直角三角形有关的题目的练习.docx
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直角三角形有关的题目的练习
第十一课时
课题
回顾与思考
（二）
教学目标
（一）教学知识点
1．通过与等腰三角形性质与判定有关的
题目的练习对所学知识进行复习、巩固．
2．通过与直角三角形有关的题目的练习
对所学知识进行复习、巩固．
3．通过尺规作图的练习，复习、巩固所学知识．
4．通过对命题的逆命题及其真假练习，
复习相关内容．
（二）思维训练要求
1．进一步体会证明的必要性，发展学生
初步的演绎推理能力．
2．进一步掌握综合法的证明方法，结合
实例体会反证法的含义．
3．提高学生用规范的数学语言表达论证
过程的能力．
（三）情感与价值观要求
1．积极参与数学学习活动，对数学的证明有好奇心和求知欲．
2．培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
通过对相关题目的练习，对所学知识进行复习巩固．
教学难点
探索证明的思路和方法
教学方法
引导一探究法
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，建立“练习”平台
多媒体演示
如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形?
试说明理由．
[师]你能用我们这一章所学知识对这个问题进行探究吗?
[生]折叠后重合部分是三角形．
[生]我认为折叠后重合部分是等腰三角形．
[师]你能说一下理由吗?
[生]根据题意，可知△BED≌BCD（两个互相重合的图形是全等形）．
∴∠FBD＝∠CBD（全等三角形的对应角相等）．
又∵在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠FDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠FBD＝∠FDB．
∴FB＝FD（等角对等边），
即△BFD（重合部分）是等腰三角形．
[师]很好!
我们发现用这一章所学的知识可以解释很多问题，接下来我们再来看一些题目．
Ⅱ．借助“练习”平台，复习巩固所学知识
[师]我们曾证过命题：
等腰三角形两底角的平分线相等，随后我们将此问题由特殊结论归纳为一般结论，即在△ABC中，如果AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，D、E分别为AC、AB上的点，那么BD＝CE．你能把这个命题改造一下，得到一个新命题吗?
请同学们在小组内讨论交流.
[生]新命题：
在△ABC中，如果∠ABD＝∠ACE，D、E分别是AC、AB上的点且BD＝CE，那么AB=AC．
[师]它是真命题还是假命题呢?
[生]是一个真命题．
[师]你能简单地说明推理过程吗?
[生]如图，在△ABD和△ACE中，
∵∠ABD=∠ACE，
∠A=∠A，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE
（AAS）．
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）．
[生]新命题：
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，且D、E分别是AC、AB上的点，那么∠ABD=∠ACE．
[师）它是真命题还是假命题呢?
[生]是真命题．
如图，在△ABD和△ACE中，
AB=AC，BD＝CE，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE（SSA）．
∴∠ABD＝∠ACE（全等三角形对应角相等）.
[生]这个同学推理有错误，因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，我认为上面的命题是假命题，以B为圆心，BD长为半，则B径作弧交AC于F点F＝BD．又∵BD=CE，∴BF＝CE，但∠BFA≠∠ACE．
[师]这位同学能抓住问题的关键去认真思考，得出了正确的结论，祝贺你!
这个命题确实是假命题，还能找到新命题吗?
[生]没有啦．
[师]我们可以把上面的问题归结成一个题目：
在△ABC中，有①AB＝AC，②∠ABD=∠ACD，③BD＝CE，如果由其中两个推出另一个，你可以得到几个命题，有哪些是真命题?
有哪些是假命题?
你还能提出类似的问题吗?
[生]我们类似地证明过：
等腰三角形两条腰上的中线相等，将此命题由特殊推广到一般情况，就得到了：
△ABC中，AB=AC，AD＝AF，那么BD＝CE．由此得到一个题目：
在△ABC中，有①AB＝AC，②AD=AE，③BD＝CE（D、E分别在AC、AB上）如果由其中两个推出另一个，你可以得到几个命题，有哪些是真命题?
有哪些是假命题?
[师]真不错!
下面就请同学们讨论
解答．
[生]可得到三个命题：
1．在△ABC中，①AB＝AC，②AD＝AE，那么③BD＝CE．
2．在△ABC中，②AD＝AE，③BD＝CE，那么①AB＝AC．
3．在△ABC中，①AB=AC，③BD＝CE，那么②AD=AE.
其中第1个是真命题，第2、3个是假命题．
[师]你能说明理由吗?
[生]可以，如图△ABC，
我们先来看第1个命题：
在△ABD和△ACE中
∵AB＝AC，∠A=∠A，
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
对于第2个命题，可以这样推理：
在△BAD和△CAE
中，BD=CE，AE＝AD，
但△BAD和△CAE不全
等，因此AB≠AC．
第3个命题也是假命题，由前面的推理可知．
（上面两个题目都是开放性题目，对于培养大学生的逻辑推理能力和创新、反思的意识是一个很好的途径，可以引导学生提出更多的问题）
[师]下面我们再来看几个题目：
多媒体演示，
[例1]已知：
如图，BD、
CE是△ABC的高，且BD＝CE，
求证：
△ABC是等腰三角形．
分析：
要证AB＝AC，可用三角形全等，也可以用“等角对等边”．
证法一：
在△ABD和△ACE中，
∵∠AEC＝∠ADB=90°，
又∵BD＝CE，∠A＝∠A，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）
∴AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．
证法二：
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
∵BD＝CE，BC＝BC，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL定理）．
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）．
∴AB＝AC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形．
[例2]（2003年青海）已
知：
如图，CE⊥AB于点E，
BD⊥AC于点D，BD、CE交
于点O；且AO平分∠BAC
求证：
OB＝OC．
分析：
证明OB＝OC，可用全等三角形来证明；如△ABO≌△ACO或△BEO≌△COD．
证法一：
∵AO平分∠BAC，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴OE＝OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在Rt△BEO和Rt△COD中，
∵∠1＝∠2，OD＝OE．
∴Rt△BEO≌Rt△COD（ASA）．
∴OB＝OC（全等三角形的对应边相等）．
证法二：
∵AO平分∠BAC，
∴BAO＝∠CAO．
在Rt△AEO和Rt△ADO中，∠3＝∠4（等角的余角相等）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠AOB＝∠AOC．
又∵AO＝AO，∠BAO＝∠CAO，
∴△AOB≌△AOC（ASA）．
∴OB=OC（全等三角形的对应边相等）．
[例3]（2003年上海）在△ABC中，∠A:
∠B:
∠C＝1:
2:
3，CD⊥AB于点D,若BC＝a，求AD的长．
分析：
根据题意可先由∠A:
∠B:
∠C＝1：
2：
3来判断△ABC的形状．
解：
∵∠A:
∠B:
∠C＝1：
2：
3
可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C=3x，则
x+2x+3x＝180°,
∵x＝30°
则∠A＝30°，∠B=60°，∠C＝90°（如图）．
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝a．
∴AB＝2a（在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半）．
在Rt△BCD中，∠B=60°．
∴∠DCB＝30°，BC＝a．
∴BD=
BC＝
a（在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半）．
∴AD=AB-BD＝2a-
a＝
a．
[例4]（2003年广东广州）
如图，∠E＝∠F＝90°，∠B
＝∠C，AE＝AF，给出下列结
论：
①∠1＝∠2，②BE＝CF；
③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是.
解析：
应填写①②③．
理由：
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（AAS）．
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）．
∴①正确．
∴BE＝CF（全等三角形的对应边相等）．
∴②正确．
∴AC＝AB（全等三角形对应边相等）．
又∴∠B＝∠C，∠CAN=∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA）．
∴③正确．
而结论④无法推出是错误结论．
[例5]已知线段a，求作以a
为底，以20为高的等腰三角形．
作法：
（1）作线段AB=a;
（2）作线段AB的垂直平分线l，交AB于点D：
（3）在l上作线段DC，使DC＝2a，
（4）连结AB、AC；
ABC就是所求的等腰三角形（如图所示）．
[例6]如图，已知∠AOB，B为OB边上一点，求作一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且OP=PB．
分析：
由于OP=PB，根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点P在线段OB的垂直平分线上，而点P又到OA、OB的距离相等，根据“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，可知点P在∠AOB的平分线上，即P为OB的垂直平分线与∠AOB的角平分线的交点．
作法：
（1）作线段OB的垂直平分线l
（2）作∠AOB的角平分线OC交l于点P.
则点P为所求点．
Ⅲ．随堂练习
（多媒体演示）
已知：
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD
求证：
DB=DE．
证明：
∵△ABC是等边三角形．
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB=60°（等边三角形的三个内角相等，且都等于60°）．
又∵BD是中线，
∴BD平分∠ABC（“三线合一”）．
∴∠DBE＝30°．
∴∠DCE＝120°．
又∵DC＝CE，
∴∠E＝30°．
∴∠DBE＝∠E=30°
∴DB＝DE（等角对等边）．
思考：
如果把BD改为△ABC的角平分线或高，能否得出同样结论?
Ⅳ．课时小结
这节课我们安排了有关等腰三角形、直角三角形的一些例题、练习题，目的在于复习、巩固本章所学的知识，提高同学们的逻辑推理能力和数学符号语言的表达能力．
Ⅴ．课后作业
复习题B组
Ⅵ．活动与探究
（2003年上海）将两块三角
板如图放置，其中∠C＝∠EDB
＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，
AB＝DE=6，求重叠部分四边形DBCF
的面积．
[过程]四边形DBCF是不规则的四边形，求它的面积需转化为比较规则的图形面积的和或差，观察图形，不难发现S重叠部分四边形DBCF＝S△ABC-S△AFD．因此只需求S△ABC和S△AFD的大小即可．
[结果]S△ABC＝
×6×3＝9，
在Rt△DEB中，DE=6，∠E＝30°．
设DB＝x，则BE=2x，
∴（2x）2＝x+36，
3x2=36，
x2＝12，
x=2
，
即DB＝2
，
∴AD＝6-2
在Rt△AFD中，∠A＝45°，
∴△AFD是等腰直角三角形．
∴．SAFD=
×（6-2
）2-24-12
.
∴．S重叠部分四边形DBCF＝9-（24-12
）=12
-15．
板书设计
回顾与思考
（二）
一、提出问题——关于折叠
二、探究课本中的命题，使课本中命题得到
进一步的扩展和引申
1．已知△ABC中，①AB＝AC，
②∠ABD＝∠ACE③BD＝CE，由其中任意两个条件可推出另一个，你可以得到几个新命题，并判断它们的真假．
2．已知△ABC中，①AB＝AC，②AD＝AE，③BD＝CE，由其中任意两个条件可推出另一个，你可以得到几个新命题，并判断它们的真假．
三、例题（略）
四、练习（图）
备课资料
本章检测题
一、填空题
1．（2003年福建福州）等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度.
答案：
20°
2．如图，CD平分
∠ACD，AE//DC交BC
的延长线于点E，若
∠ACE＝80°，则∠CAE
＝度．
答案：
50°
3．（2003年新疆）如图，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌
△DEF，则还需补充的一个条件是.
答案：
AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E等
4．等腰三角形的两条边长为6和7，那么这个三角形的周长为.
答案：
19或20
5．如图，在△ABC中，
AB＝AC，∠C＝80°，MN是
AB的垂直平分线，那么∠NBC
=.
答案：
60°
6．如果△ABC的三边长a，b，c满足（a+2b-60）2+｜b-18｜+｜c-30｜＝0，则△ABC
是.
答案：
直角三角形
7．正三角形的边长是acm，则它的高等于.
答案：
a
8．若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是度．
答案：
90°
二、选择题
9．（2003年福建厦门）在△ABC中，I是三条角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A的度数是（）
A．40°B．50°C．65°D．80°
答案：
D
10．如图，D在AB
上，E在AC上，且∠B
＝∠C，那么补充下列
一个条件后，仍无法判
定△ABE≌△ACD的
是（）
A．AD＝AE
B．∠AEB＝∠ADC
C．BE＝CD
D．AB＝AC
答案：
B
11．（2003年山东
烟台）如图，△ABC中，
AD⊥BC于D，BE⊥AC于
E，AD交BE于F，若BF
＝AC，那么∠ABC的大小
是（）
A．40°B.45°
C．50°D．60°
答案：
B
12．已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边长是（）
A．2厘米B．4厘米
C.6厘米D．8厘米
答案：
B
13．如图，点C是
∠MON平分线上一点，CA
⊥ON，CB⊥OM，点A、B分
别为垂足，AB与OC相交于
点D，则下列关系成立的个
数是（）
①∠CAB＝∠CBA②AD=DB③∠AOB＝2∠CBD④OC垂直平分AB于点D⑤四边形OACB的面积等于
OC·AB
A．1B．2C.3D．4
答案：
D
14．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是角平分线且交AC于D点，若BD＝2，则
AB的长是（）
A．4B．
C．2
D．2
答案：
C
三、解答题
15．如图，在四边形ABCD中，AC＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠B=∠D＝90°，求四边形ABCD的面积．
答案：
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AE为BC边上的中线，AH⊥BC于H，且∠1＝∠2＝∠3，BC＝6cm，求AB的长．
答案：
过点E作EF⊥AC于F，可求得AB＝3cm．
四、证明题
17．在△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC．
求证：
∠ACB＝90°
答案：
作∠A的平分线AD，过点D作DE⊥AB于E．
18．已知：
如图，△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，CD为∠C的平分线，求证：
BC＝DC+AD．
答案：
方法一（补短法）：
延长CD到F，使DF＝AD，连结FB
方法二（补长法）：
在CB上截取CF＝CD，连结DF．
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