数学练习题.docx

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数学练习题

1.在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：

如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：

DM=DN，AE=DF；

（2）拓展探究：

若AC≠BC．

①如图2，若D为AB中点，

（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

2.如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.

（1）当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则

的值为　　　　　.

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0＜α＜60°）角，如图2，求

的值；

（3）在

（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP:

PC=1：

2时，如图3，

的值是否变化？

证明你的结论.

3.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2-25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．

（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．

（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，

设P1（a，

），则CP1=a，OC=

，

∵四边形A1B1P1P2为正方形，

∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，

∴OB1=P1C=A1D=a，

∴OA1=B1C=P2D=

﹣a，

∴OD=a+

﹣a=

，

∴P2的坐标为（

，

﹣a），

把P2的坐标代入y=

 （x＞0），得到（

﹣a）•

=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，

∴P2（2，1），

设P3的坐标为（b，

），

又∵四边形P2P3A2B2为正方形，

∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，

∴P3E=P3F=DE=

，

∴OE=OD+DE=2+

，

∴2+

=b，解得b=1﹣

（舍），b=1+

，

∴

=

=

﹣1，

∴点P3的坐标为（

+1，

﹣1）．

故答案为：

（

+1，

﹣1）．

（1）设P2的坐标为（x，y），作P2M⊥x轴，垂足为M．

∵OP2=2OP1=2OPO=2×1=2．∠P2OM=30°，

∴y=MP2=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=

3

，

∴P2的坐标为（

3

，1）；

（2）按照这样的变化规律，点P23、P24又回到了x轴的正半轴上，

∵2003=24×83+11，

∴点P2003落在x轴的负半轴上，

∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23，…

∴OP2003=OP2002=21001，

∴点P2003的坐标为（-21001，0）．

转一圈是360度,分12次旋转,即第二圈到X正半轴的点为P24,延长P24得P25,进行下一次旋转,经过83圈到X正半轴的点为P1992,可以容易算出,P2010的点在Y轴的负半轴上.

下面算OP的长度增长函数：

OP1=1,

OP2=1,OP3=2

OP4=2,OP5=4

OP6=4,OP7=8

OP8=8,OP9=16

……

可推出当OPn,当n为偶数时,OPn=2^（n/2-1）

所以OP2010=2^（2010/2-1）=2^1004

又OP2010在Y轴的负半轴上,所以OP2010的坐标为（0,-2^1004）

齐齐哈尔市2016年数学学科考试说明

三、命题依据

《2016年中考改革方案》；《义务教育数学课程标准（2011年版）》；《齐齐哈尔市2016年数学学科考试说明》；人民教育出版社出版的义务教育教科书.

四、命题范围

以本地区使用的人民教育出版社出版的义务教育教科书为基准．

五、考查方式

考试采用闭卷笔答方式（实行网上集中阅卷），满分分值为120分，考试时间为120分钟．

六、试卷结构

数与代数内容约占50％，空间与图形内容约占40％，概率与统计内容约占10%.

试题的难度系数为0.6～0.7.

整卷难度与能力要求：

基本能力占50％，透彻理解掌握数学概念、数学思想方法占30％，综合运用知识、创新能力占20％．试题易、中、难内容的比为7：

2：

1，在后两个比中体现区分度．

题型分为单项选择题，填空题，解答题，共26道小题.其中单项选择题为10道小题，满分30分；填空题为9道小题，满分27分；解答题7道小题（其中包括计算题、图形变换、二次函数图象与性质、几何证明与计算、统计初步应用、一次函数图象信息题、数形结合题等），满分为63分.

七、考查内容

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所要求的全部知识和技能中，选择命题内容．根据我市教学及教材使用情况，考查知识点具体如下：

数与代数（62个考点）

1．有理数：

（1）理解有理数的意义．

（2）会比较有理数大小．

（3）借助数轴理解相反数和绝对值的意义．

（4）会求有理数的相反数．

（5）会求有理数的绝对值；知道｜a｜的含义（a表示有理数）绝对值符号内不含字母．

（6）掌握有理数的加、减、乘、除、乘方．

（7）掌握简单的混合运算，能运用运算律简化运算；有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算以三步为主．

（8）理解有理数的运算律．

（9）能灵活处理较大数字的信息．

（10）能运用有理数的运算解决简单的问题．

2．实数：

（11）了解平（立）方根、算术平方根的概念．

（12）会用根号表示数的平（立）方根．

（13）会求平（立）方根．

（14）了解无理数、实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．

（15）能用有理数估计无理数的大致范围．

（16）了解近似数的概念．

（17）了解二次根式、最简二次根式的概念，及二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则．

（18）会进行实数的简单四则运算，实数的简单四则运算不要求分母有理化．

3．代数式：

（19）理解代数式的意义及表示．

（20）理解代数式的实际背景或几何意义．

（21）会求代数式的值．

4．整式与分式：

（22）了解整数指数幂的意义及基本性质．

（23）会用科学记数法表示数．

（24）了解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，会进行简单的整式加、减运算及简单的乘法运算；简单的整式乘法运算中，多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘；乘法公式指：

（a+b）（a-b）=a2-b2,（a±b）2=a2±2ab+b2；因式分解（指数是正整数）时，直接用公式不超过二次．

（25）会推导乘法公式并能进行简单运算．

（26）会用提公因式法、公式法进行因式分解．

（27）掌握分式、最简分式的概念及基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分．

（28）会进行简单的分式加、减、乘、除运算．

5．方程（组）：

（29）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．

（30）经历估计方程解的过程．

（31）掌握等式的基本性质．

（32）会解一元一次方程．

（33）会解简单的二元一次方程组；解可化为一元一次方程的分式方程，方程中的分式不

超过两个；会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．

（34）会解可化为一元一次方程的分式方程．

（35）掌握一元二次方程及其解法．

（36）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．

（37）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

6．不等式（组）：

（38）掌握不等式的概念及基本性质．

（39）会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示出解集．

（40）会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．

（41）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．

7．函数：

（42）探索简单实例中的数量关系及变化规律．

（43）了解常量、变量的意义．

（44）了解函数的概念及三种表示方法．

（45）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．

（46）掌握函数的自变量取值范围、会求出函数值．

（47）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系．

（48）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．

（49）掌握一次函数的概念及表达式．

（50）会用待定系数法确定一次函数的表达式．

（51）能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况．

（52）理解正比例函数．

（53）体会一次函数与二元一次方程的关系．

（54）能用一次函数解决实际问题．

（55）掌握反比例函数的概念及表达式．

（56）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y=（k≠0）探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况．

（57）能用反比例函数解决某些实际问题．

（58）掌握二次函数的概念及表达式．

（59）掌握二次函数的图象及性质．

（60）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，公式不要求记忆和推导．

（61）掌握二次函数的应用；确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围．

（62）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

图形与几何（87个考点）

（一）图形的性质

8．点、线、面、角

（63）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等．

（64）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义．

（65）掌握基本事实：

两点确定一条直线．

（66）掌握基本事实：

两点之间线段最短．

（67）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离．

（68）理解角的概念，能比较角的大小．

（69）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差．

9．相交线与平行线

（70）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质．

（71）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．

（72）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．

（73）掌握基本事实：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（74）识别同位角、内错角、同旁内角．

（75）理解平行线概念;掌握基本事实：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

（76）掌握基本事实：

过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线．

（77）掌握平行线的性质定理：

两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．

（78）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．

（79）探索并证明平行线的判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行；探索并证明平行线的性质定理：

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．

（80）了解平行于同一直线的两条直线平行．

10．三角形

（81）理解三角形及其内角、外角、角平分线、中线、高线等概念，了解三角形的稳定性.会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类．

（82）探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边．

（83）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．

（84）掌握基本事实：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

（85）掌握基本事实：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

（86）掌握基本事实：

三边分别相等的两个三角形全等．

（87）证明定理：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

（88）探索并证明角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

（89）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

（90）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：

等边三角形的各角都等于60º，及等边三角形的判定定理：

三个角都相等的三角形（或有一个角是60º的等腰三角形）是等边三角形．

（91）了解直角三角形的概念，探索并证明直角三角形的性质定理：

直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握两个锐角互余的三角形是直角三角形．

（92）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．

（93）掌握三角形的中位线定理．

（94）了解三角形重心的概念．掌握相似三角形判定定理．

11．四边形

（95）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式．

（96）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性．

（97）探索并证明平行四边形的性质定理：

平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（98）了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离．

（99）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：

矩形的四个角的都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：

三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质．

（100）探索并证明三角形的中位线定理．    

12．圆

   （101）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系．

   （102）了解垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

   （103）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：

同一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；了解并证明圆内接四边形的对角互补．

（104）知道三角形的内心和外心．

（105）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．

   （106）掌握切线长定理：

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．

   （107）会计算圆的弧长、扇形的面积．

   （108）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

13．尺规作图

（109）能用尺规完成以下基本作图：

作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．

   （110）会利用基本作图作三角形：

已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．

   （111）会利用基本作图完成：

过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．

   （112）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

 14．定义、命题、定理

   （113）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.

   （114）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．

   （115）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式．

   （116）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．

（117）通过实例体会反证法的含义．

（二）图形的变化

15．图形的轴对称

（118）通过具体实例认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分．

（119）能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．

（120）掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆）的对称性及相关性质．

（121）了解并识别现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行图案设计．

16．图形的旋转

（122）通过具体实例认识旋转，了解它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．

（123）了解平行四边形、圆是中心对称图形．会识别中心对称图形．

（124）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．

（125）了解旋转在现实生活中的应用．

17．图形的平移

（126）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等．

（127）能按要求作出简单平面图形平移后的图形，并指出平移前后的距离和方向．

（128）利用平移进行图案设计，并能解决简单的计算问题（认识和欣赏平移在现实生活中的应用）．

（129）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

（130）能综合运用轴对称、平移和旋转解决有关问题．

18．图形的相似

（131）了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，并会判断是否成比例及计算未知线段，通过实例了解黄金分割．会用比例的基本性质解决有关问题．

（132）认识图形的相似，掌握相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．

（133）了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件与性质，并能够进行简单推理、计算和应用．

（134）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．

（135）通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．

（136）通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA,tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；能利用所给三角函数的对应值，解决与直角三角形有关的简单的实际问题．

（137）运用三角函数解决与直角三角形有关的四边形的计算和简单实际问题．

19．图形的投影

（138）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念．

（139）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体．

（140）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据?

开图想象和制作实物模型．

（141）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用．

（三）图形与坐标

20．坐标与图形位置

（142）认识并能画出平面直角坐标系；会根据坐标在给定的直角坐标系中描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；会求已知点与坐标轴的距离．

（143）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置．

（144）在同一直角坐标系中，理解图形变换前后点的坐标之间的联系．

（145）灵活运用不同的方式确定物体的位置．

21．坐标与图形运动

（146）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．

（147）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系．

（148）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．

（149）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．

统计与概率（13个考点）

22．抽样与数据分析

（150）会收集、整理、描述和分析数据，能处理简单的统计数据．

（151）了解抽样的必要性，能指出总体、个体、样本、样本容量，知道不同的抽样可能得到不同的结果．

（152）会用扇形统计图，能用统计图直观、有效的描述数据．

（153）理解平均数、众数、中位数的意义；会求一组数据的平均数、众数、中位数，在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度．

（154）会探索如何表示一组数据的离散程度，会计算简单数据的方差，并会用其表示数据的离散程度．

（155）理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，会画频数分布直方图，并能解决简单的实际问题．

（156）体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来推断总体的平均数和方差．

（157）能根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点．

（158）能根据问题或有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据提出自己的看法．

（159）能应用统计知识解决在社会生活及科学领域中一些简单的实际问题．

（160）通过表格、折线图等了解随机现象的变化趋势．

23．事件的概率

（161）在具体情境中了解概率的意义，理解不可能事件、必然事件及随机事件的概念，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率．

（162）会通过实验，获得事件发生的频率，会通过实验，估计事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值．

∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，

∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，

∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠AEB=∠CED，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，

∴BE⊥ED，故

（1）正确；

∵点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，

∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，

又∵△ACE为等腰直角三角形，∴AE=CE，

在△AEF和?

CED中，∠AEF＝∠CED，AE＝CD，∠