全等三角形知识点讲解.docx

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全等三角形知识点讲解

全等三角形

一、目标认知

学习目标：

　　1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

　　2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

重点：

　　1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；

　　2.三角形全等的性质和条件。

&

难点：

　　1.掌握用综合法证明的格式；

　　2.选用合适的条件证明两个三角形全等

二、知识要点梳理

知识点一：

全等形

要点诠释：

　　能够完全重合的两个图形叫全等形。

"

知识点二：

全等三角形

要点诠释：

　　能够完全重合的两个三角形叫全等三角形

知识点三：

对应顶点，对应边，对应角

要点诠释：

　　两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

知识点四：

全等三角形的性质

{

要点诠释：

　　全等三角形对应边相等，对应角相等

知识点五：

三角形全等的判定定理

（一）

要点诠释：

　　三边对应相等的两个三角形全等。

简写成“边边边”或“SSS”

知识点六：

三角形全等的判定定理

（二）

要点诠释：

}

　　两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

简写成“边角边”或“SAS”

知识点七：

三角形全等的判定定理（三）

要点诠释：

　　两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

知识点八：

三角形全等的判定定理（四）

要点诠释：

　　两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

简写成“角角边”或“AAS”

@

知识点九：

直角三角形全等的判定定理

要点诠释：

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

简写成“斜边、直角边”或“HL”

三、规律方法指导

1.探索三角形全等的条件：

（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：

①边角边（SAS）；②角边角（ASA）;③角角边（AAS）;④边边边（SSS）.

（2）直角三角形的全等的条件:

除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.

—

2．判别两个三角形全等指导

（1）已知两边

（2）已知一边一角

　　（3）已知两角

3．经验与提示：

⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

　　①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

>

　　②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．

　　③有公共边的，公共边一定是对应边．

　　④有公共角的，公共角一定是对应角．

　　⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）

⑵找全等三角形的方法

　　①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

　　②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

$

　　③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

　　④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

⑶证明线段相等的方法：

　　①中点定义；

　　②等式的性质；

　　③全等三角形的对应边相等；

　　④借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

随着知识深化，今后还有其它方法。

@

⑷证明角相等的方法：

　　①对顶角相等；

　　②同角（或等角）的余角（或补角）相等；

　　③两直线平行，同位角、内错角相等；

　　④等式的性质；

　　⑤垂直的定义；

　　⑥全等三角形的对应角相等；

　　　三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。

随着知识的深化，今后还有其它的方法。

;

⑸证垂直的常用方法

　　①证明两直线的夹角等于90°；

　　②证明邻补角相等；

　　③若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

　　④垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

　　⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；

　　⑥邻补角的平分线互相垂直。

，

　　⑹全等三角形中几个重要结论

　　①全等三角形对应角的平分线相等；

　　②全等三角形对应边上的中线相等；

　　③全等三角形对应边上的高相等。

4.知识的应用

（1）全等三角形的性质的应用：

根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.

（2）全等三角形判别方法的应用：

根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.

\

　　（3）用全等三角形测量距离的步骤：

①先明确要解决什么实际问题；②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；③说明理由.

5．注意点

（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.

（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边.

　　（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：

如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.

　　（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.

　　（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.

…

6.数学思想方法

（1）转化思想：

如将实际问题转化数学问题解决等.

（2）方程思想：

如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.

　　（3）类比思想：

如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等

经典例题透析

类型一：

全等三角形性质的应用　

1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

.

　　思路点拨:

AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

　　解析：

AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.

　　总结升华：

已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.

　　已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

　　举一反三：

　　【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗为什么

*

　　【答案】证明：

由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，

则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。

　　【变式2】如右图，

，

。

　　　　　　求证：

AE∥CF

　　【答案】

　　　　　　∴AE∥CF

！

2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

　　思路点拨:

由全等三角形性质可知：

∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

　　解析：

在ΔABC中，

　　　　∠ACB=180°-∠A-∠B，

　　　　　又∠A=30°，∠B=50°，

　　　　　所以∠ACB=100°.

　　　　　又因为ΔABC≌ΔDEF，

|

　　　　　所以∠ACB=∠DFE，

　　　　　BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

　　　　　所以∠DFE=100°

　　　　　EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

　　总结升华：

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

　　举一反三：

　　【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.

{

　　　　　　求证：

（1）CD⊥AB；

（2）EF∥AC.

　　【答案】

（1）因为ΔACD≌ΔECD，

　　　　所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.

　　　　所以CD⊥AB.

（2）因为ΔCEF≌ΔBEF,

　　　　所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.

\

　　　　因为∠CFE+∠BFE=180°，

　　　　所以∠CFE=∠BFE=90°.

　　　　因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.

　　　　所以EF∥AC.

类型二：

全等三角形的证明

3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：

△ADF≌△BCE．

　　思路点拨:

欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得

　　解析：

∵AC＝BD（已知）

　　　　　∴AB-BD＝AB-AC（等式性质）

　　　　　即AD＝BC

　　　　　在△ADF与△BCE中

　　　　　∴△ADF≌△BCE（SAS）

　　总结升华：

利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：

<

（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，

（2）证明这两个三角形全等；

　　（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．

　　举一反三：

　　【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：

AD∥BC

　　【答案】∵AB∥CD

　　　　　　∴∠3＝∠4

）

　　　　　　在△ABD和△CDB中

　　　　　　∴△ABD≌△CDB（SAS）

　　　　　　∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）

　　　　　　∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）

　　【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．

　　　　　　求证AF＝DE．

\

　　【答案】∵EB⊥AD（已知）

　　　　　∴∠EBD＝90°（垂直定义）

　　　　　　同理可证∠FCA＝90°

　　　　　　∴∠EBD＝∠FCA

　　　　　　∵AB＝CD，BC＝BC

　　　　　　∴AC＝AB+BC

　　　　　　　　＝BC+CD

~

　　　　　　　　＝BD

　　　　　　在△ACF和△DBE中

　　　　　　∴△ACF≌△DBE（S．A．S）

　　　　　　∴AF＝DE（全等三角形对应边相等）

类型三：

综合应用

4、如图，AD为ΔABC的中线。

求证：

AB+AC>2AD.

》

　　思路点拨:

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。

由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。

　　解析：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE

　　　　　因为AD为ΔABC的中线，

　　　　　所以BD=CD.

　　　　　在ΔACD和ΔEBD中，

　　　　　所以ΔACD≌ΔEBD（SAS）.

`

　　　　　所以BE=CA.

　　　　　在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.

　　总结升华：

通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

　　举一反三：

　　【变式1】已知：

如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，

　　　　　　求证：

BD=2CE.

　　【答案】分别延长CE、BA交于F.

`

　　　　　　因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.

　　　　　　在ΔBEF和ΔBEC中，

　　　　　　所以ΔBEF≌ΔBEC（ASA）.

　　　　　　所以CE=FE=

CF.

　　　　　　又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.

　　　　　　所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.

　　　　　　所以∠BDA=∠BFC.

￥

　　　　　　在ΔABD和ΔACF中，

　　　　　　所以ΔABD≌ΔACF（AAS）

　　　　　　所以BD=CF.所以BD=2CE.

5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，

　　　　　　求证：

（1）AE＝CF，

（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF

"

　　思路点拨:

（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，

（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）由

（1）

（2）可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后

证明它们全等．

　　解析：

（1）在△ABE与△CDF中

　　　　∴△ABE≌△CDF（SAS）

　　　　∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）

（2）∵∠AEB＝∠CFD（全等三角形对应角相等）

、

　　　　∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）

　　（3）在△AEF与△CFE中

　　　∴△AEF≌△CFE（SAS）

　　　∴∠AFE＝∠CEF（全等三角形对应角相等）

　　总结升华：

在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．

　　举一反三：

.

　　【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．

　　【答案】在△AGE与△BCE中

　　　　　　∴△AGE≌△BCE（SAS）

　　　　　　∴AG＝BC（全等三角形对应边相等）

　　　　　　在△AFD与△CBD中

/

　　　　　　∴△AFD≌△CBD（SAS）

　　　　　　∴AF＝CB（全等三角形对应边相等）

　　　　　　∴AF＝AG（等量代换）

6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

　　　　　　求证：

AF平分∠BAC．

~

　　思路点拨:

若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

　　解析：

在Rt△ABD与Rt△ACE中

　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）

　　　　　∴AD=AE（全等三角形对应边相等）

　　　　　在Rt△ADF与Rt△AEF中

~

　　　　　∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）

　　　　　∴∠DAF=∠EAF（全等三角形对应角相等）

　　　　　∴AF平分∠BAC（角平分线的定义）

　总结升华：

条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

　举一反三：

　　【变式1】求证：

有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．

　　【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．

》

　　已知：

如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′

　　求证：

△ABC≌△A′B′C′

　　证明：

在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中

　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL）

　　　　　∴∠B=∠B′（全等三角形对应角相等）

…

　　　　　在△ABC与△A′B′C′中

　　　　　∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）

　　【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：

OC=OD

　　【答案】∵∠C=∠D=90°

　　　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形

　　　　　　在Rt△ABD和Rt△ABC中

　　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）

　　　　　　∴AD=BC

　　　　　　在△AOD和△BOC中

　　　　　　∴△AOD≌△BOC（AAS）

　　　　　　∴OD=OC．

7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..

　　试判断：

猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系并证明你的猜想。

　　思路点拨:

寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径

　　解析：

结论：

DE+DF=CG

　　方法一：

（截长法）板书此种方法（3分钟）

　　　　　　作DM⊥CG于M

　　　　　　∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG

　　　　　　∴四边形EDMG是矩形

　　　　　　DE=GM

　　　　　　DM//AB

　　　　　　∴∠MDC=∠B

　　　　　　∵AB=AC

　　　　　∴∠B=∠FCD

　　　　　　∴∠MDC=∠FCD

　　　　　　而DM⊥CG，DF⊥AC

　　　　　　∴∠DMC=∠CFD

　　　　　　在⊿MDC和⊿FCD中

　　　　　　∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）

　　　　　　MC=DF

　　　　　　∴DE+DF=GM+MC=CG

　　总结升华：

　　方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）

　　总结：

截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

　　方法三（面积法）使用等积转化

　　引申：

如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何DE、DF和CG会有怎样的关系画出图形，写出你的猜想并加以证明

　　举一反三：

　　【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

　　【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：

（1）截长法

（2）补短法（3）面积法