高考理科数学试题新课标2卷含答案.docx
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高考理科数学试题新课标2卷含答案
2013年高考理科数学试题(新课标2卷(含答案)
2013年全国卷新课标——数学理科
(适用地区:
吉林黑龙江山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古)
本试卷包括必考题和选考题两部分,第1-21题为必考题,每个考生都必须作答.第22题~第24题,考生根据要求作答.
一、选择题:
本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则中所含元素的个数为
A.3B.6C.8D.10
【解析】选D.
法一:
按的值为1,2,3,4计数,共个;
法二:
其实就是要在1,2,3,4,5中选出两个,大的是,小的是,共种选法.
2.将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
A.12种B.10种C.9种D.8种
【解析】选A.
只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可,共种安排方案.
3.下面是关于复数的四个命题:
的共轭复数为的虚部为
其中的真命题为
A.,B.,C.,D.,
【解析】选C.
经计算,.
4.设是椭圆的左右焦点,为直线上的一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为
A.B.C.D.
【解析】选C.
画图易得,是底角为的等腰三角形可得,即,所以.
5.已知为等比数列,,,则
A.B.C.D.
【解析】选D.
,或,成等比数列,.
6.如果执行右边的程序框图,输入正整数和
实数,输出,,则
A.为的和
B.为的算术平均数
C.和分别是中最大的数和最小的数
D.和分别是中最小的数和最大的数
【解析】选C.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
A.6
B.9
C.12
D.18
【解析】选B.
由三视图可知,此几何体是底面为俯视图三角形,高为3的三棱锥,
.
8.等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于,,两点,,则的实轴长为
A.B.C.D.
【解析】选C.
易知点在上,得,.
9.已知,函数在单调递减,则的取值范围是
A.B.C.D.
【解析】选A.
由得,,
.
10.已知函数,则的图像大致为
【解析】选B.
易知对恒成立,当且仅当时,取等号.
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为
A.B.C.D.
【解析】选A.
易知点到平面的距离是点到平面的距离的2倍.显然是棱长为1的正四面体,其高为,故,
12.设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为
A.B.C.D.
【解析】选B.
与互为反函数,曲线与曲线关于直线对称,只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可.设点,点到直线距离.
令,则.由得;由得,故当时,取最小值.所以,.
所以.
二、填空题.本大题共4小题,每小题5分.
13.已知向量,夹角为,且,,则.
【解析】.
由已知得,
,解得.
14.设满足约束条件则的取值范围为.
【解析】.
画出可行域,易知当直线经过点时,取最小值;当直线经过点时,取最大值3.故的取值范围为.
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的
使用寿命(单位:
小时)服从正态分布
,且各元件能否正常工作互相独立,
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.
【解析】.
由已知可得,三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为,所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.
16.数列满足,则的前60项和为.
【解析】1830.
由得,
……①
……②,
再由②①得,……③
由①得,…
…
由③得,…
所以,.
三、解答题:
解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知,,分别为三个内角,,的对边,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,的面积为,求,.
解:
(Ⅰ)法一:
由及正弦定理可得
,
,
,,
法二:
由正弦定理可得,由余弦定理可得.
再由可得,,
即,
,即,,
,,,
(Ⅱ),,,
,,.
解得.
18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(Ⅰ)若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润(单位:
元)关于当天需求量(单位:
枝,)的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝),整理得下表:
日需求量n14151617181920
频数10201616151310
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:
元),求的分布列、数学期望及方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由.
解:
(Ⅰ)();
(Ⅱ)(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,的分布列为
607080
0.10.20.7
的数学期望=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
的方差=60-76×0.1+70-76×0.2+80-76×0.7=44.
(ⅱ)若花店计划一天购进17枝玫瑰花,的分布列为
55657585
0.10.20.160.54
的数学期望=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,
因为76.476,所以应购进17枝玫瑰花.
19.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,是棱的中点,
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明:
设,直三棱柱,,,,.
又,,平面.
平面,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,又已知,.
在中,,.
,.
法一:
取的中点,则易证平面,连结,则,
已知,平面,,
是二面角平面角.
在中,,.
即二面角的大小为.
法二:
以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则.
,设平面的法向量为,
则,不妨令,得,故可取.
同理,可求得平面的一个法向量.
设与的夹角为,则,.
由图可知,二面角的大小为锐角,故二面角的大小为.
20.(本小题满分12分)
设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于、两点
(Ⅰ)若,面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若、、三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,的距离的比值.
解:
(Ⅰ)由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.
点到准线的距离.
由得,,
.
圆的方程为.
(Ⅱ)由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,
,,代入抛物线得.
直线的斜率为.直线的方程为.
由得,.
由得,.故直线与抛物线的切点坐标为,
直线的方程为.
所以坐标原点到,的距离的比值为.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求的解析式及单调区间;
(Ⅱ)若,求的最大值
解:
(Ⅰ),令得,,
再由,令得.
所以的解析式为.
易知是上的增函数,且.
所以
所以函数的增区间为,减区间为.
(Ⅱ)若恒成立,
即恒成立,
(1)当时,恒成立,为上的增函数,且当时,,不合题意;
(2)当时,恒成立,则,;
(3)当时,为增函数,由得,
故
当时,取最小值.
依题意有,
即,
,
令,则,
所以当时,取最大值.
故当时,取最大值.
综上,若,则的最大值为.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,,分别为边,的中点,直线交的
外接圆于,两点.若,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
证明:
(Ⅰ)∵,分别为边,的中点,
∴.
,且,
又∵为的中点,且,.
,..
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,
.
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上,且,,,依逆时针次序排列,点的极坐标为.
(Ⅰ)点,,,的直角坐标;
(Ⅱ)设为上任意一点,求的取值范围.
解:
(Ⅰ)依题意,点,,,的极坐标分别为.
所以点,,,的直角坐标分别为、、、;
(Ⅱ)设,则
.
所以的取值范围为.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)的解集包含,求的取值范围.
解:
(Ⅰ)当时,不等式
或或
或.
所以当时,不等式的解集为或.
(Ⅱ)的解集包含,
即对恒成立,
即对恒成立,
即对恒成立,
所以,即.
所以的取值范围为.