最新人教版八年级数学上册 122 三角形全等的判定4课时.docx

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最新人教版八年级数学上册122三角形全等的判定4课时

12．2　三角形全等的判定

第1课时　边边边

一、基本目标

【知识与技能】

1．会运用“边边边”证明三角形全等．

2．会根据“边边边”作一个角等于已知角．

【过程与方法】

经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程．

【情感态度与价值观】

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”．

【教学难点】

探索三角形全等的条件的过程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.

3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.

4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生对学）

【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：

△ABC≌△ADC.

【互动探索】（引发学生思考）要证△ABC≌△ADC，只需看这两个三角形的三边是否相等．

【证明】在△ABC与△ADC中，

∵

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）注意运用“SSS”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．

【例2】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：

△ABC≌△DEF.

【互动探索】（引发学生思考）已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.

【证明】∵BE＝CF，

∴EC＋BE＝EC＋CF，即BC＝EF.

在△ABC和△DEF中，∵

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？

为什么？

【互动探索】（引发学生思考）要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形．

【解答】结论：

∠B＝∠D.

理由如下：

连结AC.

在△ADC和△ABC中，

∵

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠B＝∠D.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是（　C　）

A．△ABC≌△BAD　B．∠CAB＝∠DBA

C．OB＝OC　D．∠C＝∠D

2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.

3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.

求证：

（1）∠D＝∠B；

（2）AE∥CF.

证明：

（1）在△ADE和△CBF中，∵

∴△ADE≌△CBF（SSS），

∴∠D＝∠B.

（2）∵△ADE≌△CBF，

∴∠AED＝∠CFB.

∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，

∴∠AEO＝∠CFO，

∴AE∥CF.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

请完成本课时对应练习！

第2课时　边角边

一、基本目标

【知识与技能】

掌握三角形全等的“SAS”判定方法，并能进行简单的应用．

【过程与方法】

经历探究两个三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程，进而培养学生有条理的分析、推理能力．

【情感态度与价值观】

通过探究活动，体会数学充满了探索和创造，提高学生的学习热情．

二、重难点目标

【教学重点】

应用“SAS”证明两个三角形全等．

【教学难点】

理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．

2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．

3．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，根据“SAS”可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝CB.

4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADC＝∠ADB.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：

△AEF≌△BCD.

【互动探索】（引发学生思考）由题意可知，如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC可得∠A＝∠B.

【证明】∵AE∥BC，

∴∠A＝∠B.

∵AD＝BF，

∴AF＝BD.

在△AEF和△BCD中，∵

∴△AEF≌△BCD（SAS）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．

【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C的度数．

【互动探索】（引发学生思考）如果△ABC≌△FBE，就可以得出∠C＝∠BEF，从而由BC∥EF得到∠C＝∠BEF＝∠1，问题得解．

【解答】∵∠1＝∠2，

∴∠ABC＝∠FBE.

在△ABC和△FBE中，∵

∴△ABC≌△FBE（SAS），

∴∠C＝∠BEF.

又∵BC∥EF，

∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；

（2）学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（　A　）

A．∠1＝∠2　B．∠B＝∠C

C．∠D＝∠E　D．∠BAE＝∠CAD

2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是（　C　）

A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF

B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF

C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF

D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF

3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？

为什么？

解：

AC平分∠BAD.理由：

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC.

在△ABC和△ADC中，

∵

∴△ABC≌ADC（SAS），

∴∠ACB＝∠ACD，

∴AC平分∠BCD.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：

（1）AE＝CG；

（2）AE⊥CG.

【互动探索】观察图形，证明△ADE≌△CDG，就可以得出AE＝CG，再结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE⊥CG.

【证明】

（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，

∴AD＝CD，GD＝ED.

∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，

∴∠CDG＝∠ADE.

在△ADE和△CDG中，∵

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG.

（2）设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N.

在△GMN和△DME中，由

（1）得∠CGD＝∠AED.

又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，

∴∠CGD＋∠GMN＝90°，

∴∠GNM＝90°，

∴AE⊥CG.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解本题的关键是证得△ADE≌△CDG.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

请完成本课时对应练习！

第3课时　角边角与角角边

一、基本目标

【知识与技能】

掌握三角形全等的证明方法“ASA”和“AAS”，并能解决相应的实际问题．

【过程与方法】

经历探究全等三角形判定的过程，进一步体会由操作、归纳获得数学规律的过程．

【情感态度与价值观】

1．通过尺规作图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．

2．培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用．

二、重难点目标

【教学重点】

已知两角一边的三角形全等的探究．

【教学难点】

灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

2．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

3．能确定△ABC≌△DEF的条件是（　D　）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：

∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.（只需填写一种情况即可）

教师点拨：

此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：

△ADF≌△CBE.

【互动探索】（引发学生思考）如果∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，就可用“SAS”证△ADF≌△CBE.由已知中的平行线段，可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.

【证明】∵AD∥BC，BE∥DF，

∴∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.

∵AE＝CF，

∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.

在△ADF和△CBE中，∵

∴△ADF≌△CBE（ASA）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．

【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，若BF＝AC，求证：

△ADC≌△BDF.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需证∠DAC＝∠DBF即可．又在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC＝∠DBF.

【证明】∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.

∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AFE＝90°，∠BFD＋∠DBF＝90°，

∴∠DAC＝∠DBF.

在△ADC和△BDF中，∵

∴△ADC≌△BDF（AAS）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：

对顶角、公共边、公共角等．

（2）有直角三角形就有互余的角，利用“同角（等角）的余角相等”是证角相等的常用方法．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．完成教材P41“练习”第1～2题．

略

2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：

∠A＝∠E.

证明：

∵BC∥DE，

∴∠ABC＝∠BDE.

在△ABC和△EDB中，∵

∴△ABC≌△EDB（SAS），

∴∠A＝∠E.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

请完成本课时对应练习！

第4课时　斜边、直角边

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（或HL）．

【过程与方法】

经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

【情感态度与价值观】

通过探究与交流解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形全等的判定方法的理解和应用．

【教学难点】

利用直角三角形全等的判定定理解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2．判定两个直角三角形全等的方法有SSS、ASA、AAS、SAS、HL.（用简写字母）

3．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是（　B　）

A．AASB．SAS

C．HLD．SSS

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：

∠1＝∠2.

【互动探索】（引发学生思考）可以通过证△ABC≌△ADC得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△ADC.

【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴△ABC与△ACD均为直角三角形．

在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠1＝∠2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）直角三角形除一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．

【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：

AD＝BC.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形，不能直接通过证△AOD与△BOC得到结论，需作辅助线CD，用“HL”证明Rt△ADC≌Rt△BCD，即得AD＝BC.

【证明】连结CD.

∵AD⊥AC，BC⊥BD，

∴∠A＝∠B＝90°.

在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵

∴Rt△ADC≌Rt△BCD，

∴AD＝BC.

【互动总结】（学生总结，老师点评）观察图形，当不能直接通过全等证边（或角）相等时，可根据图形特点作辅助线或转化为证其他边（或角）相等．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　B　）

A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等

C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝7cm.

3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：

CE＝BF.

证明：

∵AB⊥CF，DE⊥CF，

∴∠ABC＝∠DEF＝90°.

在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

∴BC＝EF，

∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：

BC＝BE.

【互动探索】要证BC＝BE，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？

【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADC＝∠AFE＝90°.

在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵

∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），

∴CD＝EF.

同理可证Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），

∴BD＝BF.

∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明线段相等可以通过证明三角形全等解决，在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

请完成本课时对应练习！