二面角的求法.docx
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二面角的求法
二面角的几种求法
1.引言
在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。
许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。
例如：
在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。
在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。
这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。
因此，研究求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。
2.二面角及二面角的平面角的概念
先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。
（［弓I］）
2.1二面角的概念
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2.2二面角的平面角的概念
如图1所示，在二面角I的棱l上任意取一点O,以点O为垂足，在半平面
和内分别作垂直于棱I的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角。
图1
3.求解二面角问题的几个难点
在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体体现在以下三个方面：
3.1需要添加辅助线
从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角。
在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个
很难掌握的技巧。
同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所
成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。
这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。
3.2线面关系隐藏的深
在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。
这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。
3.3计算量巨大
一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公式。
有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。
4.二面角问题的求解方法
对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。
总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：
概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。
4.1概念法
顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1:
如图2所示，在四面体ABCD中，ACAB1,CDBD2,AD3。
求二
面角ABCD的大小。
分析：
四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：
设线段BC的中点是E，接AE和DE。
根据已知的条件ACAB1,CDBD2，可以知道AEBC且DEBC。
又BC是平面ABC和平面DBC的交线。
根据定义，可以得出：
AED即为二面角ABCD的平面角。
可以求出AE3，DE3，并且AD3。
2
根据余弦定理知：
AE2DE2AD2（f）2為彳37
cosAED2
2AEDE2並罷4
2
即二面角ABCD的大小为arccos7。
4
同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2:
如图3所示，ABCD是正方形，PB平面ABCD，PBAB1，求二面角
APDC的大小。
解：
作辅助线CEPD于点E，连接AC、AE
由于ADCD，PAPC，所以三角形PAD三角形PCD。
即AEPD。
由于
CEPD，所以AEC即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：
PC」2,PD「3，又CD1,在三角形PCD中可以计算
得到CE6。
由此可以得到：
AECE6，又AC2
|AE
2|CE|
2
AC2
2卜E||AC
22
2
33
2?
3
cosAEC
33
由余弦定理
即:
AEC
4.2空间变换法
空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等
方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：
如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线DE，点F在平面内,
点C在平面
图4
分析：
过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面于点B
4.2.1补角法
直接求解二面角FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角CDEB。
因为二面角FDEC与二面角CDEB是互补的关系，现在先求出二面角CDEB后，二面角FDEC的大小就很容易计算了。
4.2.2三垂线法
由于CADE,CB平面。
那么根据三垂线定理可以得知：
CA在平面内的射影AB垂直于两平面的交线DE。
即ACDE且ABDE,根据定义可知，二面角CDEB的大小即为CAB的大小。
那么二面角FDEC的大小可以用补角法得到。
4.2.3切平面法
切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。
如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE，平面CAB与平面的交线是AC，平面CAB与平面的交线是AB，根据二面角的定义知CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角FDEC的大小。
下面用例4来详细讲解一下切平面法。
例4：
在图5中，PA平面ABC，ABC90o。
其中PAAB1，PBBC2。
E是PC的中点，DEPC。
求二面角CBDE的大小。
图5
解：
由于E是PC的中点，且PBC是等腰三角形，那么BDPC
又DEPC，可以推出：
PC平面BDE。
所以：
PCBD。
又PA平面ABC，则BDPA，所以BD平面PAC。
可以得出：
平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。
由此，根据切平面法知CDE即为所求二面角的平面角。
由于VCDECPA，那么:
CD
CAcp
2.3
CEpa
11_—1
又：
CE—PCBP2BC2【厂21。
2
22
在三角形CDE中根据余弦定理可知:
那么CDE60o
即求二面角CBDE的大小是60o
4.2.4补形法
以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法一一补形法。
例5:
在图6中，PA平面ABCD，四边形ABCD是一个直角梯形，其中PA1，
1
AD1，CD1，AB。
BADADC90。
求平面PAD与平面PBC所成二2
面角的大小。
图6
解：
延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE
由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BAAD，BAPA，
那么BA平面PED,CD平面PED,AE1,PE、、2。
在三角形PED中，PD
PE2,EDAEAD2。
那么根据勾股定理可知
DPE90，即DPPE。
CD平面PED,DPPE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理
知：
CPPE。
又DPPE，即CPD即为所求的二面角。
那么cosCPD
在RtCDP中，CD1,PD2,PC.3。
即：
CPDarccos-6
3
所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是
亦arccos—3
可以通过补形的
在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角,方法来观测二面角的平面角。
在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题,这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。
4.3空间向量法
4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系
两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1，那么1的取值范
围是（0,—］。
而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2的取值范围是
2
（0,）。
但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：
如果02,21O
（1）
2
如果2,21o
（2）
2
因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。
当然，前提是先求出两平面的夹角。
4.3.2平面法向量的求法
两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。
如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。
如图7所示：
例6:
如图7所示在平面内，已知三点X（x1,yi,z1），Y（x2,y2,z2），
下面求解平面的一个法向量v。
解法一：
求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即:
vuivuuv
XYXZ
uuvuuv
又XY{X2Xi，y2yi，Z2z}，XZ{X3^,『3
可以求出：
y2
yiz
-2zi
Z2
X2
Xi
X2
Xi
y2
yi
y3
yiz
3z3
J
Z3
Z3
X3
Xi
J
X3
Xi
y3
yi
}
n{
解法
Cz
将点X，丫，Z的坐标分别代入方程可以解出系数A，B，C，D。
在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解,如果有解，那么一定有无数多个解。
可以通过解方程，将A，B，C全部用D表示,
这样就可以得到一个形如2Dx5Dy4DzD0的方程，可以将新得到的方程两边
同时除以D（D一定不等于0，否则A=BCD0，方程无意义），那么就可以得
到平面的方程2x5y4z10
得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标V｛代B,C｝。
解法三：
uuvuuv
在图7中，由所给的信息，可以求出向量XY、XZ的大小。
设平面的一个法向
v量n｛x,y,z｝。
卄uuvuiui
右XY佝山心｝，XZ｛a2.b2.C2｝。
vuuvvuiur
由nXY0，nXZ0可以得到：
aixbyCiz0
a2xb2yC2Z0
可以求解出x，y，z的关系。
此方程一定有无数多个解，可以将x，y用z表示。
如n｛2z,4z,z｝，由此可知向量n｛2,4,1｝是平面的一个法向量。
4.3.3两平面夹角的公式
uvuv
两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为n1,n2，其中
u
ni｛ARG｝,i1,2。
于是：
cos
uv
■uvj
n1
n2
uvuvn1n2
4.3.4两平面的夹角转化成二面角
利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据
（1）、
（2）求出二面角的大小。
例7:
如图8所示，四边形ABCD是一个矩形，点E和点F分别在边AD和边AB上,其中AEAFED4，FB6。
现在以直线EF为折痕，将三角形AEF折起，得到三角形A'EF，同时使得平面A'EF与底面ABCD垂直。
求二面角A'FBC的大小。
ZA
A*
图8
解：
以点A为坐标原点,
建立如图8所示的直角坐标系A
xyz,设点H是线段EF
的中点，连接A'H。
可以得到:
A（0,0,0），A'（2,2,2.2），C（10,8,0），F（4,0,0），
uuv
FA'
2,2,22}，
uiv
FB{6,0,0}。
uuuvuiv
由于A'EA'F，所以A'HEF。
又平面
A'EF与底面ABCD垂直。
所以:
uuuv十一
A'H平面ABCD。
v
即HA'
（0,0,2.2）是底面ABCD的一个法向量。
（x,y,z）是平面A'FB的一个法向量。
那么:
vuuvnFA'
vuiv
0，nFB
即:
2x2y2.2z0
6x0
那么：
x0，y2，z，即v{0,2,.2}
uuivvcosHA',n
uuv
矿
HA'
n
uuivv
HA'n
3
即二面角A'FB
C的大小为arccos
3
4.4另类方法
比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。
4.4.1四面体体积法
例8:
如图9所示，在空间四面体ABCD中，四面体的所有棱长都是1,求二面角ABDC的大小。
图9
BCD的体积是厶2
12
根据已知条件可知：
VABCD―，BD1，SABDSBCD
124
分析：
过点A作辅助线AO平面BCD于点0，过点A作辅助线AEBD于点E，
AO
连接直线E0，AEO，sin—0。
由于四面体ABCD是一个正四面体,AEO
AE
即为所求二面角。
（也可以推导出当四面体不是正四面体时AEO同样是所求的二面
角）
正四面体ABCD的棱长是1,可以求出正四面体A
可以求出：
sin
.2逅
arcsin
3
只需要知道体积、两个
当四面体ABCD不是正四面体时也可以用这种方法求解,
面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了
442角度法
例9:
如图10所示，以点A为顶点的三条射线分别是AB、AC、AD，其中AB、
AD的夹角是!
，AB、AC的夹角是2，AC、AD的夹角是3。
现在要求二面角
CABD的大小。
AB（由于AB、AC、AD的长度没有给出,
分析：
现在设CBAB，并且DB
这样的假设是合理可行的），
那么CBD即为所求二面角的大小。
根据已知条件可以得到:
在三角形BCD中,
2121、2C0S3
（tan!
—）（tan2—）一
cos1cos2cos1cos2
2tan1tan2
2cos3彳彳
311
cos1cos2
2tan1tan2
cos3cos1cos2
cos1cos2
cos3cos1cos2arccos
cos1cos2
通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该
方法是一个比较特殊实用的方法。
4.4.3面积射影法
例10:
如图11所示，在空间直角坐标系OXYZ中，点A、B、C分别在X、丫、
Z轴上，现在要求二面角
分析：
作CDAB并且CD与AB相交于点D。
连接OD。
根据三垂线定理可知:
ODAB。
即：
CDO即为所求二面角。
1
在CAB中，Scab；CD||AB。
1
在OAB中，Soab-|ODAB。
并且OD||CD|cos。
OAB是CAB在平面XOY内的射影。
由以上的条件可以得到：
S1
scab_cdAB
2
用另外一种简便语言表示就是:
5.小结
首先要指出的是给出的3种另类方法，如果给出的问题条件特殊，可以用四面体体积法、角度法或者面积射影法来解决，使用3种另类方法无疑是最简单的方法，直接套用公式即可解出结果。
如果遇到的问题不能用另类方法解决，则尽量运用概念法和几何法来解决，因为这两种方法的计算量小，不容易出错。
但是很多问题所给的条件不够的，很多图形都只给出了部分条件，其他条件需要推导计算出来，因此，要灵活运用概念法、三垂线法、割补法以及切平面法，有时甚至需要几种方法的混合使用才能够求解出二面角，例4和例5中也可以看出这几种方法混合使用的效果。
还有，如果问题给出的图形容易建立直角坐标系，并且各个点的坐标不是很复杂时，使用空间向量法是一个不错的选择。
它可以省去很多推导过程，只需要细心地运算，就可以把平面的二面角解出来。
当然，倘若问题的数据巨大，这种方法就不是很适用。
到目前为止只总结出了这些方法，可能还有很多实用的方法没有考虑到。
总结出的方法中可能有不足之处，还请指出改正。
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