浙江共享新学年高中物理 第五章 曲线运动 6 向心力学案 新人教版必修2下载.docx

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6　向心力

学习目标

1.了解向心力的概念，会分析向心力的来源，知道向心力是根据力的作用效果命名的．

2．掌握向心力的表达式，并会分析计算实际情景中的向心力．

3．知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果.

考试要求

学考

选考

d

d

一、向心力

1．定义：

做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力．

2．方向：

始终沿着半径指向圆心．

3．表达式：

（1）Fn＝m

.

（2）Fn＝mω2r.

4．向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．

二、变速圆周运动和一般的曲线运动

1．变速圆周运动的合力：

变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示．

图1

（1）跟圆周相切的分力Ft：

产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢．

（2）指向圆心的分力Fn：

产生向心加速度，此加速度描述线速度方向改变的快慢．

2．一般的曲线运动的处理方法：

（1）一般的曲线运动：

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．

（2）处理方法：

可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆孤．

研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理．

1．判断下列说法的正误．

（1）做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力．（×）

（2）向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的．（×）

（3）向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．（√）

（4）变速圆周运动的向心力并不指向圆心．（×）

（5）匀速圆周运动的合力就是向心力．（√）

（6）做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变．（√）

2.（多选）如图2所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉（系一绳套）做匀速圆周运动，关于小球所受的力，下列说法正确的是（　　）

图2

A．重力、支持力、绳子拉力

B．重力、支持力、绳子拉力和向心力

C．重力、支持力、向心力

D．绳子拉力充当向心力

答案　AD

【考点】对向心力的理解

【题点】对向心力的理解

一、向心力的概念和来源

1．如图所示，用细绳拉着小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，若小球的线速度为v，运动半径为r，是什么力产生的向心加速度？

该力的大小、方向如何？

小球运动的速度v增大，绳的拉力大小如何变化？

答案　产生向心加速度的力是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的合力，合力等于绳的拉力，大小为F＝man＝m

，方向指向圆心．v增大，绳的拉力增大．

2．若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r，是什么力产生的加速度？

该力的大小、方向如何？

答案　向心加速度an＝ω2r，是地球对月球的引力产生的加速度，引力的大小为F＝man＝mω2r，方向指向地心．

对向心力的理解

（1）向心力：

使物体做匀速圆周运动的指向圆心的合力．

（2）向心力大小：

Fn＝man＝m

＝mω2r＝m

2r.

（3）向心力的方向

无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．

（4）向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．

（5）向心力的来源

向心力是根据力的作用效果命名的．它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供．

①当物体做匀速圆周运动时，由于物体沿切线方向的加速度为零，即切线方向的合力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力产生向心加速度．

②当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小．

例1

　（多选）下列关于向心力的说法中正确的是（　　）

A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力

B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小

C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力

D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力

答案　BC

解析　当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．匀速圆周运动所受合外力指向圆心，完全提供向心力．非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力．

【考点】对向心力的理解

【题点】对向心力的理解

二、向心力来源分析

分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供．

（1）地球绕太阳做圆周运动（如图甲）．

（2）圆盘上物块随圆盘一起匀速转动（如图乙）．

（3）在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动（如图丙）．

（4）小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时（如图丁）．

答案　

（1）太阳对地球的引力．

（2）物块受到的静摩擦力（也可以说是物块所受重力、支持力、静摩擦力的合力）．

（3）漏斗对小球的支持力和小球所受重力的合力．

（4）细线对小球的拉力和小球所受重力的合力．

1．向心力是按力的作用效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是合力或分力．应明确各种情况下向心力的来源.

运动模型

汽车在水平路面转弯

水平转台

竖直圆筒内壁

向心力的

来源图示

运动模型

圆锥摆

飞车走壁

飞机在水平面内做圆周运动

向心力的

来源图示

2.在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力，合外力的方向一定指向圆心．

3．变速圆周运动：

（1）变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果．即

（2）某一点的向心加速度和向心力仍可用an＝

＝ω2r，Fn＝m

＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度．

例2

　（2018·余姚市高一第二学期期中考试）如图3所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，下列关于A的受力情况说法正确的是（　　）

图3

A．受重力、支持力

B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力

C．受重力、支持力、与运动方向相反的摩擦力和向心力

D．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力

答案　B

解析　物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力的方向在竖直方向上，所以合外力等于摩擦力，方向指向圆心，提供物块做匀速圆周运动的向心力，B项正确．

针对训练1　如图4所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　）

图4

A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c

B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a

D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b

答案　A

解析　转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，D项错误．

三、圆周运动的动力学问题

例3

　（2018·东阳中学期中考试）

如图5所示，飞机做特技表演时，常做俯冲拉起运动，此运动在最低点附近可看做是半径为500m的圆周运动．若飞行员的质量为65kg，飞机经过最低点时速度为360km/h，则这时飞行员对座椅的压力为（取g＝10m/s2）（　　）

图5

A．650NB．1300N

C．1800ND．1950N

答案　D

解析　在最低点分析飞行员的受力情况如图所示，

由牛顿第二定律结合向心力公式得：

FN－mg＝

可得FN＝mg＋m

，其中v＝100m/s

代入可得FN＝1950N，再由牛顿第三定律可得，D正确．

分析圆周运动的动力学问题的关键是受力分析，找出沿圆周半径方向的力，然后利用牛顿第二定律列式求解．

针对训练2　如图6所示，某公园里的过山车驶过离心轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为（　　）

图6

A．0B.

C.

D.

答案　C

解析　如图所示，在最高点人受重力和座椅向下的压力，两个力的合力提供向心力，由FN＋mg＝m

得：

v＝

.

1．（对向心力的理解）下面关于向心力的叙述中，错误的是（　　）

A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力

B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力

D．向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小

答案　B

解析　向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力．向心力时刻指向圆心，与速度垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，A、C、D正确，B错误．

2．（向心力来源分析）如图7所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随圆筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供（　　）

图7

A．重力

B．弹力

C．静摩擦力

D．滑动摩擦力

答案　B

3．（向心力公式的应用）上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8000m，如图8所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300m，一个质量为50kg的乘客坐在以360km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2500m的弯道，下列说法正确的是（　　）

图8

A．乘客受到的向心力大小约为200N

B．乘客受到的向心力大小约为539N

C．乘客受到的向心力大小约为300N

D．弯道半径越大，乘客需要的向心力越大

答案　A

解析　由Fn＝m

，可得Fn＝200N，选项A正确．设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，D错误．

4．（圆周运动的动力学问题）如图9所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点（B点在O点正下方）时的速度为v，已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，物体在B点所受的摩擦力的大小为（　　）

图9

A．μmgB．μm

C．μm

D．μm

答案　C

解析　在B点物体的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力mg的合力提供物体做圆周运动的向心力；由牛顿第二定律有FN－mg＝

，可求得FN＝mg＋

，则滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μm

.

5.（圆周运动的动力学问题）如图10所示，质量为1kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2m/s，已知球心到悬点的距离为1m，重力加速度g＝10m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．

图10

答案　14N

解析　小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供（如图所示），

即FT－mg＝

所以FT＝mg＋

＝（1×10＋

）N＝14N

由牛顿第三定律知，小球在最低点时对绳的拉力大小为14N.

一、选择题

考点一　对向心力的理解及向心力来源分析

1．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是（　　）

A．做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小

C．向心力一定是物体所受的合外力

D．向心力和向心加速度的方向都是不变的

答案　B

解析　做匀速圆周运动的物体向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误．

【考点】对向心力的理解

【题点】对向心力的理解

2.如图1，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动（俯视为逆时针）．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示（俯视图）中，正确的是（　　）

图1

答案　C

解析　橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.

【考点】变速圆周运动问题

【题点】变速圆周运动问题

3.洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附着在筒壁上，如图2所示，则此时（　　）

A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用

B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的

C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小

D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大

图2

答案　A

解析　衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力三个力的作用，其中筒壁的弹力提供其做圆周运动的向心力，A正确，B错误；由于重力与静摩擦力保持平衡，所以摩擦力不随转速的变化而变化，C、D错误．

【考点】对向心力的理解

【题点】对向心力的理解

4.（多选）如图3所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是（　　）

图3

A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力

B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力

C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力

D．向心力的大小等于Mgtanθ

答案　BCD

【考点】向心力来源的分析

【题点】圆锥摆运动的向心力来源分析

考点二　向心力公式的应用

5.（2018·杭西高高一4月测试）如图4所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15m，内车道最里边缘间最远距离为150m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车（　　）

图4

A．所受的合力可能为零

B．只受重力和地面的支持力作用

C．最大速度不能超过25m/s

D．所需的向心力由重力和支持力的合力提供

答案　C

解析　汽车做圆周运动，是变速运动，合力不为零，A项错误．汽车受到重力、支持力和指向圆心的静摩擦力作用，静摩擦力提供向心力，B、D错误．由μmg＝m

得，最大速度vm＝

，其中rm＝15m＋

m＝90m，

代入得：

vm＝

m/s≈25m/s，C正确．

6.（2017·温州中学11月模拟考试）在中国南昌有我国第一高摩天轮——南昌之星，总建设高度为160米，横跨直径为153米，如图5所示．它一共悬挂有60个太空舱，每个太空舱上都配备了先进的电子设备，旋转一周的时间是30分钟，可同时容纳400人左右进行同时游览．若该摩天轮做匀速圆周运动，则乘客（　　）

图5

A．速度始终恒定

B．加速度始终恒定

C．乘客对座椅的压力始终不变

D．乘客受到的合力不断改变

答案　D

7.如图6所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8m的细线悬于以v＝4m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时细线中张力之比FA∶FB为（g＝10m/s2）（　　）

图6

A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶4

答案　C

解析　小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FB＝m

＋mg＝30m；A球做水平方向减速运动，FA＝mg＝10m，故此时细线中张力之比为FA∶FB＝1∶3，C选项正确．

8．如图7甲所示，在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化成如图乙所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离为L＝80m，铁索的最低点离A、B连线的垂直距离为H＝8m，若把铁索看做是圆弧，已知一质量m＝52kg的人借助滑轮（滑轮质量不计）滑到最低点时的速度为10m/s，g取10m/s2，那么（　　）

图7

A．人在整个铁索上的运动可看成是匀速圆周运动

B．可求得铁索的圆弧半径为100m

C．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为570N

D．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为50N

答案　C

解析　人借助滑轮下滑过程中，其速度是逐渐增大的，因此人在整个铁索上的运动不能看成匀速圆周运动；设圆弧的半径为r，由几何关系，有：

（r－H）2＋（

）2＝r2，解得r＝104m；人在滑到最低点时，根据牛顿第二定律得：

FN－mg＝m

，解得FN＝570N，由牛顿第三定律可知，滑轮对铁索的压力FN′＝FN＝570N，选项C正确．

考点三　圆周运动的临界问题

9．（多选）如图8所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是（　　）

图8

A．若三个物体均未滑动，则C物体的向心加速度最大

B．若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大

C．若转速增加，则A物体比B物体先滑动

D．若转速增加，则C物体最先滑动

答案　AD

解析　三物体都未滑动时，角速度相同，设角速度为ω，根据向心加速度公式an＝ω2r，知C的向心加速度最大，选项A正确；三个物体受到的静摩擦力分别为：

FfA＝（2m）ω2R，FfB＝mω2R，FfC＝mω2（2R），所以物体B受到的摩擦力最小，选项B错误；增加转速，可知C最先达到最大静摩擦力，所以C最先滑动，A、B的临界角速度相等，可知A、B一起滑动，选项C错误，D正确．

【考点】水平面内的圆周运动的动力学分析

【题点】水平面内的圆周运动的动力学分析

10.如图9所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（　　）

图9

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　对物块受力分析知Ff＝mg，Fn＝FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为

，D选项正确．

11.如图10所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）

图10

A．b一定比a先开始滑动

B．a、b所受的摩擦力始终相等

C．ω＝

是a开始滑动的临界角速度

D．当ω＝

时，a所受摩擦力的大小为kmg

答案　A

解析　a、b所受的最大静摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；a处于临界状态时，kmg＝mω2l，ω＝

，C项错误；当ω＝

时，对a：

Ff＝mlω2＝ml

＝

kmg，D项错误．

二、非选择题

12.（向心力公式的应用）（2018·金华、温州、台州部分学校联考）如图11所示，质量为25kg的小孩静止坐在秋千板上时，小孩离拴绳子的横梁2.5m．如果秋千板摆到最低点时，速度为3m/s，问此时小孩对秋千板的压力是多大？

（g＝10m/s2）

图11

答案　340N

解析　在最低点对小孩受力分析，由牛顿第二定律得：

FN－mg＝m

代入数据解得：

FN＝340N

由牛顿第三定律知小孩对秋千板的压力大小为340N.

13.（圆周运动的临界问题）如图12所示，水平转盘上放有一质量为m的物体（可视为质点），连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，重力加速度为g，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图12

（1）绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度；

（2）当角速度为

时，绳子对物体拉力的大小．

答案　

（1）

（2）

μmg

解析　

（1）当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω

r，得ω0＝

.

（2）当ω＝

时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r

即F＋μmg＝m·

·r，

得F＝

μmg.