一题一课课例优质课评比郑乐燕.docx

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一题一课课例优质课评比郑乐燕

一题多联巧妙变式

----一次函数与反比例函数的综合应用课例

背景与经过：

为了更好地推进学科教学研究类课题的实施，引导教师聚焦课堂真实问题，使课题研究真正为改革教学方法和提高课堂效率服务，今年的优质课评比活动把主题定在了一题一课上。

以说题为前奏，开展教学教研活动。

这是有效提高学生学习成绩的一种好方法，更是促进教师专业发展的一个好途径。

相对于“说课”，“说题”还属于一个新鲜的事物。

“说课”已经形成了一个基本模式，但是“说题”怎么说，还是一个正在探索的问题。

而紧随其后的“一题一课”教学方式，其实很多专家和一线教师都已在尝试中进行。

如何让“一题一课”的模式焕发内在的魅力，使有效性教学回归数学课堂？

这是我们接下来需要认真思考研究的问题。

在磨课过程中我们充分关注对题型的挖掘与深化，从基本题型出发，多角度探究解题思路，通过开放性提问对结论进行拓展，在逐步的变式中探讨研究解题的一般方法。

下面我结合参赛的课题《一次函数与反比例函数的综合应用》的磨课过程，来谈一谈我们是如何进行一题多联，巧妙变式，在一题一课中进行思想与方法的渗透。

[第一次磨课教学实录]

开门见山，直接导入

题型展示：

今天我们来交流下学习心得，经常听学生说，在做中考模拟卷选择的最后几题时，因找不到解题的切入点而失分，我们班同学是否有同样的困扰？

那么今天我们就一起来探究这个问题。

看题，说说你的想法。

生1:

本题由四部分构成：

直线，双曲线，X轴上的垂线，等腰三角形。

板书：

例谈图形分解法在一次函数与反比例函数中的应用

师：

那么让我们从图形构造入手，探究本题的解题策略。

演示课件：

1首先在坐标系内画上直线引导学生观察，可知什么？

生2：

根据一次函数与坐标轴交点特征，可求得点B。

2引入反比例函数图象，可知A吗？

生3：

不能马上得出，但可根据直线解析式设A（a,

a-1）。

3作CB⊥X轴，可得C吗？

生4：

可得点C横坐标。

4由AB=AC，你想到什么？

生5：

等腰三角形的三线合一，根据

，得C（2，a-2）。

因为点A、C同时也在反比例函数图象上，则k=a（

a-1）=2（a-2）可求得K=4。

生6：

我先设C（2，

），由等腰三角形的三线合一结合反比例函数解析式，得A（4，

），把点A代入一次函数解析式可得K.

师：

这位同学的设法在求解上更快，那么除了设点的坐标，还有其他的解题方向吗？

学生思考中……

师：

能否从图形特点上来观察，本题中除了等腰三角形外还有其他三角形吗？

生7：

由△BOE∽△ABF，得

设AF=a,则BF=2a，点A坐标为（2+2a，a）,点C的坐标为（2，2a）,则k=4a=（2+2a）a，

，则k=4

师：

利用相似，这个解题思路很好，还有用不同方法来做的吗？

（没有学生响应）

继续引导：

反比例函数还有什么特殊的性质？

生（全体）：

面积不变性。

师：

面积不变性在图形里是如何体现的？

生（小声的）：

可以构造长方形（三角形）。

生8：

我经过点A,C构造了两个三角形，得到

，但是不知道怎么用。

师:

如何利用两个三角形的面积，找到与坐标的联系呢？

这样的引导似乎还是不起作用，学生比较习惯于设点的坐标来求解，很少会往面积不变性这个角度来思考问题，所以继续引导。

师：

我们可以从面积角度出发来思考，三角形面积等于底边乘以高，那么

，对比观察它们的底边和高，有什么联系吗？

生9：

师：

观察的真仔细，刚才我们从代数和几何角度探讨了这道题的不同解法，那么对于这个问题，你还能提出什么新的问题?

学生有那么片刻的停顿，所以我让大家先互相讨论一下。

生10：

1.经过A,C两点画直线，求直线AC的函数解析式？

生11：

2.求△ABC的面积？

生12：

3.求CE的长度？

生13：

4.在y轴上找一点P，使四边形EBCP为平行四边形。

生14：

5.在双曲线上找一点P，使△ABP与△BOE相似？

生15：

6.双曲线上是否还存在点与A、B两点构成等腰三角形？

……

师：

那么让我们一起来解决这些问题，挑你会的尝试求解？

（第五个问题解法繁琐，留给学生课后思考）

生15：

问题一：

根据原题所得A、C两点坐标，利用两点法求一次函数解析式。

生16：

问题二：

以BC为底，作高AD，利用三角形的面积公式可求得面积为2.

师：

这样似乎简单了些，中考比较喜欢求不规则图形的面积，那么稍微改编一下：

连OC，求四边形OBAC的面积，能求解吗、。

生17：

以BC为底分割为两个三角形，求面积和，两条高之和的长度刚好是点A的横坐标。

师：

还有其他方法吗？

---没反应，继续引导：

利用面积差能求吗？

生18：

在四边形四周构建一个长方形，利用长方形的面积减去三个小三角形的面积。

生19：

问题三：

以CE为斜边，构造直角三角形，利用勾股定理求解CE=

.

生20：

问题四：

根据平行四边形的对边相等，所以PE=BC=2，可求得P（0,1）。

生21：

问题六：

会出现多种可能,分类讨论：

AB=AC,AB=BC,AC=BC.

师：

那么我们是否还可对题中条件进行适当改编，比如等腰三角形还可换个背景……

生：

换成等边三角形或直角三角形。

师：

那么我们一起来尝试一下。

变式：

弱化条件

变“等腰三角形”为“等边三角形”，求K值。

（K=

）

因为等边三角形的特殊性，还可弱化条件：

变“

”为“

”（不直接给出比例系数）。

生22：

根据直线可先得到E点坐标（0，-1），由等边三角形可知

，可得B点坐标（

，0），代入一次函数解析式，求得

，所以直线AB:

.设点C

，则A

代入一次函数解析式，可得

。

师：

利用设点的坐标来求解，那么有同学利用其他方法吗？

----时间不多，学生中有个别说利用相似的。

请同学们类比刚才求解等腰三角形的方法，课后再试试其他方法是否可行。

谈谈你的收获----

师:

这节课我们从图形的变化探究到题目的变式，希望同学们学会在图形变换中探求解题的统一性。

问题诊断：

1、直接展示题型，学生一开始就觉得解题困难，积极性受挫，参与度不高。

2、先展示原图后分解的方式，学生的主体性呈现不高，显得被动。

3、事先没有足够的铺垫，学生还是按惯性思维，用设点的坐标来求解，很少数几个能从图形角度用相似的方法解题，而面积不变性的方法根本没去考虑。

4、学生在探求利用相似特别是面积不变性的解法时，思考时间比较长，做了大量引导，以致时间没分配好，变式拓展部分结束的比较匆忙。

5、之前的思维受阻，提问部分学生有些茫然，只提了一些类似题，没什么新意，积极性也没充分调动起来。

6、变式部分因为解法的归纳提升功夫没做足，学生在这里也没形成基本解题思路。

评课意见：

第一次试讲，听课的老师在评课中从各个角度也谈了自己的观点，首先肯定了本节课的优点：

①整体构思比较突出重点②问题设计思路比较清晰，有自己的特点，能够结合学生的实际加以引导。

③多媒体课件的应用与教学结合较紧密。

同时，各位老师也指出了一些需要共同研讨的问题。

归纳为以下几点：

1、导入部分怎样设计。

直接展示题型，或从分解图形引入，对大部分学生来说，入题太难，以至于学生后来的积极性都不高，参与度不够。

所以重新设计导入部分，从点的坐标代入，构造长方形，观察两个长方形的边长关系，以及添加辅助线找全等三角形的方式，都预先作了铺垫，从简单变式入手，引导学生解题思路，激发学生的学习欲望，为精彩课堂做铺垫.

2、解法探究的引导

通过设点的坐标，学生基本上能很快求解此题。

但作为一题一课多角度思考问题的要求，要适时引导学生，能否从图形上找方法。

引导学生注意力从代数角度转向几何角度思考问题，观察图形，找到相似的解法，以及面积相等的两个长方形它们的边长关系。

最后对解题方法进行必要的归总，优化解题策略，思考如何找到解题切入点，从哪些角度思考，核心问题是什么？

3、开放性问题的引入

如何最大程度的激发学生探究问题的积极性，在独立思考的基础上，可组织学生分组讨论，集思广益，在合作交流中激活思维。

教师要巡视观察学生的问题，从学生思维角度出发作好必要的引导，鼓励学生多角度发散思维，结合知识点提出各种创新性问题。

4、变式拓展紧扣原题

一题一课应围绕一个主题发散思考，一题多解，多题归一。

如果在变式部分做大面积修改，那就偏离了主旨，所以以原题为基点，适当变化条件，从等腰到等边再到直角三角形，符合学生的思维特点，也为学生今后的数学探究学习指引可行的方向。

5、赏识学生

因为公开课的特殊性，学生稍显拘谨，九年级的学生又不爱举手提问，所以这时教师的激励语言就显得非常重要，要及时给予学生积极地评价，用赞赏的眼光看待学生。

[第二次磨课时的教学设计]

引言：

同学们，今天我们要从一道简单的题出发来研究一次函数与反比例函数，看看经过这堂课的学习，会对我们有什么启发。

一、分解图形、引出课题：

问：

（1）若在双曲线上任意一点构造长方形，你能马上说出它的面积吗？

（2）若给出点A（4,a）,C（?

2a）,如何求得点C横坐标？

点拨：

从代数角度求解外，能否从图形上找特点说明理由？

小结：

通过刚才的简单变式，我们发现反比例函数只有一个待定系数k，所以关键在于求得点A的坐标。

【设计意图】简单问题入手，引导学生解题思路，激发学生的学习欲望，为精彩课堂做铺垫.

二、构建图形、探究解题：

题型展示：

如图：

直线

与反比例函数

的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，且AB=AC.则k的值（）

A.2B.3C.4D.6

课堂预设：

解法一：

设点的坐标

1、设A（a,

a-1），根据

，得C（2，a-2）。

因为点A、C同时也在反比例函数图象上，则k=a（

a-1）=2（a-2）可求得K=4。

2、设C（2，

），由等腰三角形的三线合一结合反比例函数解析式，得A（4，

），把点A代入一次函数解析式可得K=4.（引导：

这个时候该利用什么函数求出y的值？

）

点评：

通过设点的坐标，联立方程，用代数的方法解决几何的问题。

3、设点A坐标为（x，y）则点C坐标为（2，2y），由k=xy得：

xy=4y，x=4，y=

，所以k=xy=4。

【归纳】通过点的不同设法，体会反比例函数图像上的点的坐标乘积为定值是解决本题的切入点。

引导：

还有不同的解题方向吗？

是否可以在图形上找方法？

（比如说，这里除了等腰三角形，还有其他的三角形吗？

它们之间是否有联系？

）

解法二：

利用相似三角形的判定和性质

由△OBE∽△DAB，得

设AF=a（隐含条件：

）,则BF=2a，点A坐标为（2+2a，a）,点C的坐标为（2，2a）,则k=4a=（2+2a）a，

，则k=4

【归纳】利用相似三角形判定和性质可以知道点A的横纵坐标之间的关系，再利用坐标乘积为定值，则可以求出y的值，要注意隐含条件：

（

）.

解法三：

利用反比例函数的面积不变性（构造长方形）

【归纳】通过构造长方形，让学生观察边长关系，并建立线段与坐标的联系，得到A点坐标代入求解。

学生可能还会出现以下两个方向的解法，但方法难度大，或者求解困难，不特意作引导。

解法四：

利用反比例函数的面积不变性（构造三角形）

【归纳】利用反比例函数的面积不变性构造三角形，此法涉及三角形面积的两个特例：

同底不同高，面积之比为高之比；同高不同底，面积之比为底边之比，不容易观察。

解法五：

利用两函数交点

，求出

由CB⊥X轴求出

，进而根据

，即

，求得k=4。

【归纳】两函数图像交点坐标同时满足两个解析式，可联立方程组求公共解，此法求解甚繁，不提倡。

师：

这是一道选择题，有解题技巧吗？

（利用题型的特殊性，对学生进行做题技巧性的点拨。

）

生：

代入k值选项反向验证所给条件。

【解法反思】由于解法上的多样性，务必要引导学生及时归总解题策略，优化解题方法，为今后的方法选择指引方向。

平时教学中应该引导学生如何寻求解决问题的切入点，如何引导学生发现问题、提出问题、解决问题，如何培养学生的创新思维等.

三、自主提问、发散思考：

引导：

同学们，通常题目进行到这时，基本也就结束了，那么今天，我们能否对题目进行再思考？

问：

若条件不变，你还能提出什么新的问题?

（先独立思考，问题提出不多，再分小组讨论，比比看哪一小组提的问题最多，最有创意）

课堂预测：

生：

1、求直线AC的函数解析式？

（也可能是经过其他两点的直线解析式，或者求两点间线段的长度）

生：

2、连结OC，求四边形OBAC的面积？

（也可能是三角形，梯形或其他不规则图形的面积）

生：

3、当x为何值时，比较一次函数值与反比例函数值的大小？

生：

4、以C为顶点的抛物线经过点A，求抛物线解析式？

（也可能是其他抛物线的形式）

生：

5、平移直线AB至点C，求平移后的直线解析式或两直线之间的距离?

（也可以平移其他直线至不同的点）

生：

6、双曲线上是否还存在点与A、B两点构成等腰三角形？

…………

问：

如何解决这些问题呢？

（挑选代表性的几个问题解决，适当点拨，先由其他小组代表解答思路，不行再由提问者回答）

生7：

问题一：

根据原题所得A、C两点坐标，利用两点法求一次函数解析式。

生8：

问题二：

以BC为底分割为两个三角形，求面积和，两条高之和的长度刚好是点A的横坐标。

生9：

问题二：

在四边形四周构建一个长方形，利用长方形的面积减去三个小三角形的面积。

【归纳】通过割补法，分别以面积和与面积差来求解不规则图形的面积。

板书：

割补法面积和差

生10：

问题三：

交点横坐标即两函数值相等时的x取值，分类讨论两函数值的大小情况。

生11：

问题四：

根据点C坐标，设抛物线的顶点式

，代入点A坐标解得

。

生12：

问题五①：

平移后的像和原直线是平行关系，所以比例系数相同，可设为

，代入C（2,2），解得b=1,所以平移后的直线解析式是

。

（或许还有同学用两点法）

生13：

问题五①：

可以直接写出平移后的直线解析式是

，因为这里的平移变换相当于把直线向上平移了2个单位。

生14：

问题五②：

两直线之间的距离，可利用等积法，作

问题六需要对等腰三角形进行分类讨论，画图得出四种可能情况，点的坐标不好求解，以及跟本课主题偏差大，可作为学生课后探究题。

（其他可能问题：

1、在y轴上找一点P，使四边形EBCP为平行四边形。

2、延长AC交y轴于点P，求△ABC与△APE的面积之比。

3、点A,C是否为线段PQ的三等分点。

4、在轴上找一点P，与BC两点形成的三角形面积为定值。

……）

【设计意图】通过启发学生思考，激发学生进一步探索知识的激情，大胆推理、联想、创新，提高学生的思维品质。

培养创新意识，提高学生的解题能力，发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

四、变式训练、拓展思维

引导：

刚才同学们提了很多问题，那我们能否再来研究一下，除了结论可以拓展外，是否还可对题中条件进行适当改编？

（可安排学生上台讲解思路，演示解题过程，教师作适当点拨）

变式一：

弱化条件

如图，直线

与反比例函数

的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若△ABC是等边三角形.求k的值。

小结：

通过类比，可以发现等边三角形和等腰三角形的解题思路基本一致，那么变换为直角三角形，是否还能沿用前面的解题方法。

课外思考题：

变式二：

变换应用背景

如图，直线

与反比例函数

的图像交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若△ABC是直角三角形.求k的值。

1当∠BAC=90°时，求K.

2当k=40时，判断△ABC的形状.

变式三：

如图，已知双曲线

经过Rt△POQ斜

边OP的中点C，与直角边PQ相交于点A．若△AOP的面积为6，

则k＝__．

【设计意图】通过一脉相承的引题与变式，学生更容易类比发现解决此类题型的规律和方法，所以，教师在教学中应关注对题型的挖掘与深化。

感悟与反思：

1、善于“借题发挥”

具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用

2、擅长“图形分解”

几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能。

而当学生面对一个融合多个知识点的复杂图形时，往往会感到解决此题比较困难，找不到思维的切入点。

对于这样的情形，可以从图形上入手，根据构图分解图形，设法转化为熟悉问题，让他们学会从不同角度看问题，以便充分利用已有知识和经验，去寻找解决途径，从而顺利解决原问题，并在解决问题的过程中，增强学生的思维迁移、发散能力，提高分析问题和解决问题的能力，培养创新意识。

3、乐于“自主探究”

新课程要求改变学生的学习方式，提倡自主、合作、探究的学习方式。

在一题一课的教学过程中尤其要注意自主探究能力的训练，让学生充分参与探究过程，体验自主探究的乐趣。

教学过程是师生交往，共同发展的互动过程，教师要改变教学方法，在教学过程中通过讨论、研究、实验等多种教学组织形式，引导学生积极主动地学习，使学习成为在教师引导下主动地、富有个性的过程，教师应创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生学习的积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都得到充分发展，并在潜移默化中形成一定的行为习惯。

数学是思维的体操，问题是数学的心脏。

一题一课，意在还原真实的课堂，引导教师更多地关注“数学”的本质，挖掘题型本身蕴含的能量，同时也在悄然改变着传统的教学模式，力求创造全新的教学氛围，让数学课堂焕发属于自己的精彩。