华东师大版九年级下二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系同步练习16含答案.docx

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华东师大版九年级下二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系同步练习16含答案

华东师大版九年级下二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系

同步练习含答案

知识点1　二次函数与一元二次方程

1．二次函数y＝31x2－999x＋892的图象如图26－3－8所示，则方程31x2－999x＋892＝0的根的情况是　.

图26－3－8

2．若关于x的函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为________．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图26－3－9所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x1＝3，则另一个根x2为（　　）

图26－3－9

A．－1B．－2C．－3D．－4

4．已知抛物线y＝（k－3）x2＋2x＋1（k为常数）与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k＜4B．k≤4

C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3

5．已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（　　）

A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3

6．2017·兰州下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值：

x

…

1

1.1

1.2

1.3

1.4

…

y

…

－1

－0.49

0.04

0.59

1.16

…

那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是（　　）

A．1B．1.1C．1.2D．1.3

7．教材26.3第4题

（2）变式已知二次函数y＝2x2－2和一次函数y＝5x＋1.

（1）你能用图象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解吗？

试试看；

（2）请通过解方程的方法验证

（1）中的答案．

知识点2　二次函数与不等式

8．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图26－3－10所示，则当函数值y＜0时，x的取值范围是（　　）

图26－3－10

A．x＜－1B．x＞3

C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3

9.如图26－3－11是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（　　）

图26－3－11

A．－15

C．x<－1且x>5D．x<－1或x>5

10．已知一次函数y1＝kx＋m和二次函数y2＝ax2＋bx＋c的自变量和对应函数值如下表：

x

…

－1

0

2

4

…

y1

…

0

1

3

5

…

x

…

－1

1

3

4

…

y2

…

0

－4

0

5

…

当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜－1B．x＞4

C．－1＜x＜4D．x＜－1或x＞4

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的纵坐标为－3，对称轴为直线x＝1且过点（－1，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）画出图象，并利用图象回答：

当x为何值时，y>0？

当x为何值时，y<0?

12．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图26－3－12，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为（　　）

图26－3－12

A．－3　　　　　B．3

C．－5　　　　　D．9

13．2017·丰台区期末已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

x

…

－1

0

1

2

3

…

y

…

3

0

－1

m

3

…

有以下几个结论：

①抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下；

②抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1；

③方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝0或x＝2；

④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.

其中正确的是（　　）

A．①④B．②④

C．②③D．③④

14．若m，n（n＜m）是关于x的一元二次方程1－（x－a）（x－b）＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜b

C．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m

15．如图26－3－13是抛物线y1＝ax2＋bx＋c的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx＋n与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（－1，0）；④当1

图26－3－13

16．已知抛物线y＝x2与直线y＝－2x＋3如图26－3－14所示．

（1）求交点A，B的坐标；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出不等式x2<－2x＋3的解集；

（4）不解方程，直接写出方程x2＋2x－3＝0的解．

图26－3－14

17．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C（0，－6），与x轴的一个交点是A（－2，0）．

（1）求二次函数的关系式，并写出图象的顶点D的坐标；

（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移

个单位，当y＜0时，求x的取值范围．

图26－3－15

18．已知关于x的函数y＝（k－1）x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．

（1）求k的取值范围．

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.

①求k的值；

②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

详解详析

1．有两个不相等的正实数根　[解析]∵二次函数y＝31x2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，

∴方程31x2－999x＋892＝0有两个不相等的正实数根．

2．0或－1　[解析]函数的图象与x轴只有一个公共点有两种情况：

①当k＝0时，函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴只有一个公共点；②当k≠0时，b2－4ac＝4＋4k＝0，解得k＝－1.所以k＝0或k＝－1.

3．A　[解析]由对称性可知，另一个交点的坐标为（－1，0），故x2＝－1.

4．D　[解析]因为抛物线与x轴有交点，所以

解得k≤4且k≠3.

5．B　[解析]∵二次函数y＝x2－3x＋m的图象的对称轴是直线x＝

，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.

6．C

7．解：

（1）如图，在平面直角坐标系内画出函数y＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，

两图象交点的横坐标是－

，3，

∴方程2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－

，x2＝3.

（2）整理得2x2－5x－3＝0，

因式分解，得（2x＋1）（x－3）＝0.

解得x1＝－

，x2＝3.

8．C　[解析]利用图象可知x的取值范围是－1＜x＜3.

9．D　[解析]由二次函数的图象的对称性，已知对称轴和图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），即可得出另一个交点坐标为（－1，0）．再由不等式ax2＋bx＋c<0的解集即指x轴下方图象所对应的x的取值可知选D.

10．D　

图26－3－11

[解析]如图，

由图得出两函数图象的交点坐标为（－1，0），（4，5），　

∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜－1.

11．解：

（1）由题意可得

解得

∴抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－2x－3.

（2）画图象略．当x<－1或x>3时，y>0；

当－1

12．B　[解析]方法一：

图象法，由ax2＋bx＋m＝0得ax2＋bx＝－m，一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，得函数y＝ax2＋bx与函数y＝－m的图象有交点，所以－m≥－3，m≤3.

方法二：

因为一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，所以b2－4am≥0，由y＝ax2＋bx的图象可得顶点纵坐标为

＝－3，b2＝12a，所以12a－4am≥0，又a>0，所以m≤3.

13．D　[解析]设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，

将（－1，3），（0，0），（3，3）代入，得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－2x＝x（x－2）＝（x－1）2－1.

由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；

抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；

当y＝0时，x（x－2）＝0，解得x＝0或x＝2，

∴方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝0或x＝2，故③正确．

当y＞0时，x（x－2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确．

故选D.

14．D　[解析]如图，抛物线y＝（x－a）（x－b）与x轴交于点（a，0），（b，0），

抛物线与直线y＝1的交点为（n，1），（m，1），

由图象可知，n＜b＜a＜m.

15．②⑤　[解析]①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a<0，b＞0，c＞0，故abc<0，故①错误；②根据函数图象的顶点坐标，可知方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根x1＝x2＝1，故②正确；③根据抛物线的对称性，知抛物线与x轴的另一个交点是（－2，0），故③错误；④根据函数图象，知当1

16．解：

（1）由x2＝－2x＋3得x1＝－3，x2＝1，所以点A的坐标为（－3，9），点B的坐标为（1，1）．

（2）设直线y＝－2x＋3与y轴交于点C，则C（0，3），所以S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝

×3×3＋

×3×1＝6.

（3）－3

（4）x1＝－3，x2＝1.

17．解：

（1）∵把点C（0，－6）的坐标代入抛物线的关系式，得c＝－6，把点A（－2，0）的坐标代入y＝x2＋bx－6，得b＝－1，

∴抛物线的关系式为y＝x2－x－6，

配方，得y＝（x－

）2－

，

∴抛物线的顶点D的坐标为（

，－

）．

（2）二次函数的图象沿x轴向左平移

个单位，得y＝（x＋2）2－

.

令y＝0，得（x＋2）2－

＝0，

解得x1＝

，x2＝－

.

∵a＞0，

∴当y＜0时，x的取值范围是－

＜x＜

.

18．解：

（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，

其图象与x轴有一个交点．

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y＝0，得（k－1）x2－2kx＋k＋2＝0，

Δ＝b2－4ac＝（－2k）2－4（k－1）（k＋2）≥0，解得k≤2，∴k≤2且k≠1.

综上所述，k的取值范围是k≤2.

（2）①∵x1≠x2，由

（1）知k＜2且k≠1.

由题意得（k－1）x12＋（k＋2）＝2kx1.（*）

将（*）代入（k－1）x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2，得2k（x1＋x2）＝4x1x2.

又∵x1＋x2＝

，x1x2＝

，

∴2k·

＝4·

.

解得k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去），

∴k的值为－1.

②如图，∵k＝－1，

∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2

＋

，

且－1≤x≤1.

由图象知：

当x＝－1时，y最小值＝－3；当x＝

时，y最大值＝

，

∴y的最大值为

，最小值为－3.