苏教版高数选修2第3讲椭圆的标准方程与性质教师版 方庄董珍珍.docx

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苏教版高数选修2第3讲椭圆的标准方程与性质教师版方庄董珍珍

椭圆的标准方程与性质

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1　了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

1．椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

（1）若a＞c，则集合P为椭圆；

（2）若a＝c，则集合P为线段；

（3）若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

＋＝1

（a>b>0）

＋＝1

（a>b>0）

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：

坐标轴；对称中心：

原点

顶点

A1（－a，0），A2（a，0）

B1（0，－b），B2（0，b）

A1（0，－a），A2（0，a）

B1（－b，0），B2（b，0）

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝∈（0，1）

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

类型一　椭圆的定义及其应用

例1：

如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　　）

A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆

【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹

【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线.,（定值）,又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的

练习１：

已知F1，F2是椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且

1⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．

【解析】由题意的面积∴故答案为：

【答案】3

练习2：

已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（　　）

A．6B．5C．4D．3

【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.

【答案】A

类型二　求椭圆的标准方程

例2：

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．

【解析】设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），

由e＝，知＝，故＝.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.

∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.

【答案】＋＝1

练习1：

设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0

【解析】x2+3y2/2=1

【答案】x2+3y2/2=1

类型三　椭圆的几何性质

例3：

如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

【解析】直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，

得T（，），

则M（，）在椭圆＋＝1（a>b>0）上，

∴，

c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.

【答案】2－5

练习1：

已知A、B是椭圆＋＝1（a＞b＞0）和双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足＋＝λ（＋），其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．

【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．

【答案】∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），

∵，其中λ∈R，

∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又

∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===-5．故答案为-5．

类型四　直线与椭圆的位置关系

例4：

（2014·四川卷）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（－2，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

【解析】

（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；

（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。

【答案】

（1）由已知可得，，，所以。

又由，解得，所以椭圆的标准方程是。

（2）设点的坐标为，则直线的斜率。

当时，直线的斜率，直线的方程是。

当时，直线的方程是，也符合的形式。

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。

消去，得。

其判别式，

所以，，。

因为四边形是平行四边形，所以，即。

所以，解得。

此时，四边形的面积。

练习1：

（2014·陕西卷）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：

y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．

【解析】

（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。

（2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。

【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。

（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。

所以。

设，，由得。

由求根公式可得，。

所以，

由得，解得，满足。

所以直线的方程为或。

类型五　圆锥曲线上点的对称问题

例5：

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？

若存在，请找出；若不存在，说明理由

【解析】

（1）由定义法代入即可得答案。

（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。

【答案】

（1）设椭圆E的方程为+=1,

由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.

∴椭圆方程具有形式+=1.

将A（2,3）代入上式,得+=1,解得c=2,

∴椭圆E的方程为+=1.

（2）解法一:

假设存在这样的两个不同的点B（x1,y1）和C（x2,y2）,

∵BC⊥l,∴kBC==-.

设BC的中点为M（x0,y0）,则x0=,y0=,

由于M在l上,故2x0-y0-1=0.①

又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.

两式相减,得+=0,

即+=0.

将该式写为·+··=0,并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,

得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.②

①×2-②得x0=2,y0=3,即BC的中点为点A,而这是不可能的.

∴不存在满足题设条件的点B和C.

解法二:

假设存在B（x1,y1）,C（x2,y2）两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴kBC=-.

设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1,得一元二次方程3x2+4=48,

即x2-mx+m2-12=0.

则x1与x2是该方程的两个根.

由韦达定理得x1+x2=m,

于是y1+y2=-（x1+x2）+2m=,

∴B,C的中点坐标为.

又线段BC的中点在直线y=2x-1上,

∴=m-1,得m=4.

即B,C的中点坐标为（2,3）,与点A重合,矛盾.

∴不存在满足题设条件的相异两点.

练习1：

（2014·湖南）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a0）经过C，F两点，则＝________.

【解析】由题可得C（）,F（）,因为C,F在抛物线上,代入抛物线可得,故填。

【答案】

1.（2015年高考福建卷）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．B．C．D．

【答案】A

2.已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为________．

【答案】＋＝1

3.椭圆T：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝（x＋c）与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

【答案】－1

4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为__________

【答案】-2

5.（2014·包头测试与评估）已知椭圆＋＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则·的取值范围是________．

【答案】[0,12]

6.已知椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：

x2＋（y－3）2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．

（1）求椭圆C1的离心率；

（2）若·的最大值为49，求椭圆C1的方程．

【答案】

（1）由题意可知直线l的方程为bx＋cy－（3－）c＝0，因为直线l与圆C2：

x2＋（y－3）2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝.

（2）设P（x，y），圆C2的圆心记为C2，则＋＝1（c>0），又·＝（＋）·（＋）＝－＝x2＋（y－3）2－1＝－（y＋3）2＋2c2＋17（－c≤y≤c）．

①当c≥3时，（·）max＝17＋2c2＝49，

解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1；

②当03，故舍去．

综上所述，椭圆C1的方程为＋＝1.

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