五年级数学下册图形与几何与复习.docx
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五年级数学下册图形与几何与复习
图形与几何整理与复习
整理教师:
刘新民
一、基础知识回顾
(一)观察物体。
1.摆物体:
根据从一个角度看到的物体形状,可以摆出不同的立体图形。
2.确定立体图形:
根据从三个不同方向看到的形状还原立体图形,首先从一个方向看到的形状分析,推测可能出现的各种情况;再结合从其它两个方向看到的形状综合分析;最后确定立体图形。
具体地说,从正面和侧面可以确定这个立体图形上下有几层,只要效果相同,但上一层的位置可以不同;从上面看,可以确定这个立体图形前后有几行,每行有几个,只要效果相同,上一层的个数不一定相同。
(二)长方体和正方体
1.长方体和正方体的认识。
(1)长方体的特征:
有6个面,相对的面完全相同;相对的棱的长度相等;有8个顶点。
(2)长方体的长、宽、高:
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
它的12条棱,被分成长、宽、高3组,每组4条,其棱长总和=(长+宽+高)×4。
(3)正方体的特征:
6个面完全相同,12条棱长度都相等,它的棱长总和=棱长×12,有8个顶点。
2.正方体侧面展开图
(1)正方体的平面展开图的形式。
形式一:
上面有1个正方形,中间有4个正方形,下面有1个正方形,这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称作(1、4、1)形展开图〕
形式二:
上面有2个正方形,中间有3个正方形,下面有1个正方形,这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为(2、3、1)形展开图〕
形式三:
上、中、下各有2个正方形,这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为(2、2、2)形展开图〕
形式四:
仅有2行,每行有3个正方形,这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为(3、3)形展开图〕
(2)、正方体平面展开图的特点:
①、当我们从正方体的某个顶点出发,最多只能观察到三个面,这三个面中必包括三组相对面中的各一个,且两个相对的面不能被同时看到。
②、平面展开图形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连。
③、正方体的平面展开图中一个公共顶点处最多只能出现三个正方形,与一个正方形相邻的正方形最多只能有四个。
④、正方体中原来处于相对位置上的两个面,展开后的正方形无公共顶点和公共边;反之,有公共顶点或公共边的两个正方形折叠成正方体后,必成为相邻面,不可能成为相对面。
注意:
凡是出现“田”字形、“凹”字形、五连长链和六连长链均不是正方体的平面展开图。
(3)、巧记正方体展开图的儿歌。
中间4个一连串,两边各一随便放,二三紧连错一个,三一相连一随便。
两两相连各错一,三个两排一对齐。
要找两个相对面,切记相隔一个面。
3.长方体和正方体的表面积和侧面积。
(1)长方体、正方体表面积和侧面积的意义:
长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积;长方体、正方体4个侧面的面积叫做它的侧面积。
(2)长方体表面积和侧面积的计算方法。
①长方体表面积的计算方法:
方法一:
长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2,用字母表示为S=(ab+bh+ah)×2。
方法二:
长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2,用字母表示为S=2ab+2bh+2ah。
②长方体侧面积的计算方法:
方法一:
长方体侧面积=(长×高+宽×高)×2,用字母表示为S=(ah+bh)×2。
方法二:
长方体侧面积=长×高×2+宽×高×2,用字母表示为S=2ah+2bh。
方法三:
长方体侧面积=底面周长×高,用字母表示为S=Ch。
(3)正方体的表面积和侧面积的计算方法:
①正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a2。
②正方体的侧面积=棱长×棱长×4,用字母表示为S=4a2。
4.长方体和正方体的体积。
(1)体积的意义:
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
(2)体积单位:
常用的体积单位有立方米、立方分米和立方厘米,用字母表示为m3、dm3、㎝3。
(3)长方体的体积公式:
长方体的体积=长×宽×高,用字母表示为V=abh。
(4)正方体的体积公式:
正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示为V=
a3。
(5)长方体、正方体体积的统一公式:
长方体(或正方体)的体积=底面积×高。
用字母表示为V=Sh。
(6)体积单位间的进率:
1m3=1000dm3,1dm3=㎝3。
(7)容积的意义:
容器所能容纳物体的体积,叫做它们的容积。
(8)容积单位:
升和毫升,用字母表示为L和mL。
(9)容积单位间的进率:
1L=1000mL。
(10)容积单位和体积单位间的换算:
1L=1dm3,1mL=1000㎝3。
(11)容积的计算方法:
长方体、正方体等规则容器的容积的计算方法和体积的计算方法相同,但要从容器的里面量长、宽、高。
(三)图形的运动
1.旋转。
(1)旋转的意义:
物体绕某一点或轴运动,这种运动现象叫做旋转。
(2)图形旋转的性质:
图形旋转,对应点、对应线段都旋转相同的角度,对应点到旋转点的距离相等,对应角相等。
(3)图形旋转的特征:
图形旋转后,形状、大小都没有变化,只是位置发生了变化。
2.解决问题。
利用旋转和平移可以进行图形拼组。
二、例题讲解
例1、用小正方体摆出从正面看是,从上面看是,从左面看是
的立体图形。
分析与解答:
(1)从正面看是,说明这个立体图形有上下两层,左边层,
右边两层,即
(2)从左边看是,说明这个立体图形有上下两层,前面一层,后面两
层,即
(3)从上面看是,说明第一层有4个小正方体,即,综
合上述,这个立体图形是
例2、以A为旋转中心把图形逆时针旋转90°。
分析与解答:
根据旋转的性质,这个图形绕A逆时针旋转90°,那么它的对应点也旋转90°,则点D绕A旋转90°后得到D′,线段AD和AD′的长度不变,即AD′也是4格,以AD′为准顺次作出“日”字的对角线分别找出B、C的对应点B′、C′,顺次连接AB′D′C′A,则图形AB′D′C′就是绕A旋转90°的图形(如上图)。
例3、一个长方体的底面周长是28㎝,高是4㎝。
这个长方体的棱长总和是多少?
分析与解答:
因为长方体的12条棱分成了长、宽、高3组,每组4条,根据“
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4”可知只要求出长、宽的和,由于长方体的底面周长是28㎝,所以长+宽=28÷2=14(㎝),那么这个长方体的棱长总和是(14+5)×4=76(㎝)。
例4、现在有几种规格的长方形、正方形铁皮。
从中选择6张铁皮,焊接一个长方体和一个正方体油箱,应选择哪种规格的铁皮?
分析与解答:
因为长方体的6个面一般是长方形,相对两个面完全一样,所以可以选①号铁皮2张,焊接成该长方体的上、下两个面,选②号铁皮2张,焊接成该长方体的左、右两个面,选③号铁皮2张,作该长方体的前、后两个面;因为正方体的6个面都是完全一样的正方形,所以选④号铁皮6张就可以焊接成一个正方体。
例5、工人师傅挖了一个长30m,宽25m,深2m的游泳池。
这个游泳池的占地面积是多少平方米?
如果给这个游泳池的底面和四周抹上水泥,抹水泥部分的面积是多少平方米?
分析与解答:
游泳池的占地面积就是游泳池的底面积,它的底面是一个长方形,则它的面积是长×宽,即30×25=750(平方米);抹水泥的面积就是求这个游泳池的侧面积与底面积的和,侧面积=底面周长×高(深),则四周抹水泥的面积为(30+25)×2×2=220(平方米),所以抹水泥的面积为220+750=970(平方米)。
例6、用一张长40㎝,宽20㎝的长方形铁皮制作一个高5㎝的无盖小铁盒。
画一画,可以怎样制作?
做成的长方体小铁盒的容积是多少?
(铁皮的厚度不计)
分析与解答:
方法一:
在长方形的铁皮四角上剪去一个边长为5㎝的正方形,如下图。
要求这个长方体的容积关键求出它的长、宽、高,从图上可以看出它的长=40-5×2=30(㎝),宽=20-5×2=10(㎝),高为5㎝,那么它的容积是30×10×5=1500(㎝3)。
方法二:
从长方形铁皮的左边剪去两个边长为5㎝的正方形,再将这两个正方形焊接在右边,如下图。
从上图中可以看出,这个长方体铁盒的长为40-5=35(㎝),宽为20-5×2=10(㎝),高为5㎝,那么这个长方体小铁盒的体积为35×10×5=1750(㎝3)。
方法三:
因为长方体体积=底面积×高,当高一定时,底面积越大,长方体的体积就越大,由于这块长方形铁皮的长40㎝,宽20㎝,底面边长为20㎝时,底面积最大,故先把这块铁皮截取一个边长为20㎝的正方形,再把剩下的平均分成4份焊接在正方形的四周,如下图。
从图中可以看出,这个小长方体铁盒的长为20㎝,宽也为20㎝,高为5㎝,故该小长方体铁盒的容积为20×20×5=2000(㎝3)
三、考点练习
1.填空。
(1)物体旋转时应抓住三点:
()、()、()。
(2)图形在旋转前后,它的()和()不变。
(3)3.5mL=()㎝3450dm3=()m3
2500㎝2=()dm26.7m3=()L
(4)正方体的棱长扩大到原来的5倍,它的一个面的面积扩大到原来的()倍,它的表面积扩大到原来的()倍,它的体积扩大到原来的()倍。
(5)长方体的长是5m,宽是4m,它的体积是60m3.它的高是()。
(6)把一个长9dm,宽7dm,高4dm的长方体木块削成尽可能大的正方体,这个正方体木块的体积是()。
(7)把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块,它的()不变;将它切割成两个长方体,()不变,()增加了。
(8)一个长方体的底面积是30㎝2,它的高是6㎝,它的体积是()㎝3。
(9)若一个水池正好装56m3的水,则56m3既是水池的()。
也是池中水的()。
(10)用8个棱长为2㎝的小正方体拼成一个稍大的正方体,拼成的正方体的体积是(),表面积是()。
2.判断。
(1)两个长方体的表面积相等,那么它们的体积必然相等。
()
(2)体积相等的两个正方体,它们的大小一定相同。
()
(3)一个长方体(不包含正方体)最多有4条棱长相等。
()
(4)容积和体积的计算方法相同,但两者的意义不同。
()
(5)用16个边长为1㎝的小正方体可以拼成一个大正方体。
()
3.选择。
(1)用棱长为1㎝的小正方体木块拼成长8㎝、宽5㎝、高3㎝的长方体,一共要用()个这样的小正方体木块。
A.16B.158C.120D.40
(2)体积是1m3的物体放在地面上,它的占地面积是()。
A.
m2B.1m2C.0.5m2D.无法确定
(3)一个长方体的棱长之和是120㎝,相交于一个顶点的三条棱的长度和是()。
A.12B.40C.30D.60
(4)把4个棱长为2dm的正方体顺次拼成一排,变成一个长方体,则表面积减少()。
A.16B.12C.24D.72
(5)如果大正方体的表面积是小正方体表面积的4倍,那么大正方体的棱长是小正方体棱长的()倍。
4.解决问题。
(1)一个长方体的长是12㎝,宽是8㎝,。
沿它长边的中点处切成两个相等的长方体,这两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了96㎝2(如下图)。
求原来长方体的表面积和体积各是多少。
(2)一个无盖的玻璃鱼缸,从里面测量长是6dm,宽是4.5dm,高是4dm。
现在缸内水深2.5dm,。
这个鱼缸里现在有多少升水?
再加入40L水可以吗?
(3)一个长方体水槽,长10dm,宽6dm,高4dm,往里面倒入150L水,水离槽口还有多少分米?
(4)根据变化规律,在空白处填图形。