函数极限的证明精选多篇.docx

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函数极限的证明精选多篇

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第一篇：

函数极限的证明

（一）时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义（和.）

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质（3学时）

教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性（不等式性质）:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

（二）利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

（注意无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1（x）趋于a;作b>a>=0,m>1;

那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有

（a/m）

第三篇：

二元函数极限证明

二元函数极限证明设p=f（x,y）,p0=（a,b），当p→p0时f（x,y）的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：

’

（1）两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在

（2）两个二次极限存在而不相等

（3）两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在

函数f（x）当x→x0时极限存在，不妨设：

limf（x）=a（x→x0）

根据定义:

对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|而|x-x0|又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:

|f（x）-a|再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:

存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u（x0;δ）时,有|f（x）|

证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x_-x的路径趋于0limitedsin（x+y）/x_=limitedsinx_/x_=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p（x,y）以任何方式趋向于该点。

f（x,y）={（x_+y_）/（|x|+|y|）}*sin（1/x）

显然有y->0,f->（x_/|x|）*sin（1/x）存在

当x->0,f->（y_/|y|）*sin（1/x）,sin（1/x）再0处是波动的所以不存在

而当x->0,y->0时

由|sin（1/x）|而x_+y_所以|f|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的

正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

（一）时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:

的意义,的直观意义.

定义（和.）

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

（二）时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质（3学时）

教学目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：

函数极限的性质及其计算。

教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

教学方法：

讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性（不等式性质）:

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）

註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

（二）利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1（利用极限和）

例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第四篇：

函数极限的性质证明

函数极限的性质证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|xn+1-a|以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……

|x2-a|向上迭代，可以得到|xn+1-a|2

只要证明{x（n）}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x（n）}单调增加。

（2）=√把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则（不知楼主学了没，没学的话以后会学的）

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin（1/n）=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/（n_+1）=lim（1/n）/（1+1/n_）=lim（1/n）/（1+lim（1+n_）=0/1=0

lim√（n_+4）/n=lim√（1+4/n_）=√1+lim（4/n_）=√1+4lim（1/n_）=1

limsin（1/n）=lim=lim（1/n）*lim/（1/n）=0*1=0

第五篇：

函数极限的定义证明

习题1?

1.根据函数极限的定义证明:

（1）lim（3x?

1）?

8;x?

（2）lim（5x?

2）?

12;x?

x2?

4;（3）limx?

2x?

4x3

（4）lim?

2x?

1证明

（1）分析|（3x?

1）?

8|?

|3x?

9|?

3|x?

3|,要使|（3x?

1）?

8|?

只须|x?

3|?

1证明因为?

0,?

当0?

|x?

3|?

时,有|（3x?

1）?

8|?

所以lim（3x?

1）?

8.x?

（2）分析|（5x?

2）?

12|?

|5x?

10|?

5|x?

2|,要使|（5x?

2）?

12|?

只须|x?

2|?

1证明因为?

0,?

当0?

|x?

2|?

时,有|（5x?

2）?

12|?

所以lim（5x?

2）?

12.x?

（3）分析

|x?

（?

2）|?

.x2?

4x2?

4x?

4x2?

（?

4）?

|x?

2|?

|x?

（?

2）|,要使?

（?

4）?

只须x?

2x?

x2?

4x2?

（?

4）?

所以lim?

4.证明因为?

0,?

当0?

|x?

（?

2）|?

时,有x?

2x?

（4）分析1?

4x3111?

4x31?

只须|x?

（?

）|?

|1?

2x?

2|?

2|x?

（?

）|,要使2x?

12x?

1222

4x3111?

4x3

所以lim证明因为?

0,?

当0?

|x?

（?

）|?

时,有?

2.12x?

12x?

122x?

2.根据函数极限的定义证明:

（1）lim1?

2x3

sinxx?

1;2

（2）limx?

证明

（1）分析

|x|?

x32x311?

x3?

22x3?

12|x|3,要使1?

x32x3?

11?

只须?

即322|x|2?

证明因为?

0,?

（2）分析

sinxx?

12?

当|x|?

x时,有1x

x32x311?

x31?

所以lim?

2x322

即x?

sinxx

|sinx|x

要使

sinx

证明因为?

0,?

当x?

x时,有

xsinxx

只须

所以lim

3.当x?

2时,y?

x2?

4.问?

等于多少,使当|x?

2|解由于x?

2,|x?

2|?

0,不妨设|x?

2|?

1,即1?

3.要使|x2?

4|?

|x?

2||x?

2|?

5|x?

2|?

0.001,只要

|x?

2|?

0.001

0.0002,取?

0.0002,则当0?

|x?

2|?

时,就有|x2?

4|?

0.001.5

x2?

1x?

4.当x?

时,y?

x2?

1x2?

1,问x等于多少,使当|x|>x时,|y?

1|解要使?

4x2?

0.01,只|x|?

397,x?

.0.01

5.证明函数f（x）?

|x|当x?

0时极限为零.

x|x|

6.求f（x）?

（x）?

当x?

0时的左﹑右极限,并说明它们在x?

0时的极限是否存在.

证明因为

limf（x）?

lim?

lim1?

xx?

limf（x）?

lim?

lim1?

xx?

limf（x）?

limf（x）,?

所以极限limf（x）存在.

因为

lim?

（x）?

lim?

|x|?

lim?

1,?

0xx|x|x?

lim?

1,xx?

lim?

（x）?

lim?

（x）?

lim?

（x）,?

所以极限lim?

（x）不存在.

7.证明:

若x?

及x?

时,函数f（x）的极限都存在且都等于a,则limf（x）?

证明因为limf（x）?

a,limf（x）?

a,所以?

>0,

x1?

0,使当x?

x1时,有|f（x）?

a|?

x2?

0,使当x?

x2时,有|f（x）?

a|?

取x?

max{x1,x2},则当|x|?

x时,有|f（x）?

a|?

即limf（x）?

8.根据极限的定义证明:

函数f（x）当x?

x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设f（x）?

a（x?

x0）,则?

>0,?

0,使当0|f（x）?

a|因此当x0?

|f（x）?

a|这说明f（x）当x?

x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f（x0?

0）?

f（x0?

0）?

a,则?

>0,?

1>0,使当x0?

10,使当x0取?

min{?

1,?

2},则当0|f（x）?

a|即f（x）?

a（x?

x0）.

9.试给出x?

时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.

解x?

时函数极限的局部有界性的定理?

如果f（x）当x?

时的极限存在?

则存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f（x）|?

证明设f（x）?

a（x?

）?

则对于?

当|x|?

x时?

有|f（x）?

a|?

所以|f（x）|?

|f（x）?

a|?

|f（x）?

a|?

|a|?

这就是说存在x?

0及m?

使当|x|?

x时?

|f（x）|?

其中m?

|a|?

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