《棱柱棱锥和棱台的结构特征》学案2人教B版必修2.docx
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《棱柱棱锥和棱台的结构特征》学案2人教B版必修2
1．1．2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
感悟课标新理念
大金字塔之谜
墨西哥、希腊、苏丹等国都有金字塔，但名声最为显赫的是埃及的金字塔。
埃及是世界上历史最悠久的文明古国之一——金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是埃及人民的骄傲。
金字塔，阿拉伯文意为“方锥体”，它是一种方底、尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。
它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形，而是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的“金”字，故中文形象地把它译为“金字塔”。
埃及迄今发现的金字塔共约八十座，其中最大的是以高耸巍峨而被称为古代世界七大奇迹之首的“胡夫大金字塔”"在。
在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，“胡夫大金字塔”一直是世界上最高的建筑物。
据一位名叫彼得的英国考古学者估计，“胡夫大金字塔”大约由230万块石块砌成，外层石块约115000块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大，而大的甚至超过15吨。
假如把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于赤道周长的三分之二。
在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石，垒成如此宏伟的大金字塔？
这真是一个十分难解的谜"
课程学习目标
［课程目标］
目标重点：
多面体、棱柱、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系，空间与平面问题的相互转化；
目标难点：
几种概念相近的几何体（如平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体等）的特征、性质的区别；
［学法关键］
1．结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究柱、锥、台等几何体，使得对概念和性质的理解与图形密切地结合起来；
2．几何体的“特征性质”是指某种几何体能够区别于其他几何体的本质属性，这样的性质可以作为这种几何体的定义，正是由于定义是几何体的特征性质，因而定义发挥着判定定理和性质定理的双重作用"因此明确各种几何体的定义是十分重要的。
研习教材重难点研习点：
一．多面体及相关概念
1．多面体：
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体"如下图中的几何体都是多面体"
2．相关概念：
（1）围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
（2）相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；
（3）棱和棱的公共点叫做多面体的顶点；
（4）连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线；
（5）凸、凹多面体：
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如
果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体，其他的多面体叫做凹多面体；
（6）截面：
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面，
3．多面体的分类：
（1）按照多面体是否在任一面的同一侧分为凸多面体和凹多面体；
（2）按照围成多面体的面的个数分为四面体、五面体、六面体等。
【联想·质疑】
每一个多面体都有对角线吗？
通过观察上面给出的生活中常见的一些多面体图形，我们可以看出，并不是所有的多面体都有对角线的。
如下图中的两个多面体就没有对角线
如果多面体有对角线，就不仅仅有一条对角线，如下图中的多面体
研习点2棱柱及相关概念
1．定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且其余每相邻两个面的交线都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。
如下图中的图形都是棱柱
2．相关概念：
（1）棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；
（5）棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线；
（6）如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离，叫做棱柱的高。
【联想·质疑】
如何理解棱柱？
1．从运动的观点来看，棱柱可以看成是一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所经过的空间部分$，如果多边形水平放置，则移动后的多边形也水平放置。
2．棱柱的主要结构特征：
①两个底面互相平行，②其余每相邻两个面的交线互相平行，各侧面是平行四边形$。
通俗地讲，没有第一个特征，两头不一样齐；若没有第二个特征，上下不一样粗，
因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。
3．但是注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”的几何体未必是棱柱。
如图所示的几何体虽有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱。
4．棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等（见图）
（2）按侧棱与底面的关系分类：
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
5．棱柱的表示：
（1）用表示各顶点的字母表示棱柱：
如棱柱ABCD－A1B1C1D1；
（2）用一条对角线端点的两个字母来表示，如棱柱AC1.
6．特殊的四棱柱：
1．底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；
2．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；
3．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；
4．棱长都相等的长方体叫做正方体.
研习点3棱锥及相关概念
1．定义：
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥，如下图所示。
2．相关概念：
（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面PAB；
（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如顶点P、A、B、C等；
（3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，如侧棱PA、PB等；
（4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面，如底面ABC、ABCD等；
（5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高，如图2中的PO就是四棱锥的高；
（6）棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面，如对角面PAC（注：
三棱锥没有对角面）
【联想·质疑】
如何理解棱锥？
1．棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征：
①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。
2．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体未必是棱锥!
。
如右图所示，此多面体有一个面是四边形，其余各面是三角形，但它不是棱锥!
3．棱锥的分类：
（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体!
（2）正棱锥：
如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥!
4．正棱锥的性质：
（1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；
（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高!
5．棱锥的表示：
（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：
如三棱锥P－ABC，四棱锥P－ABCD.
（2）用对角面表示：
如右图中的四棱锥可以用P－AC表示!
研习点4．棱台及相关概念
1．定义：
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台.
2．相关概念：
（1）棱台的下底面、上底面：
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；
（2）棱台的侧面：
棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面。
（3）棱台的侧棱：
相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱。
（4）棱台的高：
当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。
3．棱台的分类：
（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；
（2）正棱台：
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
4．正棱台的性质：
（1）各侧棱相等；
（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；
（3）正棱台的斜高相等。
5．棱台的表示：
棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如右图中的棱台，可以记作棱台ABCD－A’B’C’D’，或记作棱台AC’，下底面为ABCD，上底面为A’B’C’D’，棱台的高为OO’.
【联想·发散】
棱柱、棱锥、棱台之间的关系
棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥（在学习时要注意棱柱、棱锥、棱台这三种多面体之间的联系）。
探究解题新思路
基础拓展型
题型1：
概念判断题
例1．设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。
以上四个命题中，真命题的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
【探究】本题主要考查棱柱的概念及性质，注意各种特殊的棱柱之间的关系。
【研析】①不正确。
除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体。
②不正确。
当底面是菱形时就不是正方体。
③不正确。
是两条侧棱垂直于底面一边而非垂直于底面，故不一定是直平行六面体。
④正确。
因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体。
故而选A.
【反思·领悟】熟练地掌握棱柱和棱锥的概念，才能准确地应对这类概念题，从而判断出棱柱和棱锥中的线面关系。
【拓展·变式】
1．棱台不具有的性质是（C）
（A）两底面相似（B）侧面都是梯形
（C）侧棱长都相等（D）侧棱延长后交于一点
小结：
此类题目较易，但也要熟记教材中的相关概念内容，把四棱柱、平行六面体、直平行六面体、直四棱柱、长方体、正方体等各几何体间的关系搞清楚，把握它们的特征性质才能够准确作答。
题型2．考查棱柱间的关系
例2．已知集合A=｛正方体｝，B=｛长方体｝，C=｛正四棱柱｝，D=｛平行六面体｝，E=｛四棱柱｝，F=｛直平行六面体｝，则（B）
（A）（B）（C）（D）它们之间不都存在包含关系
【探究】此题考查几种特殊的棱柱之间的关系。
【研析】几种常见棱柱间的关系如下图所示：
【反思·领悟】
棱柱有几种分类方法，这些几何体在每一分类方法中都有其名称，容易混淆。
如正四棱柱按底面多边形的边数分类，它是四棱柱；按侧棱与底面是否垂直分类，它是直四棱柱；按平行六面体和非平行六面体来分，它是底面是正方形的直平行六面体#因此，要准确把握这些几何体的特征。
2.有四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥，②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
其中正确的命题有③④
题型3．有关计算问题
例3．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O
和O1，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接OO1，O1E1，OE，EE1，O1B1，OB，则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形
这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为
cm
例4．如图正四棱锥P－ABCD的底面边长为a，高为h，求它的侧棱PA的长和斜高PE
【研析】!
正四棱锥的底面边长为a,
即此正四棱锥的侧棱长为
斜高为
【反思·领悟】
对于正四棱锥的计算问题，解决的关键是寻找到相应的直角三角形。
把要计算的量转化到同一个直角三角形中进行计算。
拓展·变式
3．已知正四面体P－ABC的棱长为4，用一平行于底面的平面截此四面体，所得截面面积为
求截面与底面之间的距离.
小结：
关于棱锥中的计算问题注意应用棱锥的性质：
截面面积与底面面积的比等于截得的小棱锥与原来棱锥的边长的平方比；
截得的小棱锥的侧面面积与原来棱锥的侧面面积之比等于截得的小棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方比。
在正棱锥的性质中给出了两个直角三角形，除此之外，正棱锥的底面外接圆半径，边心距和半底边长也组成一个直角三角形，这三个直角三角形称为棱锥中的特征三角形，有好多立体几何问题都是转化到这三个直角三角形中去处理的，如有关侧棱、底面边长的计算等，要熟练掌握。
题型4．有关截面问题
例5．正三棱柱的每条棱都是a，过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积.
【探究】!
这是一个纯文字的计算题，应当先画出图形，写出已知和求解，判断出截面图形的具体形状后，再设法求其面积
【研析】!
如图O，O1是两底面中心，延长AO，A1O1分别与BC，B1C1相交于D，D1，连接DD1，则DD1//AA1，∴A，A1，D，D1在同一平面内。
在平面AD1内过D1及OO1中点G作直线与AD相交于E，过E作BC的平行线与AB，AC分别相交于M，N，
则B1MNC1是经过B1C1和点G的截面，
即所求的截面的面积是
【反思·领悟】
解决此类问题的关键是利用平面的性质作出截面，然后利用题设条件及图形的性质
来解决有关的面积计算问题’
【拓展·变式】
4．将长方体截去一角，求证：
截面是锐角三角形。
小结：
处理与截面有关的问题时主要考虑两个方面的因素：
其一是先准确地作出截面图形来，这就要用到平面的性质定理和公理，其二是根据作出的图形进行合理的论证和计算，因为截面是一个平面图形，因此平面几何中的有关定理和性质都可以用来进行计算和证明
【教考动向·演练】
1．下面没有体对角线的一种几何体是（A）
（A）三棱柱（B）四棱柱（C）五棱柱（D）六棱柱
2．用一个平面去截正方体，截面多边形的边数不可能是（D）
（A）4（B）5（C）6（D）7
3．一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证它是直棱柱的是（A）
（A）三棱柱（B）四棱柱（C）五棱柱（D）六棱柱
4．六棱柱有9条对角线.
5．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示，A，B，C是展开图上的三点，同在正方体盒子中，∠ABC的大小是60°
综合创新型题型"!
创新应用题
例1．在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条棱A、B两点，OA=4cm，OB=3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），求此绳在A，B之间的最短绳长
【探究】此题以三棱锥为载体求最短绳长问题，应当合理地应用棱锥的侧面展开图来求解
【研析】如图所示的三棱锥，作出它的侧面展开图，如图A，B两点间的最短绳长就是线段AB的长度。
OA=4cm，OB=3cm，∠AOB=90°，∴AB=5cm，
即此绳在A，B间最短的绳长为5cm
【反思·领悟】多面体侧面上两点间的最短距离问题，要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解。
5．如图，P是长方体AC1上底面A1B1C1D1内的一点，设AP与三条棱AB、AD、AA1所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=（A）
（A）1（B）2
（C）
（D）不确定，随P点的位置而定
题型2．开放探究题
例2．
（1）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标在图中，并作简要说明；
（2）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线在中表示，并作简要说明!
【探究】!
紧扣正三棱锥、正三棱柱的定义，正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面且侧面是全等的矩形，在要求全面积为已给三角形面积的前提下关键是去构造上底面三角形和面积相等的三个四边形!
【研析】!
（1）如图④沿正三角形三边中点连线折起，即可拼得一个正三棱锥，
如图⑤，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出
的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱锥的上底；
（2）如图⑥，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，这三个四边形可以拼成直三棱柱的上底，再将余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型
【反思·领悟】本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力!
近几年高考命题中的开放性试题逐年增加，解决此类问题时要注意观察、试验、类比、归纳，从而猜想出命题的结论，然后再进行严格地证明!
拓展·变式】
6．如图E，F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？
7．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个相等的面重合在一起组成一个大长方体，则大长方体的对角线最长为
.
【教考动向·演练】
6．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（C）
（A）底面为正多边形（B）各侧棱都相等
（C）各侧面与底面都是全等的正三角形（D）各侧面都是等腰三角形
7．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（D）
（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥
8．过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为a，则截得的正三棱锥的高为
。
9．正四面体棱长为a，M，N为其两条相对棱的中点，求MN的长。
a
【热点考题搜索】
1．有两个相同的直三棱柱，高为
，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a（a>0），用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是.
2．在平面几何里，有勾股定理：
“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则BC2=AB2+AC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：
“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则.
加强空间想象，提高解题能力
在立体几何的学习过程中，培养空间想象能力是学习的重点，但培养空间想象能力，首先要学好有关空间形式的数学知识，这些不仅仅是立体几何方面的，还应包括初中平面几何，数形结合方面的内容，如：
数轴、平面图形的画法等.
但在实际学习中，同学们往往不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，从而反映在做题时不会画图或画出图来也不易辩认，甚至作出错误的图形来，误导了解题且不易查错，从而影响了解题"
因此，在培养空间想象能力方面，特别是在立体几何入门学习中应重视“水平放置的平面图形的直观图的画法”一节的学习，因为这里已经开始体现出平面几何作图与立体几何作图的区别和特点’在学习的过程中，通过制作模型，进而在正确作图的基础上从不同的角度来观察作图，并学会分析由此产生的不同视觉效果及对解题的帮助程度，同时也要逐步培养“看图"想图"辨图”能力，即根据已知条件，脱离实际模型，也能在二维的纸上正确合理地画出三维的空间图形，并根据平面图形来分析相关的点、线、面之间的各种位置关系，这是立体几何学习中的难点，也是入门时须过好的一关。
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