反比例函数与一次函数的综合应用.docx

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反比例函数与一次函数的综合应用

反比例函数与一次函数

1、反比例函数与一次函数的比较

函数

正比例函数

反比例函数

解析式

ykxk0

k

y一k是常数，k0x

图象形状

直线

双曲线

K>0

位置

第、三象限f

r产

第一、三象限

L,

增减性

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

K<0

位置

第二、四象限

第二、四象限

J

r'

增减性

y随x的增大而减小

y随x的增大而增大

举一反三：

1.

3.

2.

1

函数y=-x与y=在同一直角坐标系中的图象是（

x

y=-k（kZ0

已知关于x的函数y=k（x+1）和

y

它们在同一坐标系中的大致图象是（？

）•

4.

（az0）在同一坐标系中的图象可能是（

y随x的增大而增大，则ykxk的大致图象为（

图5

2、反比例函数与一次函数交点

反比例函数与一次函数交点分两种情况：

有两个，或者没有练习题：

1

1.在函数y=—与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（）.

x

A.1个B.

2个

C.3个

D.

0个

2.已知正比例函数

y1

k1x和反比例函授

y2

k2

2的图像都经过点（2,1），则k1、k2的值分别为（）

x

1

1

1

1

Ak[=,k2:

=

Bk1=2,k2=

Ck1=2,k2=2Dk1=,k2=2

2

2

2

2

4.已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=—的图象都经过点（2,m）,则一次函数的解析式是.

x

k

5.已知一次函数y=2x—5的图象与反比例函数y=—（k工的图象交于第四象限的一点P（a,—3a）,则这个反比例

x

函数的关系式为。

6.若函数y（2m1）x与y———的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

x

k

7.若一次函数y=x+b与反比例函数y=—图象，在第二象限内有两个交点，？

则k0,b0,（用＜、'

x

=”填空）

3、求一次函数和反比例函数的关系式.

k

例：

如图，反比例函数y—的图象与一次函数yaxb的图象交

x

于MN两点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式。

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的

取值范围。

k

解：

（1）将点N（-1,-4）代入y，得k=4

x

（-1,

•••反比例函数的解析式为y

/•m=2

•••一次函数的解析式为y2x2

（2）由图象可知

当x1和0x2时，反比例函数的值大于一次函数的值

举一反三：

1.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ym的图象相交于A,B两点。

x

（1）求反比例函数与一次函数的表达式

（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x的取值范围。

2.如图所示，已知一次函数y=kx+b（k却的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=—（m^0

x

的图象在第一象限交于

C点,CD丄x轴，垂足为D,若0A=0B=0D=1求⑴点A,B,D坐标；

（2）一次函数与反比例函数

的解析式。

（1）由题意列关系式

例：

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是--种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：

（1）题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点

A,利用待定系数法可以求出P与V的解

析式，得P

96

，

（2）

V

96

当v=8m3时代入P=得P=120千帕;

v

当P不超过144千帕时，是安全范围。

根据反比例函数的图象和性质,

（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即

P随V的增大而减小，可先求出气压P=144

2

千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于-立方米

3

举一反三：

1•京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶

的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间

的函数关系式

3•一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10时，=1.43,

（1）

求与V的函数关系式；

（2）求当V=2时氧气的密度

4.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

5•学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：

按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计

算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

（1）则y与x之间有怎样的函数关系？

（2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

（2）利用图象列关系式

例：

为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药

物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，自变量x的取值范

药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，

那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，员工才能回到办公室；

⑶研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于

10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？

为什么？

分析：

（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设y

&X,将点（8,6）代人解析式，求得y3x,

4

k248

自变量0vx<8;药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设y-，用待定系数法求得y—

xx

（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先

将药含量y=1.6代入y48，求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小，求得

x

时间至少要30分钟

3

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y=3时，代入yx中，得x=4,即当药物燃烧4分钟时，药

4

含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y=3时，代入y兰,

x

举一反三：

1.某厂现有300吨煤,

300

Ay（x>0）

x

2•已知甲、乙两地相距

到乙地汽车的总耗油量

这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是

300By（x>0）Cy=300x（x>0）

x

Dy=300x（x>0）

s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地

）

3.一场暴雨过后，一洼地存雨水分钟

（1）

（2）

（3）

a米3/分，且排水时间为5〜10

试写出t与a的函数关系式,请画出函数图象

根据图象回答：

当排水量为

并指出a的取值范围;

3米3/分时，排水的时间需要多长？

x名学生，平均每名学生分得的图书册数为

4•某学校接受3600册的捐赠图书，分给

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果学生为720名，平均每人分得图书多少册？

5.某空调厂的装配车间计划组装9000台空调，

（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：

台/天）与生产的时间t（单位:

（2）原计划用两个月时间（每月以

y册。

天）之间有怎样的函数关系?

30天计算）完成，由于气温提前升咼，厂家决定这批空调提前

10天上市，那

么装配车间每天至少要组装多少空调？

6.小明家离学校1.5km，小明步行上学需

xmin，那么小明步行速度y（m/min）可以表示为y

1500;水平地面上

重1500N的物体，与地面的接触面积为

2

xm，那么该物体对地面压强y（N/m）可以表示为

x

y1500;L，函

x

20米3,如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为

得x=16，持续时间为16-4=12>10,因此消毒有效

数关系式y竺还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举

x

7.有一容量为180升的太阳能热水器，设其工作时间为y（分），每分钟的排水量为x（升）。

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）若热水器可连续工作的最长时间为1小时，求自变量x的取值范围；

（3）若每分钟排放热水4升，则热水器不断工作的时间为多少？

（4）

A、正数

在电压一定时,

A、正比例

x

B、负数C非负数

通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（

B、反比例C一次函数

D、

D、

不能确定

无法确定

则yiy的值是（）

课堂检测

（一）

11、反比例函数的图像过点（一

3,5）,则它的解析式为

y2）,（*,y3）,函数值yi,z,衣

12、在函数y亠（k为常数）的图象上有三个点（-2,y1）,（-1,

的大小为；

2

13、函数y=2的图象，在同一直角坐标系内，如果将直线y=—x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函

x

2

数y=—的图象的交点共有个

x

14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：

函数图象不经过第三象限；乙：

函数

图象经过第一象限；丙：

y随x的增大而减小；丁：

当x2时，y0。

已知这四人叙述都正确，请构造出满足上

述所有性质的一个函数

（第19题图）

三、解答题（共50分）

k

15、（6分）反比例函数y—的图象经过点A（2,3）.

x

（1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点B（1,6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由

8

16、（9分）作出函数y—的图象，并根据图象回答下列问题：

x

（1）当x4时，求y的值•

（2）当2y3时，求x的取值范围

（3）当3x2时，求y的取值范围•

6a

17、（8分）若正比例函数yax的图象与反比例函数y的图象有一个交点的横坐标是1•求

（1）两个函数

x

的解析式•

（2）它们两个交点的坐标.

2m5n

y

18、（8分）已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数x图象都经过点（1,—2）,求这个一次函数

与反比例函数的解析式

1

19、（9分）如图，正比例函数ykxbk0与反比例函数y—的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线

x

于B,连接BC,求厶ABC的面积

20、（10分）在压力不变的情况下，某物承受的压强P（Pa）是

它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示.

（1）求P与S之间的函数关系式；

a.i0,2aje斗禺【mb

（第20题图）

（2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P.

课堂检测

（二）

、选择题（每小题3分，计18分）

k

1、若函数y—的图象过点（3,-7）,那么它一定还经过点（）

x

A、（3,7）

B、（-3,-7）

C、（-3,7）

D、（2,-7）

2、反比例函数y

1一纯（m为常数）当

X

x0时，

y随x的增大而增大，则m的取值范围是

1

1

1

A、m0

B、m-

C、m-

D、m-

2

2

2

1

3、若点（xi,yi）,（x2,y2）,（x3,y3）都是反比例函数y=-的图象上的点拼且X1<0

X

）

6、下面关于反比例函数的意义或性质的综述，错误的是（）

A、自变量x扩大（或缩小）几倍，函数y反而缩小（或扩大）几倍

k

B、反比例函数是形如y=（k是常数，k工0的函数

x

C、若x与y的积是一个常数，则y是x的反比例函数

D、当k>0时，y随x的增大反而减小

二、填空题（每小题4分，计32分）

k

7、如果点（3,1）在反比例函数y=—的图象上，贝Vy与x之间的函数关系

x

k

&已知反比例函数y—k0的图象经过点（2,—3）,则k的值是，图象在象限，当x>0时,

x

y随x的减小而.

9、已知反比例函数y，当m时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m时，其

（3m2）x

图象在每个象限内y随x的增大而增大；

k

10、已知R（X1,yjP2（X2,y2）是反比例函数y—（k工1图象上的两点，且为X2<0时，如y，则k。

x

k

11、已知正比例函数y=kx（k丰0）随x的增大而减小，那么反比例函数y=—，当x<0时,y随x的增大而.

12、已知yi与x成正比例（比例系数为ki）,y2与x成反比例（比例系数为k2）若函数y=yi+y2的图象经过点（1,2）,（2,g）,则8ki+5k2的值为.

13、若mv-1，则下列函数：

①

ymx0•②y=—mx+1;③y=mx;④y=（m+1）x中，y随x增大而增大的是

x

k

14、当k>0,xV0时，反比例函数y—的图象在象限。

x

三、解答题（共50分）

15、（6分）在反比例函数y=2k2°°8图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，求k的取值范围。

x

16、（9分）已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：

23

（1）y和x的函数关系式；

（2）当x2-时，y的值；（3）当x取何值时，y—?

32

m3

17、（8分）已知反比例函数y经过点A（2,-m）和B（n,2n），求：

（1）m和n的值；

（2）若图象上有两点P1（X1,y”

x

和F2（x2,y2），且X1V0VX2,试比较y1和y2的大小.

3

18、（8分）已知一次函数y=kx+b的图象过点A（0,1）和点B（a,—3a）（a>0），且点B在反比例函数y—的图

x

象上，求a及一次函数式.

1k1

19、（9分）如图，点P是直线y-x2与双曲线y—在第一象限内的一个交点，直线y-x2与x轴、y

2x2

轴的交点分别为A、C,过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9.

（1）求k的值；

（2）求厶PBC的面积.

20、（10分）制作一种产品，需先将材料加热达到60C后，再进行操作.设该材料温度为y（C）,从加热开始计算

的时间为x（分钟）.据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与

时间x成反比例关系（如图）.已知该材料在操作加工前的温度为15C,加热5分钟后温度达到60C.

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15C时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

（第19题图）