重庆市中考数学第四章三角形第3节全等三角形练习册68.docx
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重庆市中考数学第四章三角形第3节全等三角形练习册68
第3节 全等三角形
(建议答题时间:
60分钟)
基础过关
1.如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=( )
A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB
第1题图 第2题图
2.(人教八上第44页11题改编)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DEB.AC=DFC.∠A=∠DD.BF=EC
3.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
第3题图第4题图第5题图
4.
(2017怀化)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:
____________________________,使得△ABC≌△DEC.
5.如图,AB∥CF,E为DF的中点,AB=10,CF=6,则BD=________.
6.如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为________.
第6题图
7.(2017福建)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:
∠A=∠D.
第7题图
8.(2017武汉)如图,点C、F、E、B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,写出CD与AB之间的关系,并证明你的结论.
第8题图
9.(2017南充)如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,求证:
AC∥BD.
第9题图
10.(2017重庆巴南区期中检测)如图,在四边形ABCD中,点E在对角线AC上,AB∥DE,∠ACB=∠ADE,AB=EA,求证:
AC=ED.
第10题图
11.(人教八上第44页4题改编)如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:
AB=AC.
(1)你添加的条件是________________;
(2)请写出证明过程.
第11题图
12.(2017重庆一中期中考试)如图,AF∥DE,点B、C在线段AD上,且∠E=∠F,连接FC、EB,延长EB交AF于点G.
(1)求证:
BE∥CF;
(2)若CF=BE,求证:
AB=CD.
第12题图
13.(2017苏州)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:
△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
第13题图
14.(2017哈尔滨)已知,△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图①,求证:
AE=BD;
(2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
第14题图
满分冲关
1.(2017滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
第1题图第2题图
2.(2018原创)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:
①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.(2017新疆建设兵团)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中:
①∠ABC=∠ADC;
②AC与BD互相平分;
③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;
④四边形ABCD的面积S=
AC·BD,正确的是________.(填写所有正确结论的序号)
第3题图
4.(2017温州)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.
(1)求证:
△ABC≌△AED;
(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.
第4题图
5.(2017荆门)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.
第5题图
6.(2017齐齐哈尔)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.
(1)求证:
DE=DF,DE⊥DF;
(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.
第6题图
7.(2017德阳)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.
(1)证明:
△CFG≌△AEG;
(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.
第7题图
8.(2017北京)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
第8题图
9.(2018原创)已知△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上.
(1)如图①,当AC⊥DE,且AD=2时,求线段BC的长度;
(2)如图②,当CD⊥BE时,取线段BC的中点F,线段DC的中点G,连接DF,EG,求证:
DF=EG.
第9题图
答案
基础过关
1.A 2.C
3.D 【解析】∵AB=AC,D为BC中点,∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90°,
在△ABD和△ACD中,
,∴△ABD≌△ACD(SSS),∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,AE=CE,在△AOE和△COE中,
,∴△AOE≌△COE(SSS);
在△BOD和△COD中,
,∴△BOD≌△COD(SAS);在△AOC和△AOB中,
,∴△AOC≌△AOB(SSS).
4.AB=DE(答案不唯一)
5.4 【解析】∵AB∥CF,∴∠ADE=∠CFE,∵E是DF的中点,∴DE=EF,在△ADE与△CFE中,
,∴△ADE≌△CFE(ASA),∴AD=CF,∵AB=10,CF=6,∴BD=AB-AD=10-6=4.
6.120° 【解析】∵△ACD和△BCE均为等边三角形,∴∠DCA=∠BCE=60°,AC=DC,BC=EC,∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠BCE+∠ACB=∠ACE,∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CDB=∠CAE,∴∠AOB=∠DAO+∠ADO=∠DAC+∠CAE+∠ADC-∠CDB=∠ADC+∠DAC=120°.
7.证明:
∵BE=CF,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠A=∠D.
8.解:
CD∥AB,CD=AB.
证明:
∵CE=BF,
∴CF=BE,
又∵∠CFD=∠BEA,DF=AE,
∴△CFD≌△BEA(SAS),
∴CD=AB,∠C=∠B,
∴CD∥AB.
9.证明:
∵DE⊥AB,CF⊥AB,
∴∠BED=∠AFC=90°,
又∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE.
在△ACF和△BDE中,
,
∴△ACF≌△BDE(SAS),
∴∠A=∠B,
∴AC∥BD.
10.证明:
∵AB∥DE,
∴∠BAC=∠AED,
在△ABC和△EAD中,
,
∴△ABC≌△EAD(AAS),
∴AC=ED.
11.
(1)解:
∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等;
(2)证明:
若添加的条件为∠B=∠C,在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC;
若添加的条件为∠ADB=∠ADC,在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(ASA),
∴AB=AC.
12.证明:
(1)∵AF∥DE,
∴∠E=∠AGE,
∵∠E=∠F,
∴∠F=∠AGE,
∴BE∥CF;
(2)∵AF∥DE
∴∠A=∠D,
在△ACF和△DBE中,
,
∴△ACF≌△DBE(AAS),
∴AC=DB,
∴AB=CD.
13.
(1)证明:
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE,
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2,
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED,
在△AEC和△BED中,
,
∴△AEC≌△BED(ASA);
解:
(2)∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE,
在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
14.
(1)证明:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:
△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.
满分冲关
1.B 【解析】如解图,过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD,根据角平分线的性质可得PC=PD,∵OP一定,∴OC=OD.∵∠AOB是定角,∠MPN与∠AOB互补,∴∠MPN也为定角.∵∠CPD与∠AOB也互补,∴∠MPN=∠CPD,∴∠MPC=∠NPD,∴△MPC≌△NPD(ASA),∴CM=DN,MP=NP.故
(1)正确;∵OM+ON=OC+CM+OD-DN,∴OM+ON=OC+OD,∵OC=OD为定长,∴OM+ON为定长.故
(2)正确;∵△MPC≌△NPD,∴S四边形MONP=S△CMP+S四边形CONP=S△NPD+S四边形CONP=S四边形CODP.∴四边形MONP面积为定值.故(3)正确;∵Rt△MPC中,MP为斜边,CP为直角边,∴可设MP=kCP,∴PN=kDP,∵∠MPN=∠CPD,∴△MPN∽△CPD,其相似比为k,∴MN=kCD,当点M与点C重合,点N和点D重合时,MN=CD,当点M与点C不重合,点N与点D不重合时,MN≠CD,∴MN的长度在发生变化.故(4)错误.
第1题解图
2.A 【解析】∵BF∥AC,∴∠C=∠CBF,∵BC平分∠ABF,∴∠ABC=∠CBF,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC,∵AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,AD⊥BC,故②③正确,在△CDE与△BDF中,
,
∴△CDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF,CE=BF,故①正确;∵AE=2BF,∴AC=3BF,故④正确.故选A.
3.①④ 【解析】在△ABC与△ADC中,
,∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC,故①正确;∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,∴AC平分∠BAD、∠BCD,故③错误;又∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,∴OB=OD,∴AC,BD互相垂直,但不平分,故②错误;∵AC,BD互相垂重,∴四边形ABCD的面积S=
AC·BO+
AC·OD=
AC·BD.故④正确,综上所述,正确的结论是①④.
4.
(1)证明:
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠BCD-∠ACD=∠EDC-∠ADC
即∠BCA=∠EDA,
在△ABC与△AED中,BC=ED,∠BCA=∠EDA,AC=AD,
∴△ABC≌△AED(SAS);
(2)解:
∵△ABC≌△AED,
∴∠E=∠B=140°,
∵五边形ABCDE内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠BAE=540°-2×90°-2×140°=80°.
5.
(1)证明:
∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
∵AB∥CF,
∴∠BAF=∠AFC,
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)解:
由
(1)知CD=2DE,
∵DE=2,
∴CD=4,
在Rt△ABC中,点D为AB的中点,
∴AB=2CD=8,AD=CD=
AB.
∵AB∥CF,
∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°,
∴∠DAC=∠ACD=
∠BDC=
×60°=30°,
∴在Rt△ABC中,BC=
AB=
×8=4.
6.
(1)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在△BDG和△ADC中,
,
∴△BDG≌△ADC(SAS),
∴BG=AC,∠BGD=∠C,
∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分别是BG,AC的中点,
∴DE=
BG=EG,DF=
AC=AF,
∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,
∴∠EDG+∠FDA=90°,
∴DE⊥DF;
(2)解:
∵AC=10,
∴DE=DF=5,
由勾股定理得,EF=
=5
.
7.
(1)证明:
∵E是AB的中点,且CE⊥AB,
∴CA=CB.
∵F是BC的中点,且AF⊥BC,
∴AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴
AB=
BC,∴AE=CF,
在△CFG和△AEG中,
,
∴△CFG≌△AEG(AAS);
(2)解:
如解图,连接GD,
第7题解图
∵AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形,从而△CAD也为等边三角形,
∵AF⊥BC,
∴∠GAC=∠EAF=30°,
又∵AE=
AB=2,
∴在Rt△AEG中,AG=
AE=
,
∵∠GAD=∠GAC+∠CAD=90°,
∴在Rt△ADG中,根据勾股定理得:
GD2=AG2+AD2,
即GD2=(
)2+42,
∴GD2=
,
∴GD=
.
8.解:
(1)∵∠ACP=90°,
∴在Rt△ACP中,∠CAP+∠APC=90°,
∵HQ⊥AP,
∴在Rt△HPQ中,∠Q+∠HPQ=90°,
又∵∠APC=∠HPQ,∠CAP=α,
∴∠Q=α,
又∵在等腰Rt△ABC中,∠B=∠BAC=45°,
∴∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α;
(2)PQ=
BM.
证明:
如解图,连接AQ,过点M作MN⊥BQ于点N.
第8题解图
∵∠ACP=90°,CQ=CP,∠CAP=α,
∴∠CAQ=∠CAP=α,AP=AQ,PQ=2CP,
又∵∠BAC=45°,
∴∠MAQ=∠BAC+∠CAQ=45°+α=∠AMQ,
∴AQ=MQ,
∴AP=MQ,
又∵MN⊥BQ,
∴∠ACP=∠QNM=90°.
在Rt△APC和Rt△QMN中,
,
∴Rt△APC≌Rt△QMN(AAS),
∴CP=MN,∴PQ=2MN,
又∵在Rt△BMN中,∠B=45°,
∴BM=
MN,∴PQ=
BM.
9.
(1)解:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,AC⊥DE,AD=2,
∴BC=AC,DE=AD=2,DF=
DE=1,AF=CF,
∴AF=
=
,
∴AC=2AF=2
,∴BC=2
;
(2)证明:
连接CE,FG,如解图所示:
第9题解图
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E同一在一条直线上.
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°,
∵CD⊥BE,
∴∠DCE=30°,
∴DE=
CE,
∵线段BC的中点为F,线段DC的中点为G,
∴FG∥BD,FG=
BD,
∴FG∥DE,FG=DE,
∴四边形DFGE是平行四边形,
∴DF=EG.