八年级数学上册123角的平分线的性质同步练习含答案解析.docx
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八年级数学上册123角的平分线的性质同步练习含答案解析
编号：
57684289337954225654444158
学校：
杭处市净水镇坝上平小学*
教师：
务讯理*
班级：
翔翔参班*
《12.3角的平分线的性质》
一、填空题
1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：
（1）若∠1=∠2，则______=______．
（2）若∠3=∠4，则______=______．
2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD=36，则S△BCD=______．
3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO等于______．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD：
S△ACD=______．
二、选择题
5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（ ）
A．3cmB．7.5cmC．6cmD．4.5cm
7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：
DC=3：
2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）
A．10B．20C．15D．25
8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（ ）
A．OD＞OEB．OD＜OEC．OD=OED．不能确定
三、解答题
9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：
（1）DE=DC；
（2）BD=DF．
10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：
PE=PF．
11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：
PM=PN．
12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．
13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：
OE=OF．
《12.3角的平分线的性质》
参考答案与试题解析
一、填空题
1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：
（1）若∠1=∠2，则 BC = DC ．
（2）若∠3=∠4，则 AB = AD ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】
（1）根据角平分线性质推出即可；
（2）根据角平分线性质推出即可．
【解答】解：
（1）∵∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC，
∵∠1=∠2，
∴BC=CD，
故答案为：
BC，DC．
（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∵∠3=∠4，
∴AB=AD，
故答案为：
AB，AD．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边距离相等．
2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD=36，则S△BCD= 45 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后计算出DF的长，再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．
【解答】解：
∵S△ABD=36，
∴•AB•ED=36，
×12×ED=36，
解得：
DE=6，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE=DF，
∴DF=6，
∵BC=15，
∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45，
故答案为：
45．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO等于 2：
3：
4 ．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积．
【专题】常规题型．
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
【解答】解：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S△ABO：
S△BCO：
S△CAO=2：
3：
4．
故答案为：
2：
3：
4．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD：
S△ACD= 2 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DM=DN，
∴S△ABD：
S△ACD=（AB×DN）：
（AC×DM）=AB：
AC=2AC：
AC=2，
故答案为：
2．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
二、选择题
5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：
①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】角平分线的性质．
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
故选B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（ ）
A．3cmB．7.5cmC．6cmD．4.5cm
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．
【解答】解：
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=DC=1.5cm，
∵BD=3cm，
∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：
DC=3：
2，点D到AB的距离为6，则BC长为（ ）
A．10B．20C．15D．25
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为6，
∴DE=6，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DC=DE=6，
∵BD：
DC=3：
2，
∴BD=×3=9，
∴BC=BD+DE=9+6=15．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（ ）
A．OD＞OEB．OD＜OEC．OD=OED．不能确定
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：
如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，
∴AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．
三、解答题
9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：
（1）DE=DC；
（2）BD=DF．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：
（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC；
（2）在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴BD=DF．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：
PE=PF．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．
【解答】证明：
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∴PE=PF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：
三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：
PM=PN．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．
【解答】证明：
在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共边），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．
12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．
【解答】解：
如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90，
即×18•DE+×12•DE=90，
解得DE=6．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：
OE=OF．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】
（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；
（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．
【解答】解：
连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：
AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，
则
x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）
过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中
∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．
【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
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