人教版九年级数学上册《第三单元课时1正多边形和圆》名师教学设计.docx
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人教版九年级数学上册《第三单元课时1正多边形和圆》名师教学设计
《正多边形和圆》教学设计
一、教学内容分析
生活中随处可见正多边形形状的物体，比如正六边形蜂巢、以20个正六边形（白）和12个正五边形（黑）围成的足球等.正多边形和圆关系密切，只要把圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形；正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念也与正多边形的外接圆关系密切.这些概念是进行与正多边形有关计算的基础.
掌握本节课知识首先需要理解正多边形的概念.正多边形主要有两个特征：
各边相等，各角相等.教学中可采用辨析的方法，比如菱形、正方形、矩形的辨析.接着通过小组合作学习，让学生探究：
如何画一个正多边形？
它和圆之间又有着怎样密切的联系呢？
首先由问题导入：
如图，在⊙O中，如果
=
=
=
=
，依次连接A，BC，D，E这五个分点，五边形ABCDE是正五边形吗？
说明为什么.
这个问题学生不难回答.由弧相等推导出弦相等和圆周角相等，根据定义可知该五边形是正五边形.改变题目中的条件，将圆等分成n段相等的弧，则可以得到正n边形，在此渗透了从特殊到一般的数学思想.据此学生能够探究得出正多边形和圆的内在联系，这是画正多边形以及进行正多边形有关计算的基础.圆的问题可以转化成正多边形的问题，相应地，正多边形的问题也可以转化为圆的问题，由此学生可建立起知识间的联系.既然正多边形和圆之间存在千丝万缕的联系，那么正多边形是否具有和圆相似的性质呢？
学生通过分析可知正多边形均为轴对称图形，当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形.
研究正多边形，尤其进行多边形的计算需要了解正多边形的中心、中心角、边心距、外接圆等概念.应该向学生阐述，当正多边形边数确定时，已知边长、周长、半径、边心距、面积中的任一一项，都可以求出其他各项.求解亭子地基的面积和周长问题时，理论联系实际，结合勾股定理、三角函数等知识进行计算，在此过程中学生可以掌握与正多边形有关的计算问题的一般方法.
那么如何快速画出正多边形呢？
通常采用量角器等分圆周的方法，但是对于正三角形、正四边形、正六边形、正八边形等特殊图形，也可以采用尺规作图的方法画出，学生可以课下进行深入探究.
二、学情分析
学生前面已经学习了正多边形和圆的概念以及圆的有关性质，具备学习本节课的知识基础；之前学习中多次接触数形结合、从特殊到一般的数学思想，具备了学习本节课的思想方法；学生基本掌握硏究几何问题的一般流程：
实验操作一观察猜想一科学论证一实际应用.但是本节课涉及解直角三角形、勾股定理等内容，对计算能力的要求较高.
三、教学目标
1.掌握正多边形的概念.
2.理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形.
3.理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积等.
4.会利用等分圆周的方法画正多边形，会利用尺规作图的方法画一些特殊的正多边形.
●重点难点
了解正多边形与圆的关系是本节课的重点，运用正多边形和圆的知识解决有关计算问题是本节课的难点.
四、评价设计.
学习评价量表
标准
等级
掌握正多边形的概念
A
知道正多边形与圆的关系，了解正多边形中心、半径、边心距、中心角等概念
A
能运用正多边形与圆的关系解决有关计算问题
B
会利用尺规作图画出圆的内接正三角形、正四边形、正六边形等特殊正多边形
B+
五、教学活动设计
教学环节
教学活动
设计意图
教师活动
学生活动
复习回顾
问题1
（1）等边三角形、正方形、正五边形有什么共同特征？
（2）你能举出生活中具有正多边形形状的物体吗？
（3）正多边形的概念是什么？
（4）矩形、菱形是正多边形吗？
1.
（1）相同点：
每个角都相等，每条边都相等.
（2）蜂巢、足球等.
（3）各边相等、各角相等的多边形是正多边形.
（4）矩形、菱形均不是正多边形.矩形各角相等，但是各边不相等；菱形各边相等，但是各角不相等.
通过几个简单问题回顾了正多边形的概念，为下面的研究奠定基础.
小组合作学习
问题2如何借助一个圆画出正五边形？
问题3如何借助一个圆画出正n边形？
2.实验：
尝试在圆中画出正五边形.
3.猜想：
在⊙O中，如果
=
=
=
=
，依次连接A，B，C，D，E这五个分点，则五边形ABCDE是正五边形.
证明：
∵
=
=
=
=
∴AB=BC=CD=DE=EA，
=
.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.
∴五边形ABCDE是正五边形总结：
借助一个圆画出正n边形，只需要将圆等分成n份即可.
通过探究活动得到圆与正多边形之间的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形.
概念阐述
中心：
我们把一个正多边形
的外接圆（内切圆）的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径：
外接圆的半径叫做正
多边形的半径.
中心角：
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距：
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
外接圆与正n边形概念辨析
通过对概念的梳理，体会圆与正多边形之间的关系，构建知识体系.
典型例题
例1有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留根号）.
例2用块直径为4m的圆桌布平铺对角线长为4m的正方形桌面（如图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度约为多少米（结果精确到0.01m，
≈1.414）？
例1分析：
亭子的地基是正六边形，求地基的周长和面积也就是求正六边形的周长和面积.正六边形半径为4m，OA=OB=4m，中心角度数=
=60°，则△OAB为等边三角形，所以AB=4m，
故周长为24m.
该正六边形的面积为6个边长为4m的等边三角形的面积之和，运用含30°角的直角角形的三边关系得到总面积为
.
例2分析：
桌面示意图如图所示，若要求四周下垂的长度最大，则需要正方形桌面为圆的内接正四边形.
解连接OA，作OM⊥AB，垂足为M，且OM的延长线交⊙O于N.
设最大长度为xm，则MN=xm，OM=AM=
=
m，
∴x=ON-OM=（2-
）m≈0.6（m）.
故答案为0.6m.
通过实际问题，让学生掌握与正多边形有关的简单计算.解题的关键是把握圆与正多边形之间的关系，结合含30°，45°角的三角形三边关系解决问题.
尺规作图
问题4作出圆的内接正三角形.
问题5作出圆的内接正四边形.
总结：
正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、正十二边形等特殊正多边形均可以运用尺规作图得到.
4.作圆的内接正三角形，需要将圆周等分为三份，用尺规相对而言比较困难，可以从求作⊙O的内接正六边形入手.依据定理应将⊙O的圆周六等分，每份圆弧对应的圆心角为60°，则每份弧所对的弦长为半径.如图所示，从圆上任一点开始，以该点为圆心，以圆的半径画弧，顺时针依次画弧，即可得到圆的内接正六边形，顺次连接不相邻的三个顶点即可得圆内接正三角形.
5.作圆的内接正四边形，应将⊙O的圆周四等分，每份圆弧对应的圆心角为90°.任意取一条直径，作这条直径的中垂线，顺次连接A，B，C，D四点，即可得圆内接正四边形.
通过尺规作图加深对圆与正多边形关系的理解，学以致用，增强课堂的趣味性.
拓展探究
探究：
边长为a的正六边形，外接圆和内切圆的半径之比是.
我们已经知道将圆周等分为六份，即可作出正六边形，且正六边形的外接圆半径等于正六边形的边长a.在此主要讨论正六边形的内切圆半径，内切圆需要与各边均相切，由前面所学知识可知，内切圆圆心为正六边形各角平分线的交点，恰好为外接圆的圆心，半径等于OH的长度.综上，正六边形外接圆和内切圆为同心圆.
此时，
.
比值与正多边形的边长无关.
通过对正多边形外接圆和内切圆的研究，加深对圆与正多边形关系的理解.
六、板书设计
正多边形和圆
七、达标检测与作业
A级
1.正八边形的每个内角是度.
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB=（）
A.60°B.45°C.30°D.22.5°
3.如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与原来的图形重合，那么这个正多边形是（）
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
4.已知正六边形的边心距为
，则它的周长是.
B级
5.如图，正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a、周长P和面积S.
6.如图，正六边形ABCDEF的半径为4，以它的中心O为坐标原点建立直角坐标系，顶点A，D在x轴上，求正六边形ABCDEF各顶点的坐标.
7.如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.
C级
8.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……正n边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON.
（1）求图①中∠MON的度数；
（2）图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是.
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.
八、教学反思
本节课从复习正多边形的概念入手，让学生比较正三角形、正方形、正五边形的相同点，总结出正多边形的边相等、角相等两个特点.接着让学生通过举出实例以及判断矩形、菱形是否为正多边形加深对正多边形概念的理解.然后通过“如何借助圆画出正五边形”这个问题，引发学生思考圆与正多边形的关系.学生经历了“实验观察一假设猜想一逻辑论证”的过程，总结出只需将圆周五等分，就可以作出一个正五边形.在此过程中需要运用弦、圆心角、弧之间的关系，注意让学生建立知识间的联系.类比正五边形的作法，学生自然联想到，通过将圆周n等分即可作出正n边形.
探究圆和正多边形的关系时，直接给出中心、中心角、半径、边心距等与正多边形相关的概念，并与圆的相关概念进行类比，形成知识间的贯通.通过典型例题，让学生尝试利用圆与正多边形的关系解决实际问题，变换给定条件和结论，学生发现：
只要给定边长、周长、半径、边心距、面积中任意一项，都可以求出其他项特殊多边形的相关计算是本节课的重点和难点，需要进行课后练习.然后利用圆与正多边形的关系进行正三角形、正四边形的尺规作图，既充分调动了学习的积极性，又将课堂内容进行了升华.最后，引导学生思考正六边形外接圆和内切圆的半径之比，加深对圆与正多边形关系的理解.
本节课关注研究问题的方法的渗透.比如，学生类比正五边形的画法，总结出一般多边形的画法，这种由特殊到一般的数学研究思路，对于培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力很有帮助.再比如，在典型例题中寻找正多边形弦心距和半径的关系时，采用了数形结合的思想，这是学习几何内容时常用的思想方法“数”与“形”相互结合，不仅使解题简捷明快，还开阔解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.
由于时间关系，并未梳理圆内接正三角形、正方形、正六边形的周长、半径、中心角、内角、边长、边心距、面积等之间的关系，学生掌握了研究思路，知道可以结合含30°，45°，60°角的直角三角形解决，可以在课下完成梳理表格.
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