江苏省常州市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案.docx

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江苏省常州市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案

2018届高三年级第一次模拟考试

（二）

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.若集合A＝{－2，0，1}，B＝{x|x2>1}，则集合A∩B＝________．

2.命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题．（选填“真”或“假”）

3.若复数z满足z·2i＝|z|2＋1（其中i为虚数单位），则|z|＝________．

4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为________．　

5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．

（第5题）　（第12题）

6.函数f（x）＝的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6），记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为________．　

7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．

8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．

9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：

x＋y＋1＝0与双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

10.已知实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．

11.已知函数f（x）＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f（x）相切，则k－b的值为________．

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________．

13.在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC内一点（含边界），若满足＝＋λ（λ∈R），则·的取值范围为________．

14.已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，bsinC＝ccosB＋c.

（1）求角B的大小；

（2）若b2＝ac，求＋的值．

16.（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，Q是棱PC上异于P，C的一点．

（1）求证：

BD⊥AC；

（2）过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF（点F在棱PB上），求证：

QF∥BC.

17.（本小题满分14分）

已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从点M发出，小明在地面上的影子记作AB′.

（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；

（2）若OA＝3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，∠OAA1＝，且AA1＝10米．t秒时，小明在地面上的影子长度记为f（t）（单位：

米），求f（t）的表达式与最小值．

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F，A是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于M，N两点（点M在第三象限），与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN，垂足为M，且·＝b2.

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若S△AMN＋S△POF＝a，求椭圆C的标准方程．

19.（本小题满分16分）

已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝a（其中a为常数），nSn＋1＝（n＋1）Sn＋n（n＋1）（n∈N*）．数列{bn}满足bn＝（n∈N*）．

（1）证明：

数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

（2）若无穷等比数列{cn}满足：

对任意的n∈N*，数列{bn}中总存在两个不同的项bs，bt（s，t∈N*），使得bs≤cn≤bt，求{cn}的公比q.

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝，其中a为常数．

（1）若a＝0，求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）在（0，－a）上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若a＝－1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：

f（x0）<－2.

2018届高三年级第一次模拟考试

（二）

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

在△ABC中，N是边AC上一点，且CN＝2AN，AB与△NBC的外接圆相切，求的值．

B.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A＝不存在逆矩阵，求：

（1）实数a的值；

（2）矩阵A的特征向量．

C.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的极坐标方程为ρsin＝，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a>0，b>0，求证：

≥.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：

若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；

若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；

若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．

（1）求P（ξ＝0）的值；

（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

23.（本小题满分10分）

记（x＋1）××…×（n≥2且n∈N）的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.

（1）求Sn；

（2）若＝an2＋bn＋c，对n＝2，3，4成立，求实数a，b，c的值；

（3）对

（2）中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：

对任意n≥2且n∈N*，＝an2＋bn＋c都成立．

2018届常州高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1.{－2}　2.真　3.1　4.2　5.7　6.　7.3　8.　9.（1，）　10.[2，8]　11.　

12.13.　14.

15.解析：

（1）由正弦定理得sinBsinC＝cosBsinC＋sinC，在△ABC中，因为sinC>0，所以sinB－cosB＝1，所以sin＝.因为0

（2）因为b2＝ac，

所以由正弦定理可得sin2B＝sinAsinC，

＋＝＋

＝

＝＝，

所以＋＝＝＝＝.

16.解析：

（1）因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.连结AC，交BD于点O.

由平行四边形对角线互相平分，得O为BD的中点，在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.

因为PC∩OP＝P，PC，OP⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC.

因为AC⊂平面PAC，

所以BD⊥AC.

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD∥BC.

因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD∥平面PBC.

因为AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF.

因为AD∥BC，所以QF∥BC.

17.解析：

（1）由题意得AB∥OM，则＝＝＝，OA＝3，所以OB′＝6，

小明在地面上的影子AB′扫过的图形是圆环，其面积为π×62－π×32＝27π（平方米）．

（2）经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B′0.

由

（1）知＝＝，即A0B′0＝OB0＝OA，

所以f（t）＝A0B′0＝OA0＝.　

因为OA＝3，AA1＝10，∠OAA0＝∠OAA1＝，

所以f（t）＝，0

18.解析：

（1）由题意得

消去y并整理得x2＋ax＋b2＝0，

解得x1＝－a，x2＝－，

所以xM＝－∈（－a，0），

·＝xM·xA＝·a＝b2，＝，

所以e＝.

（2）由

（1）得M，右准线方程为x＝b，

直线MN的方程为y＝x，

所以P，

S△POF＝OF·yP＝b·b＝2b2，S△AMN＝2S△AOM＝OA×|yM|＝2b×b＝b2，

所以2b2＋b2＝a，b2＝b，

所以b＝，a＝2，

椭圆C的标准方程为＋＝1.

19.解析：

（1）方法一：

因为nSn＋1＝（n＋1）Sn＋n（n＋1），①

所以（n＋1）Sn＋2＝（n＋2）Sn＋1＋（n＋1）（n＋2），②

由②－①得，（n＋1）Sn＋2－nSn＋1＝（n＋2）Sn＋1－（n＋1）Sn＋2（n＋1），

即（n＋1）Sn＋2＝（2n＋2）Sn＋1－（n＋1）Sn＋2（n＋1）．又n＋1>0，

则Sn＋2＝2Sn＋1－Sn＋2，即an＋2＝an＋1＋2.

在nSn＋1＝（n＋1）Sn＋n（n＋1）中令n＝1，得a1＋a2＝2a1＋2，即a2＝a1＋2.

综上，对任意n∈N*，都有an＋1－an＝2，

故数列{an}是以a为首项，2为公差的等差数列．

又a1＝a，所以an＝2n－2＋a.

方法二：

因为nSn＋1＝（n＋1）Sn＋n（n＋1），

所以＝＋1.

又S1＝a1＝a，所以数列是以a为首项，1为公差的等差数列，

因此＝n－1＋a，即Sn＝n2＋（a－1）n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2＋a.

又a1＝a也符合上式，

故an＝2n－2＋a（n∈N*），

故对任意n∈N*，都有an＋1－an＝2，即数列{an}是以a为首项，2为公差的等差数列．

（2）令en＝＝1＋，则数列{en}是递减数列，所以1

考察函数y＝x＋（x>1），因为y′＝1－＝>0，所以y＝x＋在（1，＋∞）上单调递增，

因此2

因为对任意的n∈N*，总存在数列{bn}中的两个不同项bs，bt，使得bs≤cn≤bt，所以对任意的n∈N*都有cn∈，明显q>0.

若q>1，当n≥1＋logq时，有cn＝c1qn－1>qn－1≥，不符合题意，舍去；

若0

故q＝1.

20.解析：

（1）当a＝0时，f（x）＝，定义域为（0，＋∞）．

f′（x）＝，令f′（x）＝0，得x＝.

x

（0，）

（，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

极大值

↘

所以当x＝时，f（x）的极大值为，无极小值．

（2）f′（x）＝，由题意得f′（x）≥0对x∈（0，－a）恒成立．

因为x∈（0，－a），所以（x＋a）3<0，

所以1＋－2lnx≤0对x∈（0，－a