小学数学竞赛数论组卷.docx

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小学数学竞赛数论组卷

2015年01月17日小学数学数论竞赛组卷　

一．选择题（共9小题）

1．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（　　）名．

A．

B．

C．

D．

2．（2014•长沙）下面哪些数能被11整除（　　）

A．

323532

B．

38380

C．

978768

3．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（　　）

A．

4个

B．

6个

C．

8个

D．

10个

5．

米平均分成（　　）份，每份是

米．

A．

B．

C．

6．（2009•延庆县）王红家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（　　）

A．

边长50厘米

B．

边长60厘米

C．

边长80厘米

D．

边长100厘米

7．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？

“数字黑洞”，既满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，下面我们就来玩一种数字游戏，它可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：

第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个总相同的数就称为“黑洞数”．请你以2008为例尝试一下：

第一部写出2008，第二步之后变为…所以这个数字游戏的“黑洞数”是（　　）

A．

123

B．

213

C．

303

D．

404

8．一个因数是一位数，如果使它成为一个两位数，在它的左边写上5，那么积增加了200，这个因数是（　　）

A．

B．

C．

D．

1﹣9都可以

9．如果a，b，c是三个任意整数，那么

（　　）

A．

都不是整数

B．

至少有一个整数

C．

至少有两个整数

D．

都是整数

二．填空题（共10小题）

10．（2014•成都）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是　_________　．

11．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：

（19，93）这一格的颜色是　_______　色．

12．（2012•平坝县）书架上存书的本数在60～100本之间，其中

是连环画，

是故事书，书架上存书　__　本．小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费　_________　元．（用含有x的式子表示）

13．（2012•广州）今年是2012年，四位数2012的数字和为2+0+1+2=5，那么；

（1）像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数有　_________　个．

（2）像这样数字和是5的四位数一共有　_________　个．

14．（2010•澄海区）小仲晚上正在灯下学习时，突然停电了，他以为灯坏了，连续按了5次开关，再来电时，灯处于　_________　的状态．（填“开”或“关”）

15．（2010•成都）将6个“优秀少先队员”的名额分给六年级的一、二、三班，每个班至少1个名额，共有　_________　种不同的分法．

16．（2010•西藏）格桑有281元人民币，这些钱至少由　_________　张币纸组成．

17．（2008•武汉）新华书店将若干种畅销书共214本放在一个展台上出售．圆小会整理书籍时发现每种畅销书摆放的数目都不相同，并且每种书的数目不超过26本，不少于15本．那么展台上的畅销书有　_________　，摆放数目最少的那种畅销书有　_________　本．

18．（2006•沙坪坝区）公园门票成人每张6元，儿童每张4元，　______　个成人和　______　个儿童共48元．

19．（2010•成都）小明要买一本49元的书，他手上有贰元和伍元的纸币各10张．请问他有2种付钱方法？

（不用找钱）

三．解答题（共6小题）

20．如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸

（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？

说明理由．

21．（2009•东山县）毕业考结束了，六一班的同学买来27枝白百合，36枝黄玫瑰和18枝红玫瑰，准备扎成花束送给老师，用这些花最多可以扎成几束同样的花束？

在每束花中，三种花各几枝？

22．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：

1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？

23．（2010•成都）如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米．问从出发到四人再次相遇，四人共跑了多少千米？

24．（2009•锡山区）早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？

（先填表再回答）

1路公交车

5时40分

5时48分

2路公交车

5时40分

25．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？

2015年01月17日小学数学数论竞赛组卷参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（　　）名．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

整数的分解与分拆．

分析：

分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．

解答：

解：

个位上是数字7的有：

7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；

十位上有7的数字有：

70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；

其中77重复，所以一共有：

10+10﹣1=19（个）

答：

号码布上有数字7的运动员有19名．

故选：

A．

点评：

解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．

2．（2014•长沙）下面哪些数能被11整除（　　）

A．

323532

B．

38380

C．

978768

考点：

专题：

数的整除．

分析：

能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．

解答：

解：

A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故本项正确；

B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故本项错误；

C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故本项错误，

故选：

A．

点评：

掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．

3．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

传统应用题专题．

分析：

根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为

，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．

解答：

解：

1、2、3、4、5、…、n的和为

，

当n=16时，

=136＜149

当n=17时，

=153＞149，

因为多加了一个数，所以n=16，

多加的数就是：

149﹣136=13．

故选：

A．

点评：

本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．

4．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（　　）

A．

4个

B．

6个

C．

8个

D．

10个

考点：

专题：

整除性问题．

分析：

根据求一个数约数的个数的计算方法：

所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．

解答：

解：

105=3×5×7，

共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，

答：

它的约数共有8个．

故选：

C．

点评：

此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：

a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

5．

米平均分成（　　）份，每份是

米．

A．

B．

C．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据题意，就是求

米里面有几个

米，由此列式解答并作出选择．

解答：

解：

=6（份）．

故选C．

点评：

此题关键是理解题意，就是求一个数里面有几个另一个数，用除法计算．

6．（2009•延庆县）王红家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（　　）

A．

边长50厘米

B．

边长60厘米

C．

边长80厘米

D．

边长100厘米

考点：

分析：

据题意可知，要想得到整数块砖，应在所给数据中找出地板长和宽的公约数，就能得到正确答案．

解答：

解：

6米=600厘米，4.8米=480厘米，

600，480不小于50的公约数有：

60，120；

所给数据中只有60是600和480的公约数，应选边长为60厘米的方砖．

故选B．

点评：

此题主要考查几个数的公因数，再依据题目中的条件，即可求得正确结果．

7．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？

第一部写出2008，第二步之后变为…所以这个数字游戏的“黑洞数”是（　　）

A．

123

B．

213

C．

303

D．

404

考点：

分析：

根据题意，得2008经过一步之后变为404，经过第二步后变为303，再变为123，再变为123，再变为123，即发现黑洞数是123．

解答：

解：

根据题意计算可知2008经过一步之后变为404，

经过第二步后变为403，再变为213，再变为123，再变为123，

即发现黑洞数是123．

故选：

A．

点评：

此题主要了数字变化规律，根据已知正确理解题意，弄清偶数和奇数的概念是解题关键．

8．一个因数是一位数，如果使它成为一个两位数，在它的左边写上5，那么积增加了200，这个因数是（　　）

A．

B．

C．

D．

1﹣9都可以

考点：

分析：

本题可列方程进行推理解答：

设这个因数为x，另一个因数为a，在这个一位数的左边加上5，则其值就增加了50，则据题意可得等量关系式（50+x）×a=ax+200．然后据此等量关系式进行推理解答即可．

解答：

解：

设这个因数为x，另一个因数为a，则得

（50+x）×a=ax+200

50a+ax=ax+200，

a=4，

所以这个因数可以是1﹣9中的任意一个．

故选：

D．

点评：

完成本题的关健是通过设未知数，据题意列出等量关系式进行分析推理．

9．如果a，b，c是三个任意整数，那么

（　　）

A．

都不是整数

B．

至少有一个整数

C．

至少有两个整数

D．

都是整数

考点：

分析：

根据偶数与奇数的定义可知，如果它们的和的是偶数则除以2的商为整数，如果它们的和为奇数，则它们数和除以2的商不为整数，因此完成本题要根据a，b，c的奇偶性的不同情况来判断它们数和的奇偶性，从而得出它们的数和除以2时，商是否是整数．

解答：

解：

当a，b，c都为偶数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数，

那么

都为整数；

当a，b，c都为奇数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数，

那么

都为整数；

当a，b，c中有一个偶数，两个奇数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数，

那么

只有一个为整数；

当a，b，c中有一个奇数，两个偶数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数，

那么

只有一个为整数；

所以，如果a，b，c是三个任意整数，那么

中至少有一个为整数．

故选：

B．

点评：

完成本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成：

偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数．

二．填空题（共10小题）

10．（2014•成都）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是　19　．

考点：

分析：

这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57以及300﹣205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论．

解答：

解：

300﹣262=38，2

62﹣205=57，

300﹣205=95．

38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19．

故答案为：

19．

点评：

此题考查了学生最大公约数的知识，以及整除的性质．

11．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：

（19，93）这一格的颜色是　黑　色．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据此黑白相间的方格纸，知道：

“行数+列数=奇数”时为白色，“行数+列数=偶数”时为黑色，而19+93为偶数，由此即可得出答案．

解答：

解：

因为，行数+列数=奇数时，方格为白色，

行数+列数=偶数时，方格为黑色，

而19+93=112，112为奇数，

所以（19，93）这一格是黑色；

故答案为：

黑．

点评：

解答此题的关键是，根据所给出的数表，找出方格纸的黑、白相间的规律，利用奇偶性即可解答．

12．（2012•平坝县）书架上存书的本数在60～100本之间，其中

是连环画，

是故事书，书架上存书　70　本．

小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电x千瓦时，那么他家6月份需付电费　0.31x+30　元．

（用含有x的式子表示）

考点：

专题：

压轴题；用字母表示数；约数倍数应用题．

分析：

（1）由于书的本数一定是整数，故书架存书的数目一定是5和7的公倍数，在100以内，5和7的公倍数只有35和70，由于书的数目在60﹣100之间，故有书70本；

（2）先求出用电高峰时段用电x千瓦时的电费，又因为6月份的用电量为100千瓦时，所以用电低谷时段的用电量是（100﹣x）千瓦时，由此算出用电低谷时段的电费，最后把用电高峰时段的电费与用电低谷时段的电费加起来就是要求的答案．

解答：

解：

（1）5和7的最小公倍数是35，

因为存书的本数在60～100本，则应为：

35×2=70（本）；

答：

书架上存书70本；

（2）设电高峰时段用电x千瓦时的电费，

0.61×x+（100﹣x）×0.30，

=0.61x+30﹣0.3x，

=0.31x+30（元），

答：

他家6月份需付电费0.31x+30元，

故答案为：

70；0.31x+30．

点评：

（1）解答此题应明确即求60～100之间的5和7的最小公倍数，根据是互质数的两个数的最小公倍数即这两个数的成乘积，解答即可．

（2）解答此题的关键是，把所给出的字母当做已知数，再根据基本的数量关系解决问题．

13．（2012•广州）今年是2012年，四位数2012的数字和为2+0+1+2=5，那么；

（1）像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数有　18　个．

（2）像这样数字和是5的四位数一共有　31　个．

考点：

专题：

压轴题；传统应用题专题．

分析：

（1）首先，0除外，把5分成3个数字之和，只可能是1+1+3=5，或者1+2+2=5，那么组成这个四位数的数字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2；然后把这两种情况进行排列组合即可；

（2）把5分成4个数字的和：

5+0+0+0=5；或者4+1+0+0=5；或者3+2+0+0=5；或者3+1+1+0=5；或者2+2+1+0=5；或者2+1+1+1=5，据此进行排列组合即可解答问题．

解答：

解：

（1）根据题干分析可得：

像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数，这个四位数的数字可能是0、1、1、3或者0、1、2、2；

由0、1、1、3组成的四位数有：

1130、1103、1013、1031、1310、1301、3110、3101、3011一共有9个；

由0、1、2、2、组成的四位数有：

2210、2201、2021、2012、2102、2120、1220、1202、1022，一共有9个；

所以9+19=18（个）；

答：

像这样数字和是5且只含有一个数字0的四位数有18个．

（2）把5分成4个数字的和：

5+0+0+0=5；或者4+1+0+0=5；或者3+2+0+0=5；或者3+1+1+0=5；或者2+2+1+0=5；或者2+1+1+1=5，

由5、0、0、0组成的四位数是：

5000，只有一个；

由4、1、0、0组成的四位数有：

4100、1400、4010、4001、1040、1004，有6个；

由3、2、0、0组成的四位数有：

3200、2300、3020、3002、2030、2003，有6个；

由3、1、1、0组成的四位数有：

3110、3101、3011、1130、1103、1013、1031，有7个；

由2、2、1、0组成的四位数有：

1220、1202、1022、2210、2201、2021，2012，有7个；

由2、1、1、1组成的四位数有：

2111、1112、1121、1211、有4个；

所以1+6+6+7+7+4=31（个），

答：

一共有31个这样的四位数．

故答案为：

18；31．

点评：

本题的关键是找出数字和是5的四个数字，再进行排列组合即可解答问题，要注意数字相同的情况．

14．（2010•澄海区）小仲晚上正在灯下学习时，突然停电了，他以为灯坏了，连续按了5次开关，再来电时，灯处于　关　的状态．（填“开”或“关”）

考点：

分析：

小仲晚上正在灯下学习时，突然停电了，此时开关的状态是开着的；小仲连续按了5次开关，则按第一次的后，为关，按第二次后为开，第三次的关，由此可知，当按奇数次时，开关状态改变，偶数次时状态不变．5为奇数，所以开关的状态由原来的开变为关．

解答：

解：

由于按奇数次时，开关状态改变，偶数次时状态不变．

5为奇数，所以开关的状态由原来的开变为关．

即再来电时，灯处于关的状态．

故答案为：

关．

点评：

在此类问题中，开关状态改变的规律是：

按奇数次时，开关状态改变，偶数次时状态不变．

15．（2010•成都）将6个“优秀少先队员”的名额分给六年级的一、二、三班，每个班至少1个名额，共有　10　种不同的分法．

考点：

分析：

由于每个班至少1个名额，所以，本题的分配方案实质上就是对余下3个名额的分配方案：

（1）把3个名额都给一个班级：

3种；

（2）将3个名额分成1个和2个进行分配共3×2=6种分法；

（1）将3个名额分成1、1、1进行分配共1种分法．即平均每班两个名额．

所以共有3+6+1=10种分法．

解答：

解：

由于每个班至少1个名额，6﹣3=3．

在每班保证一个的情况，还剩三个名额：

共有3×1+3×2+1=10（种）．

答：

共有10种不同的分法．

点评：

先每班确定一个额，将余下的名额进行分配是完成本题的关键．

16．（2010•西藏）格桑有281元人民币，这些钱至少由　6　张币纸组成．

考点：

专题：

整数的分解与分拆．

分析：

要使钱的张数最少，应尽量使用最大面值，因为成百的最大面值是100元，所以先拿出2张100的，同理，成十的最大面值是50元，所以拿1张50元的，还剩30元，再拿小的面值即1张20元的和1张10元的，最后还剩1元，所以拿1张1元的；据此解答．

解答：

解：

因为，281=100×2+1×50+1×20+1×10+1×1，

所以，张数是：

2+1+1

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