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2018年中考二次函数压轴题汇编
2•如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为
t.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2,连接BC,PB,PC,设厶PBC的面积为S.
1求S关于t的函数表达式；
2
求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.
3.如图，抛物线y=a（x-1）（x-3）（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCQAOBC
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4•如图，抛物线y=a*+bx（av0）过点E（10,0）,矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边）,点C,D在抛物线上.设A（t,0）,当t=2时，AD=4.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？
最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
5.如图，点P为抛物线y亠^x2上一动点.
4
（1）若抛物线y冷x2是由抛物线yd（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线I经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N的坐标为（0,-1）,过点P作PM丄I于M.
1问题探究：
如图一，在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立？
若存在，求出点F的坐标：
若不存在，请说明理由.
2问题解决：
如图二，若点Q的坐标为（1,5）,求QP+PF的最小值.
A
0
ZL
O
J
ZL
）
I
N
（E
I-）
A/1
6.已知直线y=x+3与x轴、、轴分别相交于A、B两点，抛物线y=f+bx+c经过A、B两点，点M在线段0A上，从0点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒「个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；
（3）过N作NH//y轴交抛物线于H,连接MH,是否存在点H使MH//AB，若
（1）求抛物线解析式；
（2）连接0A,过点A作AC丄0A交抛物线于C,连接0C,求厶AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接0M,过点M作MN丄0M交x轴于点N.问：
是否存在点M，使以点O,M,N为顶点的三角形与
（2）中的△A0C相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
8•如图，已知二次函数y=a/+1（a^0,a为实数）的图象过点A（-2,2）,一次函数y=kx+b（心0,k,b为实数）的图象I经过点B（0,2）.
（1）求a值并写出二次函数表达式；
（2）求b值；
（3）设直线I与二次函数图象交于M,N两点，过M作MC垂直x轴于点C,试证明：
MB=MC;
（4）
在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说
两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点.
（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标;
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大•若存在，请求出厶PBC的最大面积；若不存在，试说明理由;
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,当MN=3时，求M点的坐标.
圍1S2
10.已知：
如图，抛物线y=af+bx+c与坐标轴分别交于点A（0,6）,B（6,0）,C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE//x轴交抛物线于点E，连结DE,请问是否存在点P使厶PDE为等腰直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y今"X2-£x-4与x轴交于A,B两点
（点A在点B左侧），与y轴交于点C.
（1）求点A,B,C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，
同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时
间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在
（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是厶PBQ面积的1.6倍？
若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，抛物线y二.X-4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接AC,BC•点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM丄x轴，垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE//AC交x轴于点E,交BC于点F.
（1）求A,B,C三点的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值.
（1）若点（-一「：
，0）也在该抛物线上，求a,b满足的关系式;
（2）若该抛物线上任意不同两点M（xi,yi）,N（X2,y2）都满足：
当xi0时，（xi-X2）（yi-y2）>0;当0时，（xi-血）（yi-y2）<0.以原点
O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,。
，且厶ABC有一个内角为
1求抛物线的解析式；
2若点P与点0关于点A对称，且O,M,N三点共线，求证：
PA平分/MPN.14•如图，已知抛物线y=a>?
+bx与x轴分别交于原点0和点F（10，0），与对称轴I交于点E（5，5）.矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1,边AD，BC与抛物线分别交于点M，N.当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M,N位于对称轴I的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S;点M,N位于对称轴I的两侧时，连接EM，EN,此时五边形ABNEM的面积记为S•将点A与点0重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t=0时，求SOBN的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（Ovt<5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
D
1
n
y"
E
3
B
F\兀
15.如图，已知抛物线经过点A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0）,过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0,寺），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与厶BOD相似？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
16•如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A（
3,0）,C（0,4）,点B在x轴上，AC=BC过点B作BD丄x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接MN,AM,AN.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当厶CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值.
17.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=af+bx+3经过点A（-1,0）、B（3,0、两点，且与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.
（1）若点P的横坐标为-寺，求厶DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（II）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？
若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
18•在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0）,且经过点（4,
1）,如图，直线丫三严与抛物线交于A、B两点，直线I为y=-1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在I上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）知F（xo，yo）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线I的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.
19.在平面直角坐标系中，点0（0,0），点A（1,0）.已知抛物线y=/+mx-2m（m是常数），顶点为P.
（I）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；
（U）若点P在x轴下方，当/AOP=45时，求抛物线的解析式；
（川）无论m取何值，该抛物线都经过定点H.当/AHP=45时，求抛物线的解析式.
20.如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=af+bx+c的图象.函数y=f+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=a^+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,
D（点D位于点C的左侧）.
（1）求函数y=af+bx+c的解析式；
（2）从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）
若点M是线段BC上的动点，点N是厶ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAAMN,使厶AMN的面积ABC面积的丄？
若存在，求tan/MAN
21•如图，已知抛物线y=af+bx+c（a^0）经过点A（3,0），B（-1,0），C（0，
—3）•
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的
P的坐标；若不存在，请说明理由.
22.已知顶点为A抛物线尸日厲一^）?
-2经过点B（十,2）,点C（寻，2）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若/OPM=ZMAF,求厶POE的面积；
（3）
如图2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN//y轴，过点E作EN//x轴，直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将厶QEN沿QE翻折得到厶QEN,若点Ni落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.
圏1即
23.已知抛物线y=a>?
+bx+c过点A（0,2）,且抛物线上任意不同两点M（xi,yi）,N（X2,y2）都满足：
当xivX2V0时，（xi-X2）（yi-y2）>0;当0vxivx2时，（xi-X2）（yi-y2）v0.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°
（1）求抛物线的解析式；
（2）若MN与直线y=-2：
；x平行，且M,N位于直线BC的两侧，yi>y2,解决以下问题：
1求证：
BC平分/MBN;
2求△MBC外心的纵坐标的取值范围.
24.如图，已知二次函数的图象过点O（0,0）.A（8,4）,与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN//AB交OA于”，当厶ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ丄x轴与抛物线交于Q•过A作AC丄x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时，求P点的
25.如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（-1,0）、B（3,0）、C
（0,3）,D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x,y）是抛物线上的动点：
1当x>1,y>0时，求△BDF的面积的最大值；
2当/AEF=/DBE时，求点F的坐标.
26.如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=af+bx+3交x轴于
B、C两点（点B在左，点C在右）,交y轴于点A,且OA=OCB（-1,0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2,点D为抛物线的顶点，连接CD,点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE//y轴交线段CD于点E,设点P的横坐标为t，线段PE长为d,写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3,在
（2）的条件下，连接BD,在BD上有一动点Q，且DQ=CE连接EQ,当/BQEfZDEQ=90时，求此时点P的坐标.
27.已知抛物线F:
y=x+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为（-
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（-毁5,0），求这条抛物线的
29.如图，已知抛物线y=ax2+bx（a^0）过点A（_-3）和点B（3一；，0）•过
点A作直线AC//x轴，交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q,使得&AOC^&AOQ?
若存在，求出点Q的坐标；
3
若不存在，请说明理由.
「
¥
0
-2
i
30.如图1,抛物线Ci:
yrax2-2ax+c（av0）与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C.已知点A的坐标为（-1,0）,点O为坐标原点，OC=3OA抛物线Ci的顶点为G.
（1）求出抛物线G的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2,将抛物线Ci向下平移k（k>0）个单位，得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A'、B',顶点为G',当厶AB'是等边三角形时，求k的值：
（3）在
（2）的条件下，如图3,设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线Ci、C2于P、Q两点，试探究在直线y=-1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：
若不存在，请说明理由.
31•在平面直角坐标系中，二次函数y=ax"—x+c的图象经过点C（0,2）和点D
（4,-2）.点E是直线y=-2x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.
3
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标.
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,
OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.
*
%
7、
i°
图②
32.如图，已知顶点为C（0,-3）的抛物线y=af+b（a^0）与x轴交于A,B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.
（1）求m的值；
（2）求函数y=af+b（a^0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得/MCB=1°?
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
33.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=af+2x+c与x轴交于A（-1,0）,B
（3，0）两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：
在拋物线上是否存在点P,使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请
34.已知抛物线y=a（x-1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0,—），且/BDC=90，求点C的坐
4
标；
（3）如图，直线y=kx+4-k与抛物线交于P、Q两点.
1求证：
/PDQ=90；
2求△PDQ面积的最小值.
交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线I:
y=t（tv）上方的部分沿直线I
24
向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M形的新图象.
（1）点A，B，D的坐标分别为
（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处.当点E在厶ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图②，当t=0时，若Q是“M形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径
的圆与x轴相切于点P?
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
36.如图，抛物线y=af+4x+c（a^0）经过点A（-1,0），点E（4，5），与y轴交于点B,连接AB.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将厶ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F.
1当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和厶ABF的面积；
2当点F到直线AE的距离为样弓时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标.
37.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y（x-a）（x-3）（Ovav3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP丄x轴，垂足为点P,连接ADBC.
（1）求点A、BD的坐标；
（2）若厶AOD与厶BPC相似，求a的值；
（3）点D、0、CB能否在同一个圆上？
若能，求出a的值；若不能，请说明
38.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a^0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4,
8），对称轴为直线x=-2.
（1）
求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为xi,x2（xi时，求k的值；
（3）连接0B,点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作0B的平行线交直线
AB于点Q，当Sapoq:
SabocfI:
2时，求出点P的坐标.
（坐标平面内两点M（为，y1）,N（x2,2）之间的距离MN=...）
39.如图，在平面直角坐标系中，/ACB=90,0C=20Btan/ABC=2点B的坐标为（1,0）.抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PEdDE.
2
1求点P的坐标；
2在直线PD上是否存在点M,使厶ABM为直角三角形？
若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.
40.如图1，经过原点O的抛物线y=af+bx（a、b为常数，a^0）与x轴相交于另一点A（3，0）.直线I:
y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5,t），与抛物线的对称轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P,使以点P、0、C为顶点的三角形与以点A、0、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线I沿着x轴向右平移得到直线I，I与线段0A相交于点M，与x轴下方
的抛物线相交于点N,过点N作NE±x轴于点〔.把厶MEN沿直线I折叠，当点
E恰好落在抛物线上时（图2）,求直线I的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3）,直线I与y轴相交于点心把厶M0K绕点0顺时针旋转90°得到△M0K点F为直线I上的动点.当厶M'FK为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标.
2018年07月10日139****3005的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一•选择题（共1小题）
1•如图，点A,B在双曲线y—（x>0）上，点C在双曲线y」-（x>0）上，若
AC//y轴，BC//x轴，且AC=BC贝UAB等于（）
O|Y
A.「B.2:
■:
C.4D.3.■:
【解答】解：
点C在双曲线y亠上,AC//y轴，BC//x轴,
x
设C（a,右），则B（3a,右）,A（a,号），
•••AC=BC
解得a=1,（负值已舍去）
•••C（1,1）,B（3,1）,A（1,3）,
•••AC=BC=2
•••RtAABC中，AB=2:
故选：
B.
二.解答题（共39小题）
2.如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为
（1）求抛物线的表达式;
（2）设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M，使第21页（共107页）
得四边形CDPM是平行四边形？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2,连接BC,PB,PC,设厶PBC的面积为S.
1求S关于t的函数表达式；
2
求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.
•••抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
（2）在图1中，连接PC,交抛物线对称轴I于点E,
•••抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点,•••抛物线的对称轴为直线x=1.
当t=2时，点C、P关于直线I对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形.
•••抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,
•点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）,
•点M的坐标为（1,6
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