微积分综合练习题及参考答案.docx

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微积分综合练习题及参考答案

综合练习题1（函数、极限与连续部分）

1．填空题

（1）函数的定义域是　　　　　　　　．答案：

且.

（2）函数的定义域是　　　　　．答案：

（3）函数，则．答案：

（4）若函数在处连续，则　　．答案：

（5）函数，则　　．答案：

（6）函数的间断点是　　　　　　．答案：

（7）　　　　　．答案：

1

（8）若，则　　　　　．答案：

2．单项选择题

（1）设函数，则该函数是（　）．

　A．奇函数　B．偶函数　　C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

答案：

B

（2）下列函数中为奇函数是（）．

A．B．C．D．

答案：

C

（3）函数的定义域为（）．

A．B．C．且D．且

答案：

D

（4）设，则（）

A．　　B．　

C．　　　D．

答案：

C

（5）当（）时，函数在处连续.

A．0　　　B．1C．　　　D．

答案：

D

（6）当（）时，函数，在处连续.

A．0　　　B．1C．　　　D．

答案：

B

（7）函数的间断点是（）

A．B．

C．D．无间断点

答案：

A

3．计算题

（1）．

解：

（2）

解：

（3）

解：

综合练习题2（导数与微分部分）

1．填空题

（1）曲线在点的切斜率是　　　　　　　　．

答案：

（2）曲线在点的切线方程是　　　　　　　　．

答案：

（3）已知，则=　　　　　　　　．

答案：

=27（

（4）已知，则=　　　　　　　　．

答案：

，=

（5）若，则．

答案：

2.单项选择题

（1）若，则=（　）．

A.2　B.1　C.-1　　D.-2

因

所以

答案：

C

（2）设，则（　）．

A．B．C．D．

答案：

B

（3）设是可微函数，则（）．

A．B．

C．D．

答案：

D

（4）若，其中是常数，则（）．

A．B．C．D．

答案：

C

3．计算题

（1）设，求．

解：

（2）设，求.

解：

（3）设，求.

解：

（4）设，求.

解：

综合练习题3（导数应用部分）

1．填空题

（1）函数的单调增加区间是　　　　．

答案：

（2）函数在区间内单调增加，则应满足．

答案：

2．单项选择题

（1）函数在区间是（）　

A．单调增加　　B．单调减少

C．先增后减　D．先减后增

答案：

D

（2）满足方程的点一定是函数的（）.

A．极值点　　B．最值点C．驻点　D．间断点

答案：

C

（3）下列结论中（）不正确．

A．在处连续，则一定在处可微.

B．在处不连续，则一定在处不可导.

C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D．函数的极值点一定发生在不可导点上.

答案：

B

（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．

A．B．C．D．

答案：

B

3．应用题（以几何应用为主）

（1）欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：

设底边的边长为m，高为m，容器的表面积为m2。

怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。

由已知

所以

令，解得唯一驻点。

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以是函数的极小值点也是最小值点。

故当m，m时用料最省.

（2）用钢板焊接一个容积为4底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/m2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？

最低总费用是多少？

解：

设水箱的底边长为m，高为m，表面积为m2，且有

所以

令，得.

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当m,m时水箱的表面积最小.

此时的费用为（元）

（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：

设底边的边长为m，高为m，所用材料（容器的表面积）为m2。

由已知

所以

令，解得唯一驻点。

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以是函数的极小值点也是最小值点。

故当m，m时用料最省.

请结合作业和复习指导中的题目进行复习。

综合练习题4（一元函数积分部分）

1．填空题

（1）若的一个原函数为，则.

答案：

（2）若，则　　　　　．

答案：

（3）若

答案：

（4）．

答案：

（5）．

答案：

（6）若，则　　　　　．

答案：

（7）若，则　　　　　．

答案：

（8）

答案：

（9）　　　　　　.

答案：

0

（10）=　　　　．

答案：

2．单项选择题

（1）下列等式成立的是（　）．

A．　　　　　　B．

C．　　　D．

答案：

C

（2）以下等式成立的是（）

A．B．

C．D．

答案：

D

（3）（）

A.B.

C.D.

答案：

A

（4）下列定积分中积分值为0的是（）．

A．B．

C．D．

答案：

A

（5）设是连续的奇函数，则定积分（）　

A．0　　B．C．　D．

答案：

A

（6）下列无穷积分收敛的是（　）．

　　A．　　　　　　B．

　　C．　　　　　　　D．

答案：

D

3．计算题

（1）

解：

（2）

解：

（3）

（4）

解：

=

（5）

解：

（6）

解：

（7）

解：

综合练习题5（积分应用部分）

1．填空题

（1）已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是.答案：

（2）由定积分的几何意义知，=.答案：

（3）微分方程的特解为.答案：

（4）微分方程的通解为.答案：

（5）微分方程的阶数为．答案：

4

2.单项选择题

（1）在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）．

A．y=x2+3B．y=x2+4

C．D．

答案：

A

（2）下列微分方程中，（）是线性微分方程．

A．B．

C．D．

答案：

D

（3）微分方程的通解为（）．

A．B．C．D．

答案：

C

（4）下列微分方程中为可分离变量方程的是（　）

A.；　　B.；

C.；D.

答案：

B

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