综上,a的取值范围是
{a|a>3}∪{a|a=3}∪
=
.
反思与感悟 解此类题,首先要准确翻译,诸如“A∪B=B”之类的条件.在翻译成子集关系后,不要忘了空集是任何集合的子集.
跟踪训练4 设集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p,q为常数,x∈R,当A∩B=
时,求p,q的值和A∪B.
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 求集合的并集
解 ∵A∩B=
,∴
∈A,
∴2×
2+3p×
+2=0,
∴p=-
,∴A=
.
又∵A∩B=
,∴
∈B,
∴2×
2+
+q=0,∴q=-1.
∴B=
.
∴A∪B=
.
1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于( )
A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2}D.{0,1}
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 B
2.已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B等于( )
A.{0}B.{0,1}
C.{0,2}D.{0,1,2}
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 C
3.已知集合A={x|x>1},B={x|0A.{x|x>0}B.{x|x>1}
C.{x|1考点 并集的概念及运算
题点 无限集合的并集运算
答案 A
4.已知A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合A∩B等于( )
A.∅B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
5.已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m等于( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 利用集合的交集、并集性质求参数的值
答案 B
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:
x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否.
一、选择题
1.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( )
A.N⊆MB.M∪N=M
C.M∩N=ND.M∩N={2}
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 交集、并集的性质
答案 D
解析 ∵-2∈N,但-2∉M,
∴A,B,C三个选项均不对.
2.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C等于( )
A.{1,2,3}B.{1,2,4}
C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 D
解析 A∩B={1,2},
(A∩B)∪C={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
3.已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2},则A∩B等于( )
A.{y|0C.{y|y>0}D.{(0,1),(1,0)}
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 B
解析 ∵B={y|y=x2},
∴B={y|y≥0},A∩B={y|0≤y≤1}.
4.已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么M∩N为( )
A.x=3,y=-1B.(3,-1)
C.{3,-1}D.{(3,-1)}
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 D
解析 由
解得
∴M∩N={(3,-1)}.
5.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 C
解析 由题意知,A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
则A*B={x|0≤x<1或x>3}.
6.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,则集合B可能是( )
A.{1,2}B.{x|x≤1}
C.{-1,0,1}D.R
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合与无限集合的交集运算
答案 A
解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A,
四个选项中,符合B⊆A的只有选项A.
7.已知集合A=
,A∪B=
,则满足条件的集合B的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 利用交集、并集性质求集合的个数
答案 D
解析 因为集合A=
,A∪B=
,
所以B中至少含有3,4两个元素,
所以满足条件的集合B为
,
,
,
,共4个.
二、填空题
8.已知集合P={x||x|>x},Q={x|y=
},则P∩Q=________.
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 {x|x<0}
解析 |x|>x⇒x<0,
∴P={x|x<0},1-x≥0⇒x≤1,
∴Q={x|x≤1},故P∩Q={x|x<0}.
9.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________.
考点 并集的概念及运算
题点 由并集运算结果求参数问题
答案 {a|a≤1}
解析 A={x|x≤1},B={x|x≥a},要使A∪B=R,只需a≤1.如图.
10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=________.
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 {(0,1),(-1,2)}
解析 A,B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.
三、解答题
11.已知集合A=
,集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B.
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
解 解不等式组
得-2则A={x|-2解不等式3>2m-1得m<2,
则B={m|m<2}.
用数轴表示集合A和B,如图所示,
则A∩B={x|-212.已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)若A∩B={x|1≤x≤3},求实数m的值;
(2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.
考点 交集的概念及运算
题点 由交集运算结果求参数的值
解 A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B={x|1≤x≤3},∴
解得m=3.
(2)A∩B=∅,A⊆{x|x∴m-2>3或m+2<-1.
∴实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}.
13.已知集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax-b=0}.
(1)若A∪B={2,3,5},A∩B={3},求a,b的值;
(2)若∅BA,求实数a,b的值.
考点
题点
解
(1)因为A={3,5},A∪B={2,3,5},A∩B={3},
所以3∈B,2∈B,故2,3是一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根,
所以a=2+3=5,-b=2×3=6,b=-6.
(2)由∅BA,且A={3,5},得B={3}或B={5}.
当B={3}时,解得a=6,b=-9;
当B={5}时,解得a=10,b=-25.
综上,
或
四、探究与拓展
14.已知集合A=
,B={x|x2-2x-m<0},若A∩B={x|-1考点
题点
答案 8
解析 由
≥1,得
≤0,
∴-1又∵B={x|x2-2x-m<0},
A∩B={x|-1∴4是方程x2-2x-m=0的根,
即42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B={x|-2故实数m的值为8.
15.某校有21个学生参加了数学小组,17个学生参加了物理小组,10个学生参加了化学小组,他们之中同时参加数学、物理小组的有12人,同时参加数学、化学小组的有6人,同时参加物理、化学小组的有5人,同时参加3个小组的有2人,现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛,问需要预购多少张车票?
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图的应用
解 由题意可画Venn图如下:
由图可以看出,参加三个小组的学生共有1+2+2+3+4+5+10=27(人),所以需要购买27张车票.