材料力学答案6.docx
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材料力学答案6
弯曲应力
6-1求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题6-1图
解：
（a）Mmm
2.5KN
m
Mmax
3.75KN
m
Jx
d4
104
108
490.810
8m4
64
64
A
2.5
103
4
10
2
20.37MPa
（压）
490.8
10
8
3.75
103
5
10
2
max
490.8
10
8
38.2MPa
（b）Mmm
60KN
m
Mmax67.5KN
m
Jx
bh3
12
183
108
5832108m4
12
12
A
60
103
6
102
61.73MPa
（压）
5832
10
8
67.5
103
9
10
2
max
5832
108
104.2MPa
（c）Mmm
1KN
m
Mmax
1KNm
Jx
25.6
108m4
Wx
7.8
106m3
yA
1.52
0.53
0.99cm
A
1
103
0.99
10
2
38.67MPa
（压）
25.6
10
8
max
1
103
128.2MPa
25.6
10
8
6-2图示为直径D＝6cm的圆轴，其外伸段为空心，内径
d＝4cm，求轴内最大正应力。
解：
Wx1
D3
（1
4）
32
63
106
1（4）4
32
6
17.02106m3
Wx2
D3
63
106
21.21104m3
32
32
1
0.9
103
52.88MPa
17.02
10
6
1
1.172
103
55.26MPa
21.21
10
6
max
55.26MPa
6-3T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。
试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知Iz=10170cm4，h1=9.65cm，h2=15.35cm。
解：
A截面：
max1
40
103
8
9.65102
37.95Mpa（拉）
10170
10
min1
40
103
8
15.35102
60.37Mpa（压）
10170
10
E截面
max2
20
103
15.35
10
2
10170
10
8
min2
20
103
8
9.65
10
2
10170
10
30.19Mpa（拉）
18.98Mpa（压）
6-4一根直径为d的钢丝绕于直径为
D的圆轴上。
（1）求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）
（2）若d＝lmm，材料的屈服极限
s=700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生
残余变形的轴径D。
解：
1
M
EJ
M
EJ
Ed4
32D
max
M
32M
E
d
W
d3
D
D
Ed
210
109
1
103
700
106
0.3m30cm
s
6-5矩形悬臂梁如图示．已知
l=4
m，b
2，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。
h
3
试确定此梁横截面尺寸。
解：
Mmax
1ql2
1
10
42
80KN
m
2
2
6h2
2
h
h
2
h3
W
3
6
6
9
M
M
80
103
h2
W
10
106
9
W
h
0.416m
41.6cm
b
27.7cm
6-620a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。
解：
W
237cm3
2
P
2PKN
3
Mmax
m
3
M
W
160106
2371062P
3
3
P
23756.880KN
160
2
（M图）
2
P
3
6-7压板的尺寸和载荷情况如图所示。
材料为45钢，s＝380MPa，取安全系数
n1.5。
试校核压板强度。
1
30
203
30
123
1568mm
2
解：
W
（
12
）
10
12
M18103
20
103
360N
m
M
360
229.6MPa
W
1568109
6-8由两个槽钢组成的梁受力如图示。
已知材料的许用应力
[σ]＝150MPa，试选择槽
钢号码。
解：
Mmax
60KN
m
Wx
Mmax
60
103
0.4
103m3
400cm3
150
106
查表：
（22a，Wx
217.6cm3
200cm3）
60KNm
20KNm
（M图）
6-9割刀在切割工件时，受到P＝1kN的切销力的作用。
割刀尺寸如图所示。
试求割刀内最大弯曲应力。
解：
M
p8
10
3
8N
m
M
p
30
103
30Nm
W
2.5
132
70.42mm
3
6
W
4
152
150mm3
6
max
max
M
8
W
70.4
10
M
30
W
150
10
9
9
114MPa
200MPa
6-10图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。
试问
（1）如要使所切矩形截
面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？
（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又分别为何值？
bh2b（D2b2）
解：
W
66
dW
0
db
D2
3b2
0
6
b2
D2
3
h2
D2D2
2D2
3
3
从强度讲：
b0.57735D
h0.8165D
J
bh2
b
（D2
b2）3
12
12
dJ
0
db
3
3
1
（D2
b2）2
b
（D2
b2）2
（2b）0
2
从刚度讲b
0.50D
h
0.866D
6－11
T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的
3倍，
巳知h=12cm
，t=3cm，试确定其翼板宽度b之值。
压
y上
max
＝3
解：
拉
y下
max
y上＝3y下
y上＋y下＝h12
y下＝12
＝
3cm
4
S（b3）（3
3）（93）4.50
9
3
4
.5
2
27cm
b
1.5
3
6-12
图示简支梁，由
No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面
A处梁底面的纵
向正应变
3.0104，试计算梁的最大弯曲正应力σ
max。
已知钢的弹性模量
E=200GPa,
a=1m。
解：
A
E
200
109
3.0104
60MPa
max
Mmax
3/4
2
MA
3/8
A
max
2A
2
60
120MPa
3qa2
3qa2
4
8
1qa2
4
（M图）
6-13试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。
解：
1－1截面
Q3.6364KN
M
3.6364KN
m
J
bh3
7.5
153
2109.375cm
4
12
12
M
3.6364
103
3.5
10
2
a
y
2109.375
108
J
6.03MPa
3.63641037.5102
b2109.375108
12.93MPa
QS
3.6364103
（4
7.5）
5.5106
a
2109.375
10
8
7.5
102
Jb
0.379MPa
6-14计算在均布载荷q＝10kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。
解：
Mmax
1ql2
1
10
103
12
8
8
1.25103N
m
Qmax
1ql
1
10
103
1
2
2
5103N
M
1.25
103
max
W
5
3
10
6
32
101.86MPa
在跨中点上、下边缘
Q
4
5
103
4
max
A
3
2
43
5
4
10
25.46MPa
在梁端，中性轴上
6-15试计算
6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
3qa2
1
解：
8
60MPa
W
qa
4
W185cm3
60
106
185
10
6
8
29.6KN/m
3qa
q
3
12
4
Qmax
3qa
3
29.6
1
22.2KN
（Q图）
4
4
QS
22.2
103
22.12MPa
max
Jt
15.4
10
2
6.5
10
3
6-16矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa。
试选择该梁的截
面尺寸，设h:
b2:
1
19KN141KNm
8KN
9KN
1KN
8KNm
21KN
（Q图）
（M图）
解：
RA
19KN
RB
29KN
W
1bh2
h3
6
12
max
M
14
103
W
h3
12
h
3
14
103
12
0.256m
25.6cm
106
10
b12.8cm
Q
1.5
21103
0.961MPa
max
1.5
25.6
10
4
A
12.8
6-17试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力
[σ]=160MPa，[τ]＝
80Mpa。
解：
W
M
20
1000
125cm3
160
106
取I16
，W
141cm3
J:
S13.8（cm）
QS
15
103
0.181MPa
Jt
13.8
6103
故取No16工字钢
Q（x）15KNM（x）20KNm
5KN
10KNm
10KN
（Q图）
（M图）
6-18
图示起重机安装在两根工字形钢梁上，
试求起重机在移动时的最危险位置及所采
用工字型钢的号码。
已知
l＝10m，a＝4m，d=2m。
起重机的重量
W＝50kN，起重机的
吊重P=10kN，钢梁材料的许用应力［σ］
=160MPa，[τ]=100Mpa。
解：
轻压：
10KN
，50KN
1
50（10
x）10（8
x）
586x
R
10
M（x）Rx
（586x）x
dM
58
12x
0
0
dx
x
4.833m
Mmax
（58
6
4.833）
4.833
140.17KNm
M
max
140.17
103
W
160
106
0.876103m3
876cm3
取
两个I28aWz
508.15cm3
W
438cm3
2
10KN50KN
d
10m
6-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h。
用应变仪测得其上边的纵向线应变
142106，下边的纵向线应变214106。
试求此截面形心的位置。
解：
上
＝
M
y1
E1
Jb
下＝M
y2
E
2
Jb
1
＝y1
42
3
2
y2
14
y1
y2
h
3y2
y2
h
y2
1
y1
3
h
h
4
4
6-20简支梁承受均布载荷
q，截面为矩形b
h，材料弹性模量E，试求梁最底层纤维
的总伸长。
解：
M（x）
ql
x
qx2
2
2
M（x）
（x）
Ebh2
6
l
（x）dx
6q
l
l
x2
ql3
l
Ebh2
（
2
）dx
2
0
0
2
2Ebh
6-21矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：
（1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）；
（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？
解：
（1）x
3Q
3qx
2A
2bh
（2）由
产生的合力为T
T
l
xbdx
l
3
qx
3ql2
2
bh
bdx
0
0
4h
由弯曲产生的轴间力为N
ql
2
h/2Mmax
y
N
h/2
bdy
h/22
bdy（自证）
bdy
0
J
0
b
0
h
3
12
jql2
4h
T
6-22正方形截面边长为
a，设水平对角线为中性轴。
试求
（1）证明切去边长为
a的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；
9
（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？
（提示：
计算
Iz时可
按图中虚线分三块来处理）。
解：
原来正方形：
a4
Jz0
12
y0max
a
2
Wz0
2a3
0.1179a3
12
削去x后：
（a
x）
4
（2x）（ax）3
ax
（a
x）
2
2
2
Jz
12
12
2x
2
2
2
Wz
Jz
Jz
2
2
（a3x）
ymax
a
x
（ax）
12
2
dW
0
9x2
10ax
a2
0
dx
a
x
9
Wx
2（8a）2（12a）
8
2a3
0.1397a3
12
9
9
81
max新＝Wz0
0.1179
0.844（倍）
max原
Wz
0.1397
6-23悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。
横截面为正方形
aa，中性轴即
正方形的对角线。
试计算最大剪应力τ
max值及其所在位置。
解：
Q
（P
ql）
QS
a4
Jzb
Jz
12
b
2（
2a
y）
2
S（2ay）（2ay）
y
1（2ay）
2
2
3
2
Pql
（2ay）（2a
2y）
a4
2
2
6
3
12
6（Pql
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