一次函数全章小结拔高精编.docx
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一次函数全章小结拔高精编
变量与函数
沙场点兵
1.函数的概念及其表示方法
⑴函数的定义:
在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于给定的每一个x值,y都有唯一确定的值与其对应,那么,x是自变量,y是x的函数.
⑵函数的表示方法
①解析法:
用含有自变量的代数式表示函数的方法;
②列表法:
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成表格来表示函数的方法;
③图象法:
用图象表示函数关系的方法.
2.自变量取值范围的确定
自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义,且必须符合实际问题的要求.
经典案例
【例1】(兰州)函数
中自变量x的取值范围是()
A.x≤2B.x=3C.x<2且x≠3D.x≤2且x≠3
【变式题组】
01.(大兴安岭)函数
中,自变量x的取值范围是________
02.(芜湖)函数
中自变量x的取值范围是_________
03.函数
中自变量x的取值范围是_________
04.已知函数y=-2x+1中的自变量x的取值范围是0<x<10,则y的取值范围是______
【例2】汽车由北京驶往相距850km的沈阳,它的平均速度为80km/h,求汽车距沈阳的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式,写出自变量的取值范围
【解法指导】⑴此题属于行程问题,其基本数量关系是:
速度
时间=路程.因此汽车行驶t(h)的路程是80t(km)与汽车距沈阳的路程s(km)及北京与沈阳的距离850km之间的等量关系是80t+s=850;
(2)由于s与t都应是非负数可确定自变量的取值范围.
【变式题组】
01.已知三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),则底边上的高y(cm)关于x的函数关系式为______,自变量的取值范围是__________.
02.等腰三角形的周长是40cm,腰长y(cm)与底边长x(cm)关系的函数解析式正确的是()
A.y=-0.5x+20(0<x<20)B.y=-0.5x+20(10<x<20)
C.y=-2x+40(10<x<20)D.y=-2x+40(0<x<20)
03.某市为了鼓劲居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:
若每月每户用水不超过12米3,按每立方米a元收费;若超过12米3,则超过部分每立方米按2a元收费.某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为______,若该月交水费20a元,则这个月实际用水______米3.
【例3】下列曲线中,表示y不是x的函数的是()
【变式题组】
01.图中分给给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数是()
02.下列函数中,与y=x表示同一个函数的是()
A.
B.
C.
D.
【例4】如右图,圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底,向水池匀速注入水(倒在杯外),水池中水面高度是h,注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的()
【变式题组】
01.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h与注水时间t的函数关系式,大致是下列图象中的()
02.某蓄水池的横截面示意图如图所示,分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是()
03.用均匀的速度向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图表示(图中OAB为一折线),这个容器的形状是图中的()
【例5】已知:
如图1,点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动,运动路径为:
G→C→D→E→F→H相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象,如图2,若AB=6cm,则下列四个结论中正确的个数有()
a.图1中的BC边长是8cm
b.图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2
图中的CD长是4cm
c.图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式题组】
01.(莆田)如图1,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止,设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则当x=9时,点R应运动到的位置是()
A.N处B.P处C.Q处D.M处
02.(重庆綦江)如图1,在直角梯形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD运动至点D停止,设点P运动的路径为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△BCD的面积是()
A.3B.4C.5
演练巩固·反馈提高
01.(益阳)某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校,图中描述了他上学的情景,下列说法错误的是()
A.修车时间为15分钟B.学校离家的距离为2000米
C.到达学校时共用时间20分钟D.自行车发生故障时离家距离为1000米
02.(宜昌)由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降,若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是()
A.干旱开始时,蓄水量每天减少20万米3
B.干旱开始后,蓄水量每天增加20万米3
C.干旱开始时,蓄水量为200万米3
D.干旱第50天时,蓄水量为1200万米3
03.(黑龙江大兴安岭)一个水池接有甲、乙、丙三个水管,先打开甲,一段时间后再打开乙,水池注满水后关闭甲,现时打开丙,直到水池中的水排空,水池中的水量V(m3)与时间t(h)之间的函数关系如图,则关于三个水管每小时的水流量,下列判断正确的是
A.乙>甲B.丙>甲C.甲>乙D.丙>乙
04.(杭州)已知点P(x,y)在函数
的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
05.(大连)函数
的自变量x的取值范围是()
A.x≥-2B.x>-2且x≠2C.x≥0且x≠2D.x≥-2且x≠2
06.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
⑴确定自变量的取值范围;
⑵求当x=-4,-2时y的值是多少?
⑶求当y=0,4时,x的值是多少?
⑷当x取何值时y的值最大?
当x何值时y的值最小?
(5)当x在什么范围内取值时y随x的增大而增大?
当x在什么范围内取值时y随x的增大而减小?
07.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系式如图所示,那么你可知道:
⑴这是一次_________米的赛跑;
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______
(3)乙在这次赛跑中的速度为______米/秒
一次函数的图象与性质
沙场点兵
1.一次函数及图象:
⑴形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),则y叫做x的一次函数,当b=0,k≠0时,y叫做x的正比例函数.
⑵正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过(0,0),(1,k)两点的直线,一次函数y=kx+b(k≠0)是经过(0,b)、(-
,0)两点的直线.
2.一次函数的性质:
当k>0时,y随自变量x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
3.函数y=kx+b中的系数符号,决定图象的大致位置的增减性.
经典案例赏析
【例1】(山东)函数y=ax+b①和y=bx+a②(ab≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
【解法指导】A中①a>0,b>0,②b<0,a<0矛盾.B中①a<0,b<0,矛盾.C中①a>0,b>0②b>0,a=0矛盾.D中①a>0,b<0②b<0,a>0,故选D.
【变式题组】
01.(河北)如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图象应为()
02.(安徽)已知函数y=kx+b的图象如左图,则y=2kx+b的图象可能是()
03.下列图象中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n为常数,则mn≠0)的图象是()
【例2】(绍兴)如图,一次函数y=x+5的图象经过点P(a,b)和Q(c,d)则a(c-d)-b(c-d)的值为_______.
【解法指导】因为点P(a,b),Q(c,d)在一次函数图象上,∴b=a+5,d=c+5∴a-b=-5,c-d=-5,a(c-d)-b(c-d)=(c-d)(a-b)=(-5)×(-5)=25
【变式题组】
01.如图一条直线l经过不同三点A(a,b),B(b,a)C(a-b,b-a)则直线l经过()
A.第二、四象限B.第一、三象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
02.(南京市八年级竞赛试题)已知三点A(2,3),B(5,4)C(-4,1)依次连接这三点,则()
A.构成等边三角形B.构成直角三角形C.构成锐角三角形D.三点在同一条直线上
03.(四川省初二数学联赛试题)已知一次函数y=ax+b的图象经过点(0,1),它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形,则a的值为_______.
【例3】如图,已知正方形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y=2x+b交AB于点E,交CD于点F.直线与y轴的交点为(0,b),则b的变化范围是_____.
【变式题组】
01.线段y=-
x+a(1≤b≤3),当a的值由-1增加到2时,该线段运动所经过的平面区域的面积为()
A.6B.8C.9D.10
02.(新知杯上海)在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2),函数y=kx-1的图象与线段PQ延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是_________.
03.(济南)阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:
设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1=b2,我们就称直线l1与直线l2平行.解答下面的问题:
⑴求过点P(1,4)且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l的图象;
⑵设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B,如果直线m:
y=kx+t(t>0)与直线平行且交于x轴于点C,求出△ABC的面积S关于t的函数关系式.
【例4】已知一次函数y=kx+b,当自变量取值范围是2≤x≤6时,函数值的取值范围5≤y≤9.求此函数的解析式.
【变式题组】
01.已知一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应y的值为1≤y≤9,则kb的值为()
A.4B.-6C.-4或21D.-6或14
02.(遂宁)已知整数x满足-5≤x≤5,y1=x+1,y2=2x+4,对任意一个x,m都取y1,、y2中的最小值,则m的最大值是()
A.1B.2C.24D.-9
【例5】如图,直线y=-5x-5与x轴交于A,与y轴交于B,直线y=kx+b与x轴交于C,与y轴交于B点,CD⊥AB交y轴于E.若CE=AB,求直线BC的解析式.
【变式题组】
01.如图,在平面直角坐标系中,点P(x,y)是直线y=-x+6第一象限上的点,点A(5,0),O是坐标原点,△PAO的面积S.
⑴求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
⑵探究:
当P点运动到什么位置时△PAO的面积为10.
02.如图,直线l:
y=-
x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.
⑴求A、B两点的坐标;
⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式;
⑶当t为何值时,△COM≌△AOB,并求此时M点的坐标.
03.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=kx+b经过A(0,2)、B(4,2)两点.
⑴求直线AB的解析式;
⑵点C的坐标为(0,1),过点C作CD⊥AO交AB于D.x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与△ACD全等,这样的三角形有_____个,请子啊图中画出其中两个三角形的示意图.
【例6】如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y=kx+b(k≠0)经过(1,0),且把△AOB分成两部分.⑴若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值;⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:
5,求k和b的值.
【解法指导】欲求k和b的值,需知道直线y=kx+b(k≠0)经过两已知点,而点C(1,0)在直线上,因而只需求出另一点的坐标即可.
【变式题组】
01.如图,在平面直角坐标系xOy,已知直线AC的解析式为y=-
x+2,直线AC交x轴于点C,交于y轴于点A.
⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合,直角顶点B在第一象限内,请直接写出点B的坐标;
⑵过点B作x轴的垂线l,在l上是否存一点P,使得△AOP的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.
02.(浙江杭州)已知,直线y=-
与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,
°,且点P(1,a)为坐标系中的一个动点.
⑴求三角形ABC的面积S△ABC;
⑵证明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数;
⑶要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.
演练巩固·实战训练
01.(芜湖)关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是()
02.一次函数y=kx-b和正比例函数y=kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是()
03.一次函数y=(m-1)x+m2+2的图象与y轴的交点的纵坐标是3,则m的值是()
A.
B.
C.-1D.-2
04.直线y1=kx+b过第一、二、四象限,则直线y2=bx-k不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
05.已知一次函数y=(1-2m)x+m-2,函数y随着x的增大而减小,且其图象不经过第一象限,则m的取值范围是()
A.m>
B.m≤2C.
<m<2D.
<m≤2
06.如图,点A、B、C、D在一次函数y=-2x+m的图象上,它们的横坐标依次为-1,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是()
A.1B.3C.3(m-1)D.
(m-2)
07.(绍兴)如图,在x轴上有五个点,它们横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax,y=(a+1)x,y=(a+2)x相交,其中a>0,则图中阴影部分的面积是()
A.12.5B.25C.12.5aD.25a
08.(重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是()
09.(日照)如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为()
A.(0,0)B.(
,-
)C.(-
,-
)D.(-
,-
)
10.(义务)李老师给出了一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲:
它的图象经过第一象限;乙:
它的图象经过第二象限;丙:
在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中,写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11.观察下列各直角坐标系中的直线AB,点P(x,y)是线段AB上的点,且x、y都是整数,请根据图中所包含的规律,回答下列问题:
⑴第5个图中满足条件的点P个数是_______;
⑵第n个图中满足条件的点P个数m与n之间的关系是________.
12.(十堰)直线y=kx+b经过点A(-2,0)和y轴上的一点B,如果△ABO(O为坐标原点)的面积为2,则b的值为________.
13.如图,长方形OABC的顶点B的坐标为(6,4),直线y=-x+b恰好平分长方形的面积,则b=_______.
14.如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k=______.
15.(东营)正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和C1,C2,C3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)则Bn的坐标是________.
16.点P为直线y=-3x+6上的一点,且点P到两坐标轴距离相等,则P点坐标为_____.
17.已知直线y1=x,y2=
x+1,y3=-
x+5的图象如图所示,若无论x取何值,y总取y1、y2、y3中最小的值,则y的最大值为_______.
18.已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(0,-3),且与函数y=
x+1的图象相交于点A(
).
⑴求a的值;
⑵若函数y=kx+b的图象与x轴的交点是B,函数y=
x+1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积(其中O为坐标原点).
19.定义
为一次函数y=px+q的特征数.
⑴求一次函数y=-2(x-1)的特征数;
⑵若特征数是
的一次函数为正比例函数,求k的值.
20.已知:
三点A(a,1)、B(3,1)、C(6,0),点A在正比例函数y=
x的图象上.
⑴求a的值;
⑵点P为x轴上一动点,当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时,求点P的坐标;
21.已知直线ln:
y=-
x+
(n是正整数).当n=1时,直线l1:
y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n=2时,直线l2:
y=-
与x轴和y轴分别交于点A2和B2,设△A2OB2的面积为s2,…,依次类推,直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn,设△AnOBn的面积为Sn.
⑴求△A1OB1的面积s1;
⑵求s1+s2+s3+…+s2010的值.
22.(长沙)在平面直角坐标系中,一动点P(x,y)从M(1,0)出发,沿由A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)四点组成的正方形边线(如图①)按一定方向运动.图②是P点运动的路程s(个单位)与运动时间t(秒)之间的函数图象,图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
⑴s与t之间的函数关系式是:
_________;
(2)与图③相对应的P点的运动路径是:
________;P点出发_______秒首次到达点B;
⑶写出当3≤s≤8时,y与s之间的函数关系式,并在图③中补全函数图象.
特种变形检测
01.已知abc≠0,且
=t,则直线y=tx+t一定通过()
A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限
02.一个一次函数的图象与直线y=
+
平行,与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上(包括端点A、B)横坐标、纵坐标都是整数的点有()
A.4个B.5个C.6个D.7个
03.在一次函数y=-x+3的图象上取点P,作PA⊥x轴,PB⊥y轴,垂足分别为A、B,长方形OAPB的面积为2,则这样的点P共有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
04.在直角坐标系中,x轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,若MP+MQ取最小值,则点M的坐标为________.
05.已知点A(0,2)、B(4,0),点C、D分别在直线x=1与x=2上运动,且CD∥x轴,当AC+CD+DB的值最小值,点C的坐标为_____________.
06.在直角坐标系中,有两个点A(-8,3)、B(-4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0).当四边形ABCD的周长最短时,
的值为_________.
07.已知函数y=(a-2)x-3a-1,当自变量x的值范围为3≤x≤5时,y既能取到大于5的值,又能取到小于3的值,求实数a的取值范围.
一次函数与方程、不等式
考点·沙场点兵
1.一次函数与一元一次方程的关系:
任何一元一次方程都可以转化成kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式,可见一元一次方程是一次函数的一个特例.即在y=kx+b中,当y=0时则为一元一次方程.
2.一次函数与二元一次方程(组)的关系:
⑴任何二元一次方程ax+by=c(a、b、c为常数,且a≠0,b≠0)都可以化为y=
的形式,因而每个二元一次方程都对应一个一次函数;
⑵从“数”的角度看,解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值,以及这个函数值是什么;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标.
3.一次函数与一元一次不等式的关系:
由于任何一元一次不等式都可以转化成ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时,求相应自变量的取值范围.
经典案例赏析
【例1】直线l1:
y=k1x+b与直线l2:
y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为()
A.x>-1B.x<-1C.x<-2D.无法确定
【变式题组】
01.(咸宁)直线l1:
y=k1x+b与直线l2:
y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为________.
第1题图第2题图第3题图第4题图
02.(浙江金华)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论:
①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
03.如图,已知一次函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式2x+b>ax-3的解集是________.
04.(武汉)如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式
x>kx+b>-2的解集为_________.
【例2】若直线l1:
y=x-2与直线l2:
y=3-mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限,求m的取值范围.
【变式题组】
01.如果直线y=kx+3与y=3x-2b的交点在x轴上,当k=2时,b等于()
A.9B.-3C.
D.
02.若直线
与直线
相较于x轴上一点,则直线
不经过()
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
03.两条直线y1=ax+b,y2=cx+5,学生甲解出它们的交点坐标为(3,-2),学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(
,
),则这两条直线的解析式为____________.
04.已知直线y=3x和y=2x+k的交点在第三象限,则k的取值范围是________