数的整除知识点.docx

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数的整除知识点

数整除知识点

数整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。

数整除

1.整除——因数和倍数

例如：

15÷3=5，63÷7=9

普通地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），咱们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a因数。

例如：

在上面算式中，15是3倍数，3是15因数；63是7倍数，7是63因数。

2.数整除性质

性质1：

如果a、b都能被c整除，那么它们和与差也能被c整除。

即：

如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：

如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

并且2｜（10—6）。

性质2：

如果b与c积能整除a，那么b与c都能整除a.即：

如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：

如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c积能整除a。

即：

如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：

如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

那么（2×7）｜28。

性质4：

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：

如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：

如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数整除特性

①能被2整除数特性：

个位数字是0、2、4、6、8整数.“特性”包括两方面意义：

一方面，个位数字是偶数（涉及0）整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除数，其个位数字只能是偶数（涉及0）.下面“特性”含义相似。

②能被5整除数特性：

个位是0或5。

③能被3（或9）整除数特性：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除数特性：

末两位数能被4（或25）整除。

例如：

1864=1800＋64，由于100是4与25倍数，因此1800是4与25倍数.又由于4｜64，因此1864能被4整除.但由于2564，因此1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除数特性：

末三位数能被8（或125）整除。

例如：

29375＝29000＋375，由于1000是8与125倍数，因此29000是8与125倍数.又由于125｜375，因此29375能被125整除.但由于8375，因此829375。

⑥能被11整除数特性：

这个整数奇数位上数字之和与偶数位上数字之和差（大减小）是11倍数。

例如：

判断这九位数能否被11整除？

解：

这个数奇数位上数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上数字之和是8＋6＋4＋2＝20.由于25—20＝5，又由于115，因此。

再例如：

判断13574与否是11倍数？

解：

这个数奇数位上数字之和与偶数位上数字和差是：

（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.由于0是任何整数倍数，因此11｜0.因而13574是11倍数。

⑦能被7（11或13）整除数特性：

一种整数末三位数与末三位此前数字所构成数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：

判断1059282与否是7倍数？

解：

把1059282分为1059和282两个数.由于1059-282＝777，又7｜777，因此7｜1059282.因而1059282是7倍数。

再例如：

判断3546725能否被13整除？

解：

把3546725分为3546和725两个数.由于3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，由于821—2＝819，又13｜819，因此13｜2821，进而13｜3546725.

质数和合数

1.质数与合数

一种数除了1和它自身，不再有别因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一种数除了1和它自身，尚有别因数，这个数叫做合数。

要特别记住：

1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

如果一种质数是某个数因数，那么就说这个质数是这个数质因数。

把一种合数用质因数相乘形式表达出来，叫做分解质因数。

例：

把30分解质因数。

解：

30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12质因数。

例1三个持续自然数乘积是210，求这三个数.

　　解：

∵210=2×3×5×7

　　∴可知这三个数是5、6和7。

例2两个质数和是40，求这两个质数乘积最大值是多少？

　　解：

把40表达为两个质数和，共有三种形式：

　　40=17+23=11＋29=3+37。

　　∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

　　∴所求最大值是391。

　　答：

这两个质数最大乘积是391。

例3自然数是质数，还是合数？

为什么？

　　解：

是合数。

　　由于它除了有约数1和它自身外，至少尚有约数3，因此它是一种合数。

例4持续九个自然数中至多有几种质数？

为什么？

　　解：

如果这持续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：

1～9中有4个质数2、3、5、7）。

　　如果这持续九个自然中最小不不大于3，那么其中偶数显然为合数，而其中奇数个数最多有5个.这5个奇数中必只有一种个位数是5，因而5是这个奇数一种因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

　　综上所述，持续九个自然数中至多有4个质数。

例5把5、6、7、14、15这五个数提成两组，使每组数乘积相等。

　　解：

∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，

　　这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，

因此如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必要放在第二组。

　　这样14×15=210=5×6×7。

　　这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6有三个自然数，最大比最小大6，另一种是它们平均数，且三数乘积是42560.求这三个自然数。

分析先大概预计一下，30×30×30=27000，远不大于42560.40×40×40＝64000，远不不大于42560.因而，规定三个自然数在30～40之间。

　　解：

42560=26×5×7×19

　　＝25×（5×7）×（19×2）

　　＝32×35×38（合题意）

　　规定三个自然数分别是32、35和38。

例7有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

　　a×c＝10.求a×b×c是多少？

　　解：

∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

　　（a×b）×（b×c）×（a×c）

　　=（2×3）×（3×5）×（2×5）

　　∴a2×b2×c2=22×32×52

　　∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2

　　a×b×c=2×3×5＝30

在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样数，推及普通状况，咱们把一种自然数平方所得到数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.

下面让咱们观测一下，把一种完全平方数分解质因数后，各质因数指数有什么特性。

例如：

把下列各完全平方数分解质因数：

　　9，36，144，1600，275625。

　　解：

9=3236=22×32144=32×24

　　1600=26×52275625=32×54×72

可见，一种完全平方数分解质因数后，各质因数指数均是偶数。

反之，如果把一种自然数分解质因数之后，各个质因数指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。

例8一种整数a与1080乘积是一种完全平方数.求a最小值与这个平方数。

分析∵a与1080乘积是一种完全平方数，

　　∴乘积分解质因数后，各质因数指数一定全是偶数。

　　解：

∵1080×a=23×33×5×a，

　　又∵1080=23×33×5质因数分解中各质因数指数都是奇数，

　　∴a必含质因数2、3、5，因而a最小为2×3×5。

　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

　　答：

a最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9问360共有多少个约数？

分析360=23×32×5。

　　为了求360有多少个约数，咱们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5所有约数。

　　解：

记5约数个数为Y1，

　　32×5约数个数为Y2，

　　360（=23×32×5）约数个数为Y3.由上面分析可知：

　　Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

　　显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。

　　因而Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

　　因此360共有24个约数。

　　阐明：

Y3=4×Y2中“4”即为“1、2、22、23”中数个数，也就是其中2最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2个数加1；Y2=3×Y1中“3”即为“1、3、32”中数个数，也就是23×32×5中质因数3个数加1；而Y1=2中“2”即为“1、5”中数个数，即23×32×5中质因数5个数加1.因而

　　Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

对于任何一种合数，用类似于对23×32×5（=360）约数个数讨论方式，咱们可以得到一种关于求一种合数约数个数重要结论：

一种合数约数个数，等于它质因数分解式中每个质因数个数（即指数）加1连乘积。

例10求240约数个数。

　　解：

∵240＝24×3×5，

　　∴240约数个数是

　　（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

请你列举一下240所有约数，再数一数，看一看与否是20个？

公因数和最大公因数

1.公因数和最大公因数

几种数公有因数，叫做这几种数公因数；其中最大一种，叫做这几种数最大公因数。

例如：

12因数有：

1，2，3，4，6，12；

　18因数有：

1，2，3，6，9，18。

　12和18公数因有：

1，2，3，6.其中6是12和18最大公约数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数

几种数公有倍数，叫做这几种数公倍数；其中最小一种，叫做这几种数最小公倍数。

例如：

12倍数有：

12，24，36，48，60，72，84，…

18倍数有：

18，36，54，72，90，…

　12和18公倍数有：

36，72，….其中36是12和18最小公倍数，记作[12，18]=36。

3.互质数

如果两个数只有公因数1，那么这两个数互为互质数。

奇数和偶数

1.奇数和偶数

整数可以提成奇数和偶数两大类.能被2整除数叫做偶数，不能被2整除数叫做奇数。

偶数普通可以用2k（k为整数）表达，奇数则可以用2k+1（k为整数）表达。

特别注意，由于0能被2整除，因此0是偶数。

2.奇数与偶数运算性质

性质1：

偶数±偶数=偶数，

　　奇数±奇数=偶数。

性质2：

偶数±奇数=奇数。

性质3：

偶数个奇数相加得偶数。

性质4：

奇数个奇数相加得奇数。

性质5：

偶数×奇数=偶数，

　　奇数×奇数=奇数。