人教A版数学必修第二册84 空间点直线平面之间的位置关系 教案docx.docx
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空间点、直线、平面之间的位置关系
【第一课时】
【教学目标】
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用
【教学重难点】
1.平面的概念
2•点、线、面的位置关系
3.三个基本事实及推论
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1.教材中是如何定义平面的？
2.平面的表示方法有哪些？
3.点、线、面之间有哪些关系？
如何用符号表示？
4.三个基本事实及推论的内容是什么？
各有什么作用？
二、基础知识
1.平面
（1）平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.平面是向四周无限延展的.
（2）平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖回.
（3）平面的表示方法
我们常用希腊字母a,B，/等表示平面，如平面a、平面。
、平面/等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的
平面a,也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面昭.
a4
名师点拨：
（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量.
（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的.
2.点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，1,m是一
互线，a,"是平面.
文字语言
符号语言
图形语言
A在/上
A_eZ
~~AI
A在/外
Ail
-J/
A在Q内
A^_a
/
A在Q外
A^a
•A
//
/在Q内
Ija
/—1/
/在Q外
Ka
1
旗_/
1,m相交于A
1,Q相交于A
lP\a=A
，、―
%
a,步相交于I
名师点拨
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“仁"或“任"表示.
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“e"或“庄"表示.
（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“u”或F”表示.
3.平面的性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只直一个平面
A,B,。
三点不共线n存在唯一的平面a使A,B,Cea
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
Ae/,Bel,且A
Ea,BWon
lu以
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
PEa,且PG
8*部=1,且PG
I
名师点拨
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常
把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.如下图
①，图②所示：
4.平面性质的三个推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图
（1）.
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图
（2）.
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图（3）.
（1）
（2）（3）
三、合作探究
探究点
图形、文字、符号语言的相互转化
例1：
（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予
aQ&=l,A^l,ABua,ACug.
【解】
（1）符号语言表示：
平面ABDH平面BDC=BD,平面ABCI平面ADC=AC.用图形表示如图①所示.
（2）文字语言叙述为：
点A在平面a与平面。
的交线/上，直线A3,AC分别在平面a,。
内，图形语言表示如图②所示.
［规律方法］
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表小.
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
探究点囱L
点、线共面问题
例2：
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【解】已知：
如图所示，liC\l2~A,/2n/3=B>liC\l3=C.
求证：
直线Zl，h，心在同一平面内.
证明：
法一：
（纳入平面法）
因为/1川2=人，所以/1和确定一个平面a.
因为mi3=B,所以BW"
又因为/2<=a,
所以B&.同理可证C£a.
又因为bw/3,ce所以y.
所以直线Zi，l2,Z3在同一平面内.
法二：
（辅助平面法）
因为Zin/2=A,所以Z1，为确定一个平面a.
因为m=B,
所以，2，，3确定一个平面
因为AW'Rua,所以AGa.
因为Awh，1邳,所以AW/3.
同理可证BWa,BJg,C^a,C^p.
所以不共线的三个点A,B,。
既在平面a内，又在平面。
内.
所以平面a和万重合，即直线l\,l2,h在同一平面内.
［规律方法］
证明点、线共面的常用方法
（1）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
（2）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面。
，最后证明平面a,"重合.
探究点
三点共线、三线共点问题
例3：
如图所示，在正方体ABCD-AiBiQDi中，E、F分别为哄c,
AB、AAi的中点.求证：
CE,",D4三线交于一点.川一|
【证明】连接EF,AGAiB,
因为E为AB的中点，
F为AAi的中点，所以EF选AiB.
又因为
所以EF竺DC
所以E,F,Di，。
四点共面，
可设DiF—CE=P.
又DiFu平面ArDiDA,CEu平面
所以点P为平面A.D.DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面AiDiDAA平面ABCD=DA,
所以据基本事实3可得P^DA,
即CE,",D4三线交于一点.
互动探究
［变条件、变问法］若将本例条件中的“E,F分别为A3,AAi的中点”改成
“E,F分别为A3,AAi上的点，且DlF^CE=M,,,求证：
点。
、A、M三点共线.
证明：
因为DiF"E=M,
且DiFu平面AXDXDA,所以平面AXDXDA,
同理平面BCDA,
从而M在两个平面的交线上，
因为平面AiDiDAA平面BCDA=AD,
所以M^AD成立.所以点。
、A、M三点共线.
［规律方法］
（1）证明三点共线的方法
清*-我由碗不苹而「薮启「浴明董M汞福瓦!
方法一这两个平面的公共点，根据基本事实3可知
:
这些点都在两个平面的交线上
［右注—选择其中两点确定一条直线，然后证明另；d也色蛀蛀:
（2）证明三线共点的步骤
步骤——留亟系重金蕤'亘孩三更二二二〕
平嘘一…反明£木£聂项鬲木萍蓄上,*宜笠碗&
步骤一I弋面忍变:
步骤三。
区-色迭蔓板坦虹虹:
从质送更M寰法*二1
【课堂检测】
1.能确定一个平面的条件是（）
A.空间三个点B.一个点和一条直线
C.无数个点D.两条相交直线
解析：
选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A,B,C条件不
能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确.
2.经过同一条直线上的3个点的平面（）
A.有且只有一个B.有且只有3个
C.有无数个D.不存在
解析：
选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：
课本中每一页都过共
线的三点.
3.如果直线au平面a,直线》u平面a,M^a,N^b,I,N^l,则（）
A.luaB.Ha
C.l^a=MD.lHa=N
解析：
选A.因为aua,所以M^a,同理，N^a,又MB,N^l,故lua.
4.
如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（
解析：
选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线.
5.说明语句“lua,m^a=A,AW"表示的点、线、面的位置关系，并画出图形.
解：
直线/在平面a内，直线机与平面a相交于点A,且点A不在直线/上，图形如图所示.
【第二课时】
【教学目标】
1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义
2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系,会用符号语言和图形语言表示
3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系,会用符号语言和图形语言表示
【教学重难点】
1.空间两直线的位置关系
2.直线与平面的位置关系
3.平面与平面的位置关系
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1.空间两直线有哪几种位置关系？
2.直线与平面的位置关系有哪几种？
3.平面与平面的位置关系有哪几种？
4.如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？
5.如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？
二、基础知识
1.空间中直线与直线的位置关系
（1）异面直线
1定义：
把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;
2
（2）空间两条直线的位置关系
'［相交直线：
在同一平面内，有且只有一个公共点;
共面直线〒，一士小—TN—八斗-
画法：
（通常用平面衬托）
j［平行直线:
在同一平面内，没有公共点；
I异面直线:
不同在任何一个平面内，没有公共点.
名师点拨
（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不
相交，也不平行.
（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有aua,bug,即a,》分别在两个不同的平面内，但是因为50=0,所以。
与b不是异面直线.
2.
空间中直线与平面的位置关系
名师点拨
一般地，直线a在平面a内时，应把直线a画在表示平面a的平行四边形内；直线。
与平面a相交时，应画成直线。
与平面a有且只有一个公共点，被平面a遮住的部分画成虚线或不画；直线。
与平面a平行时，应画成直线。
与表示平面a的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面a的平行四边形外.
3.空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点（在一条直线
上）
符号表示
a//p
aC\p=l
图形表示
口
4Z7
—
名师点拨
（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面.
三、合作探究
探究点
空间两直线位置关系的判定
例1：
如图，在长方体ABCD-AiBjCiDi中，判断下列直c,
线的位置关系：
1直线A.B与直线DiC的位置关系是；上芝*
2直线ApB与直线的位置关系是；"
3直线DiD与直线AC的位置关系是；
4直线AB与直线BiC的位置关系是.
【解析】经探究可知直线AiB与直线DC在平面A.BCD,中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点人1、B、访在平面内，而。
不在平面内，则直线AiB与直线31。
异面.同理，直线A3与直线瓦。
异面.所以②④应该填“异面”；直线DiD与直线DC相交于Di点，所以③应该填“相交”.
【答案】①平行②异面③相交④异面
［规律方法］
（1）判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断.
（2）判定两条直线是异面直线的方法
1定义法：
由定义判断两直线不可能在同一平面内；
2重要结论：
连接平面内一点与平面外一点的直线，/\/和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表V示为
A^a,B^a,lua,B《/=>AB与/是异面直线（如图）.
探究点
直线与平面的位置关系
例2：
下列命题：
1直线/平行于平面a内的无数条直线，贝1]l//a；
2若直线a在平面a外，则a//a；
3若直线a//b,直线Z?
ua,贝｝]a〃a；
4若直线a//b,bua,那么直线。
就平行于平面a内的无数条直线.
其中真命题的个数为（）
A.1B.2
C.3D.4
【解析】因为直线I虽与平面a内无数条直线平行，但I有可能在平面a内，所以/不一定平行于a,所以①是假命题.
因为直线。
在平面a外包括两种情况：
a//a和。
与a相交，所以。
和a不一定平行，所以②是假命题.
因为直线a//b,bua,则只能说明。
和》无公共点，但。
可能在平面a内，所以。
不一定平行于a,所以③是假命题.
因为a〃b,bua,所以aua或a//a,所以a可以与平面a内的无数条直线平行，所以④是真命题.
综上，真命题的个数为1.
【答案】A
[归纳反思]
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.
（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.
探究点回L
平面与平面的位置关系
例3：
已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么
这两个平面的位置关系一定是（）
A.平行B.相交
C.平行或相交D.以上都不对
【解析】如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】C
互动探究
1.［变条件］在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：
如图，aua,bu/3,a,力异面，则两平面平行或相交.
①②
2.［变条件］在本例中，若将条件改为平面a内有无数条直线与平面。
平行,
那么平面a与平面。
的关系是什么？
解：
如图，a内都有无数条直线与平面。
平行.
由图知，平面a与平面。
可能平行或相交.
3.［变条件］在本例中，若将条件改为平面a内的任意一条直线与平面。
平行，那么平面a与平面。
的关系是什么？
解：
因为平面a内的任意一条直线与平面。
平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面a与平面。
平行.
［规律方法］
（1）平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点;
②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.
（2）常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
②长方体的六个面中，三组相对面平行.
探究点
点、线、面位置关系图形的画法
例4：
如图所示，G是正方体ABCD-A}B}QD}的棱£＞瓦延长线上的一点，E,F是棱A3,3。
的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
（1）过点G及AC.
（2）
过三点E,F,Di.
【解】
（1）画法：
连接GA交人心于点连接GC交GDi于点N；连接MN,AC,则心，CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.
（2）画法：
连接EF交DC的延长线于点P,交D4的延长线于点Q；连接DXP交CCi于点M,连接DiQ交AAi于点N；连接MF,NE,则DXM,MF,FE,EN,ND为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.
［规律方法］
直线与平面位置关系的图形的画法
（1）画直线。
在平面a内时，表示直线。
的线段只能在表示平面a的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外.
（2）画直线。
与平面a相交时，表示直线。
的线段必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体
/与a相交.故选C.
解析：
选D.如图:
平行/异面4//
4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平
面的位置关系为（）
解析：
选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内.
5.已知平面an”=c,直线a〃a,a与。
相交，则a与c的位置关系是.
答案：
异面
6.
.（填序号）
下列命题正确的是.
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内;
2若直线I与平面a相交，则I与平面a内的任意直线都是异面直线；
3如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.
解析：
①显然是正确的；②中，直线/和平面a内过/与a交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的.
答案：
①
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