动态规划状态转移方程.docx
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动态规划状态转移方程
-我们将人生划为诡异的阶段·我们把这个世界表为丰富的状态
1.资源问题1
-----机器分配问题
F[I,j]:
=max（f[i-1,k]+w[i,j-k]）
2.资源问题2
------01背包问题
F[I,j]:
=max（f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]）;
3.线性动态规划1
-----朴素最长非降子序列
F[i]:
=max{f[j]+1}
4.剖分问题1
-----石子合并
F[i,j]:
=min（f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]）;
5.剖分问题2
-----多边形剖分
F[I,j]:
=min（f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]）;
6.剖分问题3
------乘积最大
f[i,j]:
=max（f[k,j-1]*mult[k,i]）;
7.资源问题3
-----系统可靠性（完全背包）
F[i,j]:
=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}
8.贪心的动态规划1
-----快餐问题
F[i,j]表示前i条生产线生产j个汉堡,k个薯条所能生产的最多饮料,
则最多套餐ans:
=min{jdiva,kdivb,f[I,j,k]divc}
F[i,j,k]:
=max{f[i-1,j',k']+（T[i]-（j-j'）*p1-（k-k'）*p2）divp3}
时间复杂度O（10*100^4）
9.贪心的动态规划2
-----过河f[i]=min{{f（i-k）}（notstone[i]）
{f（i-k）}+1}（stone[i]）;+贪心压缩状态
10.剖分问题4
-----多边形-讨论的动态规划
F[i,j]:
=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];
负负g[I,k]*f[k+1,j];
正负g[I,k]*f[k+1,j];
负正f[I,k]*g[k+1,j];}g为min
11.树型动态规划1
-----加分二叉树（从两侧到根结点模型）
F[I,j]:
=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
12.树型动态规划2
-----选课（多叉树转二叉树,自顶向下模型）
F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
f[i,j]:
=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}
13.计数问题1
-----砝码称重
constw:
array[1..n]ofshortint=（1，2，3，5，10，20）；
//不同砝码的重量
vara:
array[1..n]ofinteger;
//不同砝码的个数
f[0]:
=1;总重量个数（Ans）
f[1]:
=0;第一种重量0;
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
（1<=i<=n;1<=j<=f[0];1<=k<=a[i];）
14.递推天地1
------核电站问题
f[-1]:
=1;f[0]:
=1;
f[i]:
=2*f[i-1]-f[i-1-m]
15.递推天地2
------数的划分
f[i,j]:
=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
16.最大子矩阵1
-----一最大01子矩阵
f[i,j]:
=min（f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1]）+1;
ans:
=maxvalue（f）;
17.判定性问题1
-----能否被4整除
g[1,0]:
=true;g[1,1]:
=false;g[1,2]:
=false;g[1,3]:
=false;
g[i,j]:
=g[i-1,k]and（（k+a[i,p]）mod4=j）
18.判定性问题2
-----能否被k整除
f[I,j±n[i]modk]:
=f[i-1,j];-k<=j<=k;1<=i<=n
20.线型动态规划2
-----方块消除游戏
f[i,i-1,0]:
=0
f[i,j,k]:
=max{f[i,j-1,0]+sqr（len（j）+k）,
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:
=f[1,m,0]
21.线型动态规划3
-----最长公共子串，LCS问题
f[i,j]={0（i=0）&（j=0）;
f[i-1,j-1]+1（i>0,j>0,x[i]=y[j]）;
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}}（i>0,j>0,x[i]<>y[j]）;
let（n>m）;（n=length（a）;m:
=length（b））;
fori:
=1tondo
begin
x:
=-1;p:
=1;
forj:
=1tomdo
ifa[i]=b[j]then
begin
x:
=p;
whileflag[j,x]and（f[j,x]p:
=x;
f[j,x]:
=a[i];
flag[j,x]:
=true;
end
else
if（x<>-1）andflag[j-1,x]and（（notflag[j,x]）or（f[j-1,x]begin
f[j,x]:
=f[j-1,x];
flag[j,x]:
=true;
endelsex:
=-1;
end;
ok:
=false;
fori:
=mdownto1do
ifflag[m,i]thenbeginwriteln（i）;ok:
=true;break;end;
ifnotokthenwriteln（0）;
22.最大子矩阵2
-----最大带权01子矩阵O（n^2*m）
枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零
f[i]:
=max（f[i-1]+a[i],a[i]）
readln（n,m）;
fori:
=1tondoforj:
=1tomdoread（a[i,j]）;
ans:
=-maxlongint;
fori:
=1tondo
begin
fillchar（b,sizeof（b）,0）;
fillchar（u,sizeof（u）,0）;
forj:
=itondo
begin
max:
=0;
fork:
=1tomdo
begin
if（a[j,k]<>0）and（notu[k]）then
begin
inc（b[k],a[j,k]）;
inc（max,b[k]）
end
else
begin
max:
=0;
u[k]:
=true;
end;
ifmax>ansthenans:
=max;
end;
end;
end;
23.资源问题4
-----装箱问题（判定性01背包）
f[j]:
=（f[j]orf[j-v[i]]）;
注:
这里将数字三角形的意义扩大
凡状态转移为图形,跟其上面阶段和前面状态有关都叫数字三角形:
）
24.数字三角形1
-----朴素の数字三角形
f[i,j]:
=max（f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]）;
25.数字三角形2
-----晴天小猪历险记之Hill
同一阶段上暴力动态规划
f[i,j]:
=min（f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1]）+a[i,j]
26.双向动态规划1
数字三角形3
-----小胖办证
f[i,j]:
=max（f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j]）
27.数字三角形4
-----过河卒
//边界初始化
f[i,j]:
=f[i-1,j]+f[i,j-1];
28.数字三角形5
-----朴素的打砖块
f[i,j,k]:
=max（f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]）;
29.数字三角形6
-----优化的打砖块
f[I,j,k]:
=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
30.线性动态规划3
-----打鼹鼠’
f[i]:
=f[j]+1;（abs（x[i]-x[j]）+abs（y[i]-y[j]）<=t[i]-t[j]）
31.树形动态规划3
-----贪吃的九头龙
32.状态压缩动态规划1
-----炮兵阵地
Max（f[Q*（r+1）+k],g[j]+num[k]）
If（map[i]andplan[k]=0）and
（（plan[P]orplan[q]）andplan[k]=0）
33.递推天地3
-----情书抄写员
f[i]:
=f[i-1]+k*f[i-2]
34.递推天地4
-----错位排列
f[i]:
=（i-1）（f[i-2]+f[i-1]）;
f[n]:
=n*f[n-1]+（-1）^（n-2）;
35.递推天地5
-----直线分平面最大区域数
f[n]:
=f[n-1]+n
:
=n*（n+1）div2+1;
36.递推天地6
-----折线分平面最大区域数
f[n]:
=（n-1）（2*n-1）+2*n;
37.递推天地7
-----封闭曲线分平面最大区域数
f[n]:
=f[n-1]+2*（n-1）
:
=sqr（n）-n+2;
38递推天地8
-----凸多边形分三角形方法数
f[n]:
=C（2*n-2,n-1）divn;
对于k边形
f[k]:
=C（2*k-4,k-2）div（k-1）;//（k>=3）
39递推天地9
-----Catalan数列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:
=C（2k,k）div（k+1）;
40递推天地10
-----彩灯布置
排列组合中的环形染色问题
f[n]:
=f[n-1]*（m-2）+f[n-2]*（m-1）;（f[1]:
=m;f[2]:
=m（m-1）;
41线性动态规划4
-----找数
线性扫描
sum:
=f[i]+g[j];
（ifsum=Aimthengetout;ifsum42线性动态规划5
-----隐形的翅膀
min:
=min{abs（w[i]/w[j]-gold）};
ifw[i]/w[j]43剖分问题5
-----最大奖励
f[i]:
=max（f[i],f[j]+（sum[j]-sum[i]）*i-t
44最短路1
-----Floyd
f[i,j]:
=max（f[i,j],f[i,k]+f[k,j]）;
ans[q[i,j,k]]:
=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45剖分问题6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:
=f[l-x,m-1,n-k]+S（x,k）;
functionGetS（l,n:
longint）:
extended;
begin
if（n=0）or（n>l）thenexit（WQ）
elsegetS:
=（lmodn）*k2*sqr（ldivn+1）+
（n-lmodn）*k2*sqr（ldivn）+
k1*sqr（l）;
end;
ifx+S（x,k）>=f[i,q,p]thenbreakelsef[i,q,p]:
=x+S（x,k）;inc（k）;
46计数问题2
-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）
Ans[l1,l2,l3,D]:
=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:
=Sigma（f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]）;
47线性动态规划
------合唱队形
两次F[i]:
=max{f[j]+1}＋枚举中央结点
48资源问题
------明明的预算方案：
加花的动态规划
f[i,j]:
=max（f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]）;
49资源问题
-----化工场装箱员
50树形动态规划
-----聚会的快乐
f[i,2]:
=max（f[i,0],f[i,1]）;
f[i,1]:
=sigma（f[t[i]^.son,0]）;
f[i,0]:
=sigma（f[t[i]^.son,3]）;
51树形动态规划
-----皇宫看守
f[i,2]:
=max（f[i,0],f[i,1]）;
f[i,1]:
=sigma（f[t[i]^.son,0]）;
f[i,0]:
=sigma（f[t[i]^.son,3]）;
52递推天地
-----盒子与球
f[i,1]:
=1;
f[i,j]:
=j*（f[i-1,j-1]+f[i-1,j]）;
53双重动态规划
-----有限的基因序列
f[i]:
=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:
=（g[a,i,j]andg[b,i,j]）or（g[c,i,j]）
54最大子矩阵问题
-----居住空间
f[i,j,k]:
=min（min（min（f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]）,
min（f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k]））,
min（min（f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]）,
f[i-1,j-1,k-1]））+1;
55线性动态规划
------日程安排
f[i]:
=max{f[j]}+P[I];（e[j]56递推天地
------组合数
C[I,j]:
=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:
=1
57树形动态规划
-----有向树k中值问题
F[I,r,k]:
=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}
58树形动态规划
-----CTSC2001选课
F[I,j]:
=w[i]（ifi∈P）+f[l[i],k]+f[r[i],m-k]（0≤k≤m）（ifl[i]<>0）
59线性动态规划
-----多重历史
f[i,j]:
=sigma{f[i-k,j-1]}（ifchecked）
60背包问题（+-1背包问题+回溯）
-----CEOI1998Substract
f[i,j]:
=f[i-1,j-a[i]]orf[i-1,j+a[i]]
61线性动态规划（字符串）
-----NOI2000古城之谜
f[i,1,1]:
=min{f[i+length（s）,2,1],f[i+length（s）,1,1]+1}f[i,1,2]:
=min{f[i+length（s）,1,2]+words[s],f[i+length（s）,1,2]+words[s]}
62线性动态规划
-----最少单词个数
f[i,j]:
=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}
63线型动态规划
-----APIO2007数据备份
状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划
f[i]:
=min（g[i-2]+s[i],f[i-1]）;
64树形动态规划
-----APIO2007风铃
f[i]:
=f[l]+f[r]+{1（ifc[l]g[i]:
=1（d[l]<>d[r]）0（d[l]=d[r]）
g[l]=g[r]=1thenHalt;
65地图动态规划
-----NOI2005adv19910
F[t,i,j]:
=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];
66地图动态规划
-----优化的NOI2005adv19910
F[k,i,j]:
=max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<=p<=j;
67目标动态规划
-----CEOI98subtra
F[I,j]:
=f[I-1,j+a[i]]orf[i-1,j-a[i]]
68目标动态规划
-----Vijos1037搭建双塔问题
F[value,delta]:
=g[value+a[i],delta+a[i]]org[value,delta-a[i]]
69树形动态规划
-----有线电视网
f[i,p]:
=max（f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]）
leaves[i]>=p>=l,1<=q<=p;
70地图动态规划
-----vijos某题
F[I,j]:
=min（f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]）;
71最大子矩阵问题
-----最大字段和问题
f[i]:
=max（f[i-1]+b[i],b[i]）;f[1]:
=b[1]
72最大子矩阵问题
-----最大子立方体问题
枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]
枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵
73括号序列
-----线型动态规划
f[I,j]:
=min（f[I,j],f[i+1,j-1]（s[i]s[j]=”（）”or（”[]”））,
f[I+1,j+1]+1（s[j]=”（”or”[”],f[I,j-1]+1（s[j]=”）”or”]”）
74棋盘切割
-----线型动态规划
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}
75概率动态规划
-----聪聪和可可（NOI2005）
x:
=p[p[i,j],j]
f[I,j]:
=（f[x,b[j,k]]+f[x,j]）/（l[j]+1）+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1
76概率动态规划
-----血缘关系
我们正在研究妖怪家族的血缘关系。
每个妖怪都有相同数量的基因，但是不同的妖怪的基因可能是不同的。
我们希望知道任意给定的两个妖怪之间究竟有多少相同的基因。
由于基因数量相当庞大，直接检测是行不通的。
但是，我们知道妖怪家族的家谱，所以我们可以根据家谱来估算两个妖怪之间相同基因的数量。
妖怪之间的基因继承关系相当简单：
如果妖怪C是妖怪A和B的孩子，则C的任意一个基因只能是继承A或B的基因，继承A或B的概率各占50％。
所有基因可认为是相互独立的，每个基因的继承关系不受别的基因影响。
现在，我们来定义两个妖怪X和Y的基因相似程度。
例如，有一个家族，这个家族中有两个毫无关系（没有相同基因）的妖怪A和B，及它们的孩子C和D。
那么C和D相似程度是多少呢？
因为C和D的基因都来自A和B，从概率来说，各占50％。
所以，依概率计算C和D平均有50％的相同基因，C和D的基因相似程度为50％。
需要注意的是，如果A和B之间存在相同基因的话，C和D的基因相似程度就不再是50％了。
你的任务是写一个程序，对于给定的家谱以及成对出现的妖怪，计算它们之间的基因相似程度。
F[A,B]=（f[A0,B]+P[A1,B]）/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0（I,j无相同基因）
77线性动态规划
-----决斗
F[I,j]=（f[I,j]andf[k,j]）and（e[I,k]ore[j,k]）,i78线性动态规划
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min（f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]）
79线性动态规划
-----积木游戏
F[I,a,b,k]=max（f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’]）
80树形动态规划（双次记录）
-----NOI2003逃学的小孩
朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,kO（n^2）
每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。
如果是，就取次大，否则取最大值
81树形动态规划（完全二叉树）
-----NOI2006网络收费
F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N[b]则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费
F[I,j,k]:
=min{f[l,u,kand（s[i]<<（i-1））]+w1,f[r,j-u,kand（s[i]<<（i-1））]}
82树形动态规划
-----IOI2005河流
F[i]:
=max
83记忆化搜索
-----Vijos某题,忘了
F[pre,h,m]:
=sigma{SDP（I,h+1,M+i）}（pre<=i<=M＋1）
84状态压缩动态规划
-----APIO2007动物园
f[I,k]:
=f[i-1,kandnot（1<<4）]+NewAddVal
85树形动态规划
-----访问术馆
f[i,j-c[i]×2]:
=max（f[l[i],k],f[r[i]
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