二次函数根的判别式韦达定理.docx
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二次函数根的判别式韦达定理
二次函数根的判别式、韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理
一、根的判别式
1.一元二次方程根的判别式的定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到
，显然只有当
时，才能直接开平方得：
．
也就是说，一元二次方程
只有当系数
、
、
满足条件
时才有实数根．这里
叫做一元二次方程根的判别式．
2.判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程
的根由其系数
、
、
确定，它的根的情况（是否有实数根）由
确定．
判别式：
设一元二次方程为
，其根的判别式为：
则
①
方程
有两个不相等的实数根
．
②
方程
有两个相等的实数根
．
③
方程
没有实数根．
若
，
，
为有理数，且
为完全平方式，则方程的解为有理根；
若
为完全平方式，同时
是
的整数倍，则方程的根为整数根．
说明:
（1）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:
上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，
;有两个相等的实数根时，
;没有实数根时，
．
（2）在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式
判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当
时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点；
②当
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点．
3.一元二次方程的根的判别式的应用：
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；
1
2
3若
，则
必有一根
．
4若
，则
必有一根
．
⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：
1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
3已知方程的两根，求作方程；
4结合根的判别式，讨论根的符号特征；
5逆用构造一元二次方程辅助解题：
当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的
．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
例题
一、判断方程根的情况
【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）
；
（2）
；（3）
。
【例2】不解方程，判别方程
的根的情况。
【例3】解关于
的方程
【例4】已知关于
的方程
①有两个相等的实数根．
求证：
关于
的一元二次方程
②必有两个相等的实数根．
【巩固】已知
，
，判断关于
的方程
的根的情况，并给出必要的说明.
【巩固】（1998年山东省竞赛）设
、
、
为互不相等的非零实数，求证：
三个方程
，
，
，
不可能都有2个相等的实数根．
二、应用题
【例5】（2006·湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效．下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到0.1%）．
全市一共有13233个自然村，2005年已建成生态文明村2315个，计划到2007年全市生态文明村数要达到自然村总数的24.4%
领导，按这个计划，从2005年到2007年，平均每年生态文明村增长率约是多少？
领导
市民
【巩固】（2006·新疆）2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市2004年9月招收区内初中班学生50名，并计划在2006年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．
【例6】（2006·重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克.问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?
用油的重复利用率是多少？
【例7】（2006·南安）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价
元，，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？
【例8】（2006·诸暨市）有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?
【例9】（2006·广东省）将一条长为
的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于
吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
三、韦达定理
【例10】（2006·广安市）已知:
的两边
、
的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:
取何值时,
是以
为斜边的直角三角形?
【例11】已知关于
的一元二次方程
.
（1）若方程有两个相等的实数根，求
的值；
（2）若方程的两实数根之积等于
，求
的值．
【巩固】已知关于
的方程
（1）当
取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设
、
是方程的两根，且
，求
的值。
【例12】（2006·济南市）已知关于
的方程
有两个不相等的实数根
，且满足
，求
的值．
【例13】已知
、
是关于
的一元二次方程
的两个非零实数根，问：
与
能否同号？
若能同号请求出相应的
的取值范围；若不能同号，请说明理由。
【巩固】证明：
方程
无整数根。
【例14】已知
、
是一元二次方程
的两个实数根。
（1）是否存在实数
，使
成立？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使
的值为整数的实数
的整数值。
【巩固】已知关于
的方程
的两个实数根的倒数和等于3，关于
的方程
有实根，且
为正整数，求代数式
的值。
作业题
1．已知关于
的方程
只有整数根，且关于
的一元二次方程
的两个实数根为
、
。
（1）当
为整数时，确定
的值。
（2）在
（1）的条件下，若
＝2，求
的值。
2．已知
、
是关于
的一元二次方程
的两个非零实根，问：
、
能否同号？
若能同号，请求出相应
的取值范围；若不能同号，请说明理由。
3．设
、
是方程
的两根，则①
＝；②
＝；③
＝。
4．以方程
的两根的倒数为根的一元二次方程是。
5．已知方程
的两实根差的平方为144，则
＝。
6．已知方程
的一个根是1，则它的另一个根是，
的值是。
7．反比例函数
的图象经过点
（
、
），其中
、
是一元二次方程
的两根，那么点
的坐标是。
8．已知
、
是方程
的两根，则
的值为。
9．不解方程，判别下列方程的情况：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）
；（6）
10．练习：
不解方程，判别下列方程的根的情况。
（1）
；
（2）
；
（3）
11．（南通市）据2005年5月8日《南通日报》报道：
今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿消费为3438.24万元。
（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？
旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？
（2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到3.42亿元的目标，那么2005年到2007年的平均增长率是多少？
2005年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图：
12．（2006·永州市）李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获期．今年收获油桃6912千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为4800千克．试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克？
13．已知关于
的方程
……①有两个不相等的实数根，且关于
的方程
……②没有实数根，问：
取什么整数时，方程①有整数解？
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