintprog（c,a,b）
favl=-favl;
结果分析：
有实验结果可知，连选前10门课才可达到学校的要求。
虽然此时已远远超出了学校的要求，但仍为最优方案。
三、一家制造计算机的公司计划生产A,B两种型号的计算机产品，他们使用相同通的微处理芯片，但A产品使用27英寸显示器，B产品使用31英寸显示器，除了400000美元的固定费用外，每台A产品成本为1950美元，每台B产品成本为2260美元，公司建议每台A产品的零售价3390美元，每台B产品的零售价为3980美元，营销人员估计，在销售这些计算机的竞争市场上，同一类型的计算机多买一台，它的价格就下降0.15美元，同时，一种类型的计算机销售也会影响另一种计算机的销售，估计每销售一台A产品，就会使B产品的零售价格下降0.04美元，每销售一台B产品就会使A产品的零售价下降0.06美元，假设该公司制造的所有计算机都可以售出，那么，该公司应该生产每种计算机个多少台，才能使利润最大？
问题分析：
该问题实际上是关于二元函数的极值问题，可以通过计算偏导数，求其驻点，然后再判别这些驻点是否为极值。
并且，B和A的出售量又会相互影响，使问题更加复杂。
故在本题中采用分两步的方法，第一步，简化方程，找出可能存在的极值点。
第二步，将该驻点作为初始值代入方程，找到极值点。
fun='-（3390-0.15*x
（1）-0.06*x
（2））*x
（1）-（3980-0.15*x
（2）-0.04*x
（1））*x
（2）';
x0=[0,0];
[x,fval]=fminsearch（fun,x0）
fmax=-fval
functiony=fun（x）
y
（1）=（（3390-0.15*x
（1）-0.06*x
（2））*x
（1）-1950*x
（1）-400000）;
y
（2）=（（3980-0.15*x
（2）-0.04*x
（1））*x
（2）-2260*x
（2）-400000）;
y=-y
（1）-y
（2）;
x0=[7738,10687];
[x,y]=fminunc（@fun,x0）
z=-y
结果分析：
在第一步中，找出x1=7738，x2=10687为其驻点，将其代入方程可得出x1=3250,x2=4650为其极值点，即A生产3250台，B生产4650台时，可以获得最大利润。
四、下表中，X是华氏温度，Y是一分钟内一只蟋蟀的鸣叫次数，试用多项式模型拟合这些数据，画出拟合曲线，分析你的拟合模型是否很好？
观测序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
46
49
51
52
54
56
57
58
59
60
Y
40
50
55
63
72
70
77
73
90
73
观测序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
X
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Y
96
88
99
110
113
120
127
137
132
137
问题分析：
该问题是一道典型的曲线拟合问题，故其应符合曲线拟合的最佳条件，即找到一条曲线，是题目中的数据尽可能多的经过，或者靠近给出的曲线，使得经曲线拟合出来的数据与实际测得的数据尽可能的接近。
故应先假设出一个函数y=f（x），然后根据实际测得的数据来确定函数中的参数，使得在各处的误差较小。
根据书上教授的内容，最小二乘法不失为一个较为便捷有效的方法，通过题目给出的数据确定曲线的横，纵坐标，然后规定一个e值，使e等于拟合的次数，在matlab编写拟合曲线。
源代码：
x=[4649515254565758596061626364666768717271];
y=[40505563727077739093968899110113120127137132137];
plot（x,y,'k.','markersize',20）;
axis（[35,75,40,150]）;
k=polyfit（x,y,7）;
q=40:
1:
85;
w=polyval（k,q）;
holdon
plot（q,w,'k-','linewidth',2）
结果分析：
通过图表可知，随着温度的上升，蟋蟀在单位时间内鸣叫的次数，先下降，再上升，然后接着下降，并在70时达到最高点，并且在45~70这一段曲线较为准确，当小于45时，可明显看出曲线上升的过于剧烈，与实际不符，若增测数据点，可能会有所改善。
五、在下列数据中，W表示一条鱼的重量，l表示它的长度，使用最小二乘准则拟合模型W=kl3
长度l（英寸）
14.5
12.5
17.25
14.5
12.625
17.75
14.125
12.625
重量w（盎司）
27
17
41
26
17
49
23
16
（2）**在下列数据中，g表示一条鱼的身围，使用最小二乘准则拟合模型W=klg2
长度l（英寸）
14.5
12.5
17.25
14.5
12.625
17.75
14.125
12.625
身围g（英寸）
9.75
8.375
11.0
9.75
8.5
12.5
9.0
8.5
重量w（盎司）
27
17
41
26
17
49
23
16
（3）**两个模型哪个拟合数据较好？
为什么?
问题分析：
与上一题类似，该问题亦是一个典型的曲线拟合问题，故其要点应与上一题类似，即，如何找到一条曲线，使拟合出来的数据与实际数据的偏差较小。
（1）
l=[14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625];
w=[2717412617492316];
a=0;b=0;
fori=1:
8
a=a+l（i）^4;
b=b+l（i）*w（i）;
end
A=a
B=b
q=inv（A）*B
fori=1:
8
x（i）=q
（1）*l（i）^3;
end
plot（l,w,'r*--',l,x,'b.--'）
（2）
l=[14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625];
g=[9.758.37511.09.758.512.59.08.5];
w=[2717412617492316];
plot3（l,g,w,'k.','markersize',25）
axis（[10207121555]）
a=l.*（g.^2）
b=inv（a*（a.'））*（a）*（w.'）
x=10:
0.1:
20
y=7:
0.1:
13
[X,Y]=meshgrid（x,y）
Z=b*X.*Y.^2
surf（X,Y,Z）
shadingflat
（3）
就个人而言，认为2中的拟合数据较好，因为鱼的重量不仅与其身长相关，亦与身围有密不可分的联系，综合考虑才能得到较好结果。
结果分析：
从图像中可以看出，随着鱼身长与身围的增大，其质量在不断增加。
（1），
（2）的对比也可得出，在面对实际问题做曲线拟合时，要考虑多方面的因素，这样才能得到较为真实准确的结果。
六、某工厂利用甲、乙两种原料生产A1,A2,A3三种产品，每月可供应的原料数量（单位：
t）每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如表8.4所示：
应如何制定每月的最优生产计划，使得总收益最大？
问题分析：
这是一个典型的线性规划问题，由于本题中共有6个需要控制的量，故有6个变量，两个限制条件即两个不等式约束，而后利用matlab中的linprog函数即可求解。
源代码：
c=[-12,-5,-4,-12,-5,-4];
A=[4,3,1,0,0,0;0,0,0,2,6,3];
b=[180;200];
vlb=[000000];
[x,min]=linprog（c,A,b,[],[],vlb,[]）
max=-min
结论：
故应每月用甲生产180吨A3，用乙生产100吨A1，如此可得到最大利润为1920元。
七设有三种证券S1,S2,S3,期望收益率分别为10%，15%，40%，风险分别是10%，5%，20%，假定投资总风险用最大的投资股票的风险来度量，且同期银行存款利率为5%，无风险，为投资者建议一种投资策略（投资比例），使其尽可能获得最大收益。
问题分析：
假设投资四种股票的比例为
，
，
，
，投资银行的比例为
，依此建立模型并用matlab逐步改变风险额度，做出的收益—风险度如下：
a=0
while（1.1-a）>1
c=[-0.1,-0.15,-0.4,-0.05];
aeq=[1,1,1,1];
beq=[1];
A=[0.1,0,0,0;0,0.05,0,0;0,0,0.2,0];
b=[a,a,a];
vlb=[0,0,0,0];vub=[];
[x,fval]=linprog（c,A,b,aeq,beq,vlb,vub）;
a
x=x'
Q=-fval
plot（a,Q,'.'）
axis（[0,0.1,0,0.3]）
holdon
a=a+0.001;
end
xlabel（'a'）,ylabel（'Q'）
从执行结果及图示，我们可以得到以下结论：
1、风险越大，收益越大。
2、当投资越分散时，投资者承担的风险越小。
冒险的投资者会出现集中投资的情况，而保守的投资者则尽量分散投资。
3、图线分别在a=0.03和a=0.04出现两个转折点，在a=0.03左边时，当风险增加，收益增长较快，在a=0.03和a=0.04之间时，风险增长而收益增长减慢。
在a=0.04右边，风险增加时收益增长进一步减慢。
对风险厌恶型投资者来说，应选择转折点a=0.03作为最优投资组合:
a=0.0300
x=0.25000.60000.15000.0000
Q=0.1750
对风险喜好型投资者来说，应选择右端转折点a=0.04作为最优投资组合：
a0.0400
x=0.00000.80000.20000.0000
Q=0.2000
八、有一形状较为复杂，但表面很光滑的曲面工件。
通过科学手段，将其放置于某一空间坐标系下，测得曲面上若干个点的坐标如下：
要求：
（1）画出该曲面工件的图形
（2）在已知相邻的横纵坐标之间分别插入三个分点，用interp2命令计算出所有点处的竖坐标，画出相应的插值曲面。
（3）用不同方法求出该曲面工件表面积的近似值
源代码：
x=-5:
1:
5;
y=-5:
1:
5;
[xx,yy]=meshgrid（x,y）;
zz=Sheet1;
figure
（1）;
mesh（xx,yy,zz）;
figure
（2）
xb=-5:
0.25:
5;
yb=-5:
0.25:
5;
[xxb,yyb]=meshgrid（xb,yb）;
zzb=interp2（xx,yy,zz,xxb,yyb,'cubic'）;
mesh（xxb,yyb,zzb）
[Fx,Fy]=gradient（zz,0.001,0.001）;
S=sqrt（1+Fx.^2+Fy.^2）*0.000001.*（~isnan（zz））;
sum（S（~isnan（S）））
原曲面：
插值后的曲面：
算的的曲面面积：
ans=0.7669
九、煤矿的储量估计，下表给出了某露天煤矿在平面矩形区域（1100mX700m）上，在纵横均匀的网格交点处测得的煤层厚度（单位:
m）（由于客观原因，有些点无法测量煤层厚度，这里用/标出），其中的每个网格都为（100mX100m）的小矩形，试根据这些数据,来估算出该矩形区域煤矿的储藏量（体积）
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1
/
/
12.5
13.5
17.2
/
8.8
14.7
8.0
13.0
/
2
/
/
/
15.6
18.2
13
6.4
8.9
9.2
11.7
/
3
/
12
13.5
13.5
17.8
16.9
13.2
/
/
/
/
4
7.5
12.6
14.9
18.7
17.7
17.5
14.7
13
/
/
6.5
5
8.9
7.8
12.4
13.5
15.7
17.6
11.7
9.6
9.2
9.5
8.6
6
/
/
/
13.7
13.6
16.5
12.5
8.7
9.7
/
/
7
/
/
8.6
11.8
12.5
11.3
13.4
/
/
/
/
源代码：
x=0:
100:
1000;
y=0:
100:
600;
z=[14.2,14.1,12.5,13.5,17.2,12.9,8.8,14.7,8.0,13.0,10.3;19.1,17.9,16.7,15.6,18.2,13,6.4,8.9,9.2,11.7,7.0;12.4,12,13.5,13.5,17.8,16.9,13.2,16.5,17.1,17.7,18.3;7.5,12.6,14.9,18.7,17.7,17.5,14.7,13,9.9,7.6,6.5;
8.9,7.8,12.4,13.5,15.7,17.6,11.7,9.6,9.2,9.5,8.6;
8.2,9.3,11.7,13.7,13.6,16.5,12.5,8.7,9.7,7.6,9.5;
8.1,10.8,8.6,11.8,12.5,11.3,13.4,11.0,8.4,5.0,0.88];
[x0,y0]=meshgrid（0:
1:
1000,0:
1:
600）;
z1=interp2（x,y,z,x0,y0,'linear'）;
z2=interp2（x,y,z,x0,y0,'cubic'）;
z3=interp2（x,y,z,x0,y0,'spline'）;
%surf（x0,y0,z1）
%surf（x0,y0,z2）
surf（x0,y0,z3）
shadinginterp;
fori=1:
601
forj=1:
1001
%M（i,j）=z1（i,j）;
%M（i,j）=z2（i,j）;
M（i,j）=z3（i,j）;
end
end
sum（sum（M））
第一种插值得到的曲面：
储量估计：
ans=7.5956e+006
第二种插值得到的曲面：
储量估计：
ans=7.6190e+006
第三种插值得到的曲面:
储量估计：
ans=7.6076e+006
实验感想：
通过这几次上机实验，我们掌握了如何用matlab求解最优化问题，并学会的数据的拟合与插值，这部分内容与生产实际问题更为相似，因而引起了我们的兴趣。
虽然本学期的数学实验课结束了，但我们运用matlab解决实际问题的热情没有消失，我们计划通过课外的学习，在这条路上尝试着者走更远。
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