初等数论知识点讲解汇总高中数学.docx
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初等数论知识点讲解汇总高中数学
初等数论知识点讲解汇总高中数学数学
第一节整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国内与国际竞赛关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m位的正整数A,其各位上的数字分别记为
021,,,aaamm--,则此数可以简记为:
021aaaAmm--=（其01≠-ma）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A可以表示成10的1-m次多项式,即012211101010aaaaAmmmm+⨯++⨯+⨯=----,其1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈miai且01
≠-ma,像这种10的多项式表示的数常常简记为10021）（aaaAmm--=。
在我们的日常生活,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作
021a
aaAmm--=,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性,我们给出正整数A的p进制表示:
012211apapapaAmmmm+⨯++⨯+⨯=----,其1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈mipai且01≠-ma。
而m仍然为十进制数字,简记为pmmaaaA）（021--=。
第二节整数的性质及其应用
（1）基础知识
整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1.整除的概念及其性质在高数学竞赛如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。
定义:
设ba,是给定的数,0≠b,若存在整数c,使得bca=则称b整除a,记作ab|,并称b是a的一个约数（因子）,称a是b的一个倍数,如果不存在上述c,则称b不能整除a记作ba。
由整除的定义,容易推出以下性质:
（1）若cb|且ac|,则ab|（传递性质）;
（2）若ab|且cb|,则）（|cab±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质,易知ab|及cb|,则对于任意的整数vu,有）（|cvaub±。
更一般,若n
aaa,,,21都是
b的倍数,则）（|21naaab+++。
或着iba|,则∑=niiib
ca1|其n
iZci,,2,1,=∈;（3）若ab|,则或者0=a,或者||||ba≥,因此若ab|且ba|,则ba±=;
（4）ba,互质,若cbca|,|,则cab|;
（5）p是质数,若
naaap21|,则p能整除naaa,,,21的某一个;特别地,若p是质数,若nap|,则ap|;
（6）（带余除法）设ba,为整数,0>b,则存在整数q和r,使得rbqa+=,其br<≤0,并且q和r由上述条件唯一确定;整数q被称为a被b除得的（不完全）商,数r称为a被b除得的余数。
注意:
r共有b种可能的取值:
0,1,……,1-b。
若0=r,即为a被b整除的情形;易知,带余除法的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba（不超过ba的最大整数）,而带余除法的核心是
关于余数r的不等式:
br<≤0。
证明ab|的基本手法是将a分解为b与一个整数之积,在较为初级的问题,这种数的分解常通过在一些代数式的分解取特殊值而产生,下面两个分解式在这类论证应用很多,见例1、例2。
若n是正整数,则））（（1221----++++-=-nnnnnnyxyyxxyxyx;
若n是正奇数,则））（（1221----+-+-+=+nnnnnnyxyyxxyxyx;（在上式用
y-代y）（7）如果在等式∑∑===mkk
niiba11取去某一项外,其余各项均为c的倍数,则这一项也是c的倍数;
（8）n个连续整数,有且只有一个是n的倍数;
（9）任何n个连续的整数之积一定是n!
的倍数,特别地,三个连续的正整数之积能被6整除;
2.奇数、偶数有如下性质:
（1）奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数⨯偶数=偶数,奇数⨯偶数=偶数,奇数⨯奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差仍为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数,奇数与偶数的和为奇数,和为偶数;
（2）奇数的平方都可以表示成18+m的形式,偶数的平方可以表示为m8或48+m的形式;
（3）任何一个正整数n,都可以写成lnm
2=的形式,其m为负整数,l为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数,则其每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。
3.完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。
平方数有以下性质与结论:
（1）平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;
（2）偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;
（3）奇数平方的十位数字是偶数;
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整数的数的平方能被3整除。
因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;
（6）平方数的约数的个数为奇数;
（7）任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
（8）设正整数ba,之积是一个正整数的k次方幂（2≥k）,若（ba,）=1,则ba,都
是整数的k次方幂。
一般地,设正整数cba,,,之积是一个正整数的k次方幂（2≥k）,若cba,,,两两互素,则cba,,,都是正整数的k次方幂。
4.整数的尾数及其性质
整数a的个位数也称为整数a的尾数,并记为）（aG。
）（aG也称为尾数函数,尾数函数具有以下性质:
（1）=））（（aGG）（aG;
（2））（21naaaG+++=）]（）（）（[21naGaGaGG+++;
（3）
=⋅⋅⋅）（21naaaG）]（）（）（[21naGaGaGG⋅⋅⋅;（4）0）10（=aG;
）（）10（bGbaG=+;（5）若cba10=-,则）（）（bGaG=;（6）+∈=NkaaGaGk,）,（）（44;
（7）++∈<<≥=NrkarkaGaGrrk,,,40,0）,（）（4;
（8）
⎪⎩⎪⎨⎧=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数,当是偶数为奇数,当212121421,）,（,）,（）,（）（121bbaGbbbbaGbbaGa
Gbbnbb5.整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除,则这个数能被2（或5）整除,否则不能;
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除,则这个数能被3（或9）整除,否则不能;
（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除,则这个数能被4（或25）整除,否则不能;
（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除,则这个数能被8（或125）整除,否则不能;
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数,则这个数能被11整除,否则不能。
6.质数与合数及其性质
1.正整数分为三类:
（1）单位数1;
（2）质数（素数）:
一个大于1的正整数,如果它的因数只有1和它本身,则称为质（素）数;（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子,则称这个自然数为合数。
2.有关质（素）数的一些性质
（1,则a的除1以外的最小正因数q是一个质（素）数。
如果aq≠,则q≤;
（2）若p是质（素）数,a为任一整数,则必有ap|或（pa,）=1;
（3）设naaa,,,21为n个整数,p为质（素）数,且naaap21|,则p必整除某个ia（ni≤≤1）;
（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a,能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）;
（5）任何大于1的整数a能唯一地写成kipppakakaa,,,2,1,2121==①
的形式,其ip为质（素）数（）（jippji<<）。
上式叫做整数a的标准分解式;
（6）若a的标准分解式为①,a的正因数的个数记为）（af,则）1（）1）（1（）（21+++=kaaaaf。
第三节整数的性质及其应用
（2）
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零,同时整除的整数（如）称为它们的公约数。
因为不全为零,故只有有限多个,我们将其最大一个称为的最大公约数,用符号（）表示。
显然,最大公约数是一个正整数。
当（）=1（即的公约数只有）时,我们称与互素（互质）。
这是数论的非常重要的一个概念。
同样,如果对于多个（不全为零）的整数,可类似地定义它们的最大公约数（）。
若（）=1,则称互素。
请注意,此时不能推出两两互素;但反过来,若（）两两互素,则显然有（）=1。
由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质:
例如任意改变的符号,不改变（）的值,即;（）可以交换,（）=（）;（）作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有（）=（）等等。
为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质:
（1）设是不全为0的整数,则存在整数,使得;
（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数,使得;
事实上,条件的必要性是性质
（1）的一个特例。
反过来,若有使等式成立,不妨设,则,故及,于是,即,从而。
（3）若,则,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数;
（4）若,则;
（5）若,则,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数;
（6）若,则,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。
并由此可以推出:
若,对于有,进而有对有。
（7）设,若,则;
（8）设正整数ba,之积是一个正整数的k次方幂（2≥k）,若（ba,）=1,则ba,都是整数的k次方幂。
一般地,设正整数cba,,,之积是一个正整数的k次方幂（2≥k）,若cba,,,两两互素,则cba,,,都是正整数的k次方幂。
定义2.设是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数cba,,,,可类似地定义它们的最小公倍数[cba,,,]。
最小公倍数主要有以下几条性质:
（1）与的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立;
（2）两个整数的最大公约数与最小公倍满足:
（但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立）;
（3）若cba,,,两两互素,则[cba,,,]=|cba,,,|;
（4）若,且cba,,,两两互素,则cba,,,|。
第四节同余
同余式性质应用非常广泛,在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题有着不可替代的功能,与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和国剩余定理。
基础知识
三个数论函数
对于任何正整数均有定义的函数,称为数论函数。
在初等数论,所能用到的无非也就有三个,分别为:
高斯（Gauss）取整函数[x]及其性质,除数函数d（n）和欧拉（Euler）函数和它的计算公式。
1.高斯（Gauss）取整函数[]
设是实数,不大于的最大整数称为的整数部分,记为[];称为的小数部分,记为{}。
例如:
[0.5]=0,等等。
由的定义可得如下性质:
性质1.;
性质2.;
性质3.设,则;
性质4.;;
性质5.;
性质6.对于任意的正整数,都有如下的埃米特恒等式成立:
;
为了描述性质7,我们给出如下记号:
若,且,则称为恰好整除,记为。
例如:
我们有等等,其实,由整数唯一分解定理:
任何大于1的整数a能唯一地写成
kipppakakaa,,,2,1,2121==的形式,其ip为质（素）数（）（jippji<<）。
我们
还可以得到:
。
性质7.若,则
请注意,此式虽然被写成了无限的形式,但实际上对于固定的,必存在正整数,使得,因而,故,而且对于时,都有。
因此,上式实际上是有限项的和。
另外,此式也指出了乘数的标准分解式,素因数的指数的计算方法。
2.除数函数d（n）
正整数的正因数的个数称为除数函数,记为d（n）。
这里给出d（n）的计算公式:
d（n）=,为素数唯一分解定理的指数。
为了叙述地更加明确,我们组出素数唯一分解定理。
算术基本定理（素数唯一分解定理）:
任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积,若不考虑素数乘积的先后顺序,则分解式是唯一的。
例如:
。
当一个整数分解成素数的乘积时,其有些素数可以重复出现。
例如在上面的分解式,2出现了三次。
把分解式相同的素数的积写成幂的形式,我们就可以把大于1的正整数写成
（1）
此式称为的标准分解式。
这样,算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的（不考虑乘积的先后顺序）。
推论1.若的标准分解式是
（1）式,则是的正因数的充要条件是:
（2）
应说明
（2）不能称为是的标准分解式,,其原因是其的某些可能取零值（也有可能不含有某个素因数,因而）
推论2.设,且,若是整数的次方,则也是整数的次方。
特别地,若是整数的平方,则也是整数的平方。
3.欧拉（Euler）函数
设正整数0,1,……与互素的个数,称之为的欧拉函数,并记为。
若的标准分解式是,则的计算公式是:
例如:
;
.
以下我们讲述同余的概念:
同余的概念是高斯（Gauss）在1800年左右给出的。
设是正整数,若用去除整数,所得的余数相同,则称为与关于模同余,记作,否则,称为与关于模不同余。
定义1.（同余）设,若,则称和对模同余,记作;若不然,则称和对模不同余,记作。
例如:
等等。
当时,,则称是对模的最小非负剩余。
由带余除法可知,和对模同余的充要条件是与被除得的余数相同。
对于固定的模,模的同余式与通常的等式有许多类似的性质:
性质1.的充要条件是也即。
性质2.同余关系满足以下规律:
（1）（反身性）;
（2）（对称性）若,则;
（3）（传递性）若,,则;
（4）（同余式相加）若,,则;
（5）（同余式相乘）若,,则;
反复利用（4）（5）,可以对多个两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式。
特别地,由（5）易推出:
若,为整数且,则;但是同余式的消去律一般并不成立,即从未必能推出,可是我们却有以下结果:
（6）若,则,由此可以推出,若,则有,即在与互素时,可以在原同余式两边约去而不改变模（这一点再一次说明了互素的重要性）。
现在提及几个与模相关的简单而有用的性质:
（7）若,|,则;
（8）若,,则;
（9）若,则,特别地,若两两互素时,则有;
性质3.若,则;;
性质4.设是系数全为整数的多项式,若,则。
这一性质在计算时特别有用:
在计算大数字的式子时,可以改变成与它同余的小的数字,使计算大大地简化。
如例3。
定义2.设,是使成立的最小正整,则称为对模的阶。
在取定某数后,按照同余关系把彼此同余的整数归为一类,这些数称为模的剩余类。
一个类的任何一个数,都称为该类所有数的剩余。
显然,同类的余数相同,不同类的余数不相同,这样我们就把全体整数按照模划分为了个剩余类:
。
在上述的个剩余类,每一类任意取一个剩余,可以得到个数,称为模的一个完全剩余系。
例如关系模7,下面的每一组数都是一个完全剩余系:
0,1,2,3,4,5,6;
-7,8,16,3,-10,40,20;
-3,-2,-1,0,1,2,3。
显然,一组整数成为模的完全剩余系只需要满足两个条件
（1）有个数;
（2）各数关于模两两不同余。
最常用的完全剩余系是最小非负完全剩余系及绝对值最小完全剩余系。
模的最小非负完全剩余系是:
0,1,2,………,;即除数为时,余数可能取到的数的全部值。
当为奇数时,绝对值最小的完全剩余系是:
;
当为偶数时,绝对值最小的完全剩余系有两个:
;
。
以上只是我们个人对同余及剩余类的理解,为了方便大家研究,我们把有关材料上的具体概念给出,希望大家好好地研究:
定义3.（同余类）设,每一个这样的类为模的同余类。
说明:
整数集合可以按模来分类,确切地说,若和模同余,则和属同一类,否则不属于同一类,每一个这样的类为模的一个同余类。
由带余除法,任一整数必恰与0,1,……,的一个模同余,而0,1,……,这个数彼此模不同余,因此模共有个不同的同余类,即。
例如,模2的同余类共有两个,即通常说的偶数类与奇数类,这两类的数分别具有形式和（为任意整数）。
定义4。
（剩余类）设是正整数,把全体整按对模的余数分成类,相应的个集合记为:
其,称为模的一个剩余类。
以下是几条常用性质:
（1）且;
（2）每一个整数仅在的一个里;
（3）对于任意,则的充要条件是。
定义5.（完全剩余系）一组数称为模的完全剩余系,如果对任意有且仅有一个是对模的剩余,即。
换一种说法更好理解:
设为模的全部剩余类,从每个任取一个,得个数组成的数组,叫做模的一个完全剩余系。
说明:
在个剩余类各任取一个数作为代表,这样的个数称为模的一个完全剩余系,简称模的完系。
换句话说,个数称为模的一个完系,是指它们彼此模不同余,例如0,1,2,……,是模的一个完系,这称作是模的最小非负完系。
性质:
（1）个整数构成模的一个完全剩余系两两对模不同余;
（2）若,则与同时跑遍模的完全剩余系。
第五节初等数论的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉（Euler）函数）一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的,且对于任意的,若=1,则有且仅有一个是对模的剩余,即。
并定义和互质的数的个数,称为欧拉（Euler）函数。
这是数论的非常重要的一个函数,显然,而对于,就是1,2,…,与互素的数的个数,比如说是素数,则有。
引理:
;可用容斥定理来证（证明略）。
定理1:
（欧拉（Euler）定理）设=1,则。
证明:
取模的一个既约剩余系,考虑,由于与互质,故仍与互质,且有,于是对每个都能找到唯一的一个,使得,这种对应关系是一一的,从而,。
,故。
证毕。
分析与解答:
要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到与互质的的个数:
由于=1,从而也是与互质的个数,且两两余数不一样,故（）,而（）=1,故。
这是数论证明题常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2:
（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数,若是的倍数,则。
若不是的倍数,则由引理及欧拉定理得,,由此即得。
定理推论:
设为质数,是与互质的任一整数,则。
定理3:
（威尔逊（Wilson）定理）设为质数,则。
分析与解答:
受欧拉定理的影响,我们也找个数,然后来对应乘法。
证明:
对于,在,必然有一个数除以余1,这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对,使得;
若,,则,,故对于,有。
即对于不同的对应于不同的,即数可两两配对,其积除以余1,然后有,使,即与它自己配对,这时,,或,或。
除外,别的数可两两配对,积除以余1。
故。
定义:
设为整系数多项式（）,我们把含有的一组同余式（）称为同余方组程。
特别地,,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足:
则剩余类（其）称为同余方程组的一个解,写作
定理4:
（国剩余定理）设是两两互素的正整数,那么对于任意整数,一次同余方程组,必有解,且解可以写为:
这里,,以及满足,（即为对模的逆）。
国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解,而对于解的形式并不重要。
定理5:
（拉格郎日定理）设是质数,是非负整数,多项式是一个模为次的整系数多项式（即）,则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6:
若为对模的阶,为某一正整数,满足,则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法,经常在解决数论问题起着突破难点的作用。
另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题起着排除情况、辅助分析等作用,有时也会起到意想不到的作用,如:
。
这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例:
例3.求证:
对于任意整数,是一个整数。
证明:
令,则只需证是15的倍数即可。
由3,5是素数及Fetmat小定理得,,则
;
而（3,5）=1,故,即是15的倍数。
所以是整数。
例4.求证:
（为任意整数）。
证明:
令,则;
所以含有因式
由Fetmat小定理,知13|7|
又13,7,5,3,2两两互素,所以2730=能整除。
例5.设是直角三角形的三边长。
如果是整数,求证:
可以被30整除。
证明:
不妨设是直角三角形的斜边长,则。
若2,2,2c,则,又因为矛盾!
所以2|.
若3,3,3c,因为,则,又,矛盾!
从而3|.
若5,5,5c,因为,,
所以或0（mod5）与矛盾!
从而5|.
又（2,3,5）=1,所以30|.
下面讲述国剩余定理的应用
例6.证明:
对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其每一个都有大于1的平方因子。
证明:
由于素数有无穷多个,故我们可以取个互不相同的素数,而考虑同余组①
因为显然是两两互素的,故由国剩余定理知,上述同余组有正整数解。
于是,连续个数分别被平方数整除。
注:
（1）本题的解法体现了国剩余定理的一个基本功效,它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”,而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数,也以采用下面的变异方法:
由费尔马数两两互素,故将①的转化为后,相应的同余式也有解,同样可以导出证明。
例7.证明:
对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其每一个都不是幂数。
分析:
我们来证明,存在连续个正整数,其每一个数都至少有一个素因子,在这个数的标准分解仅出现一次,从而这个数不是幂数。
证明:
取个互不相同的素数,考虑同余组
因为显然
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