新课标A版高中数学选修23课时作业23 含答案 精品.docx

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课时作业（二十三）

1．已知随机变量X的分布列是

X

1

2

3

P

0.4

0.2

0.4

则E（X）和D（X）分别等于（　　）

A．1和0　　　　　　　　B．1和1.8

C．2和2D．2和0.8

答案　D

2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩

环数

7

8

9

10

频数

5

5

5

5

乙的成绩

环数

7

8

9

10

频数

6

4

4

6

丙的成绩

环数

7

8

9

10

频数

4

6

6

4

s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）

A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3

C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1

答案　B

3．已知随机变量X～B（100,0.2），那么D（4x＋3）的值为（　　）

A．64B．256

C．259D．320

答案　B

解析　由X～B（100,0.2）知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D（X）＝np（1－p）＝100×0.2×0.8＝16，因此D（4X＋3）＝42D（X）＝16×16＝256.

4．（2015·九江六校期末联考）袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次摸取一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为X，则X的方差D（X）＝（　　）

A.

B.

C．1D．2

答案　C

解析　每次取球时，黄球被取出的概率为

，把4次取球看作4次独立重复试验，黄球出现的次数X～B（4，

），则D（X）＝4×

×

＝1.

5．随机变量X的分布列如下表：

X

－1

0

1

P

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，若E（X）＝

，则D（X）的值是（　　）

A.

B.

C.

D．1

答案　A

解析　因为a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，

所以b＝

，a＋c＝

.

又因为E（X）＝

，所以

＝－a＋c.

故a＝

，c＝

.

D（X）＝（－1－

）2×

＋（0－

）2×

＋（1－

）2×

＝

.

6．已知X的分布列为（　　）

X

－1

0

1

P

若η＝2X＋2，则D（η）的值为（　　）

A．－

B.

C.

D.

答案　D

解析　E（X）＝－1×

＋0×

＋1×

＝－

，D（X）＝（－1＋

）2×

＋（0＋

）2×

＋（1＋

）2×

＝

，

所以D（η）＝D（2X＋2）＝4D（X）＝

＝

.

7．若X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝

，P（X＝x2）＝

，且x1

，D（X）＝

，则x1＋x2的值为（　　）

A.

B.

C．3D.

答案　C

解析　因为E（X）＝

x1＋

x2＝

.

所以x2＝4－2x1.

D（X）＝（

－x1）2×

＋（

－x2）2×

＝

.

解得

（舍）或

∴x1＋x2＝3.

8．（2014·浙江）随机变量ξ的取值为0,1,2.若P（ξ＝0）＝

，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝________.

答案　

解析　设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．

设P（ξ＝1）＝a，P（ξ＝2）＝b，

则

解得

所以D（ξ）＝

＋

×0＋

×1＝

.

9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D（X）等于________．

答案　0.196

解析　由题意知，随机变量服从二项分布，所以D（X）＝np（1－p）＝10×0.02×（1－0.02）＝0.196.

10．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．

答案　

，5

解析　成功次数ξ～B（100，p），所以D（ξ）＝100p（1－p）≤100·（

）2＝25，

当且仅当p＝1－p.即p＝

时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.

11．（2015·宁波高二检测）已知随机变量X的分布列如表所示，若E（X）＝1.1，则D（X）＝________.

X

0

1

x

P

m

答案　0.49

解析　由

＋m＋

＝1可知m＝

.

又由E（X）＝m＋

x＝1.1可知x＝2.

所以D（X）＝（0－1.1）2×

＋（1－1.1）2×

＋（2－1.1）2×

＝0.49.

12．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）＝0.96.

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品的件数，求ξ的分布列及期望．

解析　

（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”，则A0、A1互斥，且A＝A0＋A1.故P（A）＝P（A0＋A1）＝P（A0）＋P（A1）＝（1－p）2＋C

p·（1－p）＝1－p2.

由题意，知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝0.2.

（2）ξ可能的取值为0,1,2.

若该批产品共100件，由

（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故

P（ξ＝0）＝

＝

，P（ξ＝1）＝

＝

，

P（ξ＝2）＝

＝

.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

所以ξ的期望E（ξ）＝0×

＋1×

＋2×

＝

＝

.

13．工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．

（1）求报废的合格品少于2件的概率；

（2）求ξ的分布列和数学期望．

解析　

（1）报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，

而P（ξ＝0）＝

＝

，P（ξ＝1）＝

＝

，

故P（ξ<2）＝P（ξ＝0）＋P（ξ＝1）＝

＋

＝

.

（2）依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4，

P（ξ＝2）＝

＝

，

P（ξ＝3）＝

＝

，

P（ξ＝4）＝

＝

，

由

（1）知P（ξ＝0）＝

，P（ξ＝1）＝

，

故ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

P

E（ξ）＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＋4×

＝

.

14．（2014·湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为

和

.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

思路　

（1）根据相互独立事件及对应事件的概率公式求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）根据企业获得的资金的数目及独立事件概率公式求出其相应的概率，列出分布列，利用期望公式求期望．

解析　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）＝

，P（

）＝

，P（F）＝

，P（

）＝

，且事件E与F，E与

，

与F，

与

都相互独立．

（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则

＝

，于是P（

）＝P（

）P（

）＝

×

＝

，

故所求的概率为P（H）＝1－P（

）＝1－

＝

.

（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0,100,120,220.

因为P（X＝0）＝P（

）＝

×

＝

，

P（X＝100）＝P（

F）＝

×

＝

，

P（X＝120）＝P（E

）＝

×

＝

，

P（X＝220）＝P（EF）＝

×

＝

.

故所求的分布列为

X

0

100

120

220

P

数学期望为E（X）＝0×

＋100×

＋120×

＋220×

＝

＝

＝140.

1．设10≤x1

，

，

，

，

的概率也均为0.2.若记D（ξ1），D（ξ2）分别为ξ1，ξ2的方差，则（　　）

A．D（ξ1）>D（ξ2）

B．D（ξ1）＝D（ξ2）

C．D（ξ1）

D．D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

答案　A

解析　先求出两个随机变量的方差，再比较大小．由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的平均数相同，记为

，则D（ξ1）＝

[（x1－

）2＋（x2－

）2＋…＋（x5－

）2]，D（ξ2）＝

[（

－

）2＋（

－

）2＋…＋（

－

）2]，

所以D（ξ1）－D（ξ2）＝

[（x1－x2）2＋（x2－x3）2＋…＋

（x5－x1）2]>0，即D（ξ1）>D（ξ2）．

2．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：

mm）对工期的影响如下表：

降水量X

X<300

300≤X<700

700≤X<900

X≥900

工期延

误天数Y

0

2

6

10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：

（1）工期延误天数Y的均值与方差；

（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

解析　

（1）由已知条件和概率的加法公式有：

P（X<300）＝0.3，P（300≤X<700）＝P（X<700）－P（X<300）＝0.7－0.3＝0.4，

P（700≤X<900）＝P（X<900）－P（X<700）＝0.9－0.7＝0.2，

P（X≥900）＝1－P（X<900）＝1－0.9＝0.1.

所以Y的分布列为：

Y

0

2

6

10

P

0.3

0.4

0.2

0.1

于是，E（Y）＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，

D（Y）＝（0－3）2×0.3＋（2－3）2×0.4＋（6－3）2×0.2＋（10－3）2×0.1＝9.8.

故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.

（2）由概率的加法公式，得P（X≥300）＝1－P（X<300）＝0.7.

又P（300≤X<900）＝P（X<900）－P（X<300）＝0.9－0.3＝0.6，

由条件概率，得P（Y≤6|X≥300）＝P（X<900|X≥300）＝

＝

＝

.

故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是

.

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符合“O”和“△”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O”和“△”之一，其中出现“O”的概率为p，出现“△”的概率为q，若第k次出现“O”，则记ak＝1；出现“△”，则记ak＝－1.令Sn＝a1＋a2＋…＋an.

（1）当p＝