通用版版高考数学大二轮复习专题突破练21统计与概率文.docx

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通用版版高考数学大二轮复习专题突破练21统计与概率文

专题突破练21　统计与概率

1.（2019山东日照三校一月联考,文20）“水是生命之源”,但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%,全世界近80%人口受到水荒的威胁.某市为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）:

一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:

吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5）分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a的值;

（2）设该市有60万居民,估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数,并说明理由;

（3）若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费,估计x的值,并说明理由.

2.为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况,从该班级随机调查了n名学生,数学成绩的频率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示.

（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流,求有且只有一人成绩是105分的概率.

3.（2019江西九江一模,文19）某企业为了增加某种产品的生产能力,决定改造原有生产线,需一次性投资300万元,第一年的年生产能力为300吨,随后以每年40吨的速度逐年递减,根据市场调查与预测,该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示,该设备的使用年限为3年,该产品的销售利润为1万元/吨.

（1）根据年销售量的频率分布直方图,估算年销量的平均数

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率,各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值,并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率;

②试预测该企业3年的总净利润（3年的总净利润=3年销售利润-投资费用）.

4.某研究性学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”,部分统计数据如下表:

使用智能

手机人数

不使用智能

手机人数

合　计

学习成绩

优秀人数

4

8

12

学习成绩不

优秀人数

16

2

18

合　计

20

10

30

参考数据:

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

参考公式:

K2=

其中n=a+b+c+d.

（1）试根据以上数据,运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?

（2）研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4名同学记为A组,不使用智能手机且成绩优秀的8名同学记为B组,计划从A组推选的2人和B组推选的3人中,随机挑选2人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验.求挑选的2人恰好分别来自A,B两组的概率.

5.（2019河北唐山三模,文19）某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元,设每月配送单数为X,若X∈[1,300],每单提成3元,若X∈（300,600],每单提成4元,若X∈（600,+∞）,每单提成4.5元.饿了么外卖配送员底薪是每月2100元,设每月配送单数为Y,Y∈[1,400],每单提成3元,若Y∈（400,+∞）,每单提成4元,小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作,他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据,如下表:

表1:

美团外卖配送员甲送餐量统计

日送餐量x（单）

13

14

16

17

18

20

天数

2

6

12

6

2

2

表2:

饿了么外卖配送员乙送餐量统计

日送餐量x（单）

11

13

14

15

16

18

天数

4

5

12

3

5

1

（1）从饿了么外卖配送员乙送餐量大于15单的6天中抽取2天,求这2天的送餐量恰好都为16单的概率;

（2）以表中数据为依据,回答以下问题.

①计算外卖配送员甲和乙每日送餐的平均数;

②请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.

6.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量（单位:

kg）,其频率分布直方图如下:

旧养殖法

新养殖法

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;

（2）填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.

附:

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2=

.

7.（2019河南开封一模,文19）大学先修课程是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年,共有250人参与学习先修课程.

（1）这两年学校共培养出优等生150人,根据下图等高条形图,填写相应列联表,并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?

优等生

非优等生

总计

学习大学先修课程

250

没有学习大学先修课程

总计

150

（2）某班有5名优等生,其中有2名参加了大学生先修课程的学习,在这5名优等生中任选3人进行测试,求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.

参考数据:

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

参考公式:

K2=

其中n=a+b+c+d.

8.十九大提出:

坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间[1500,3000]内（单位:

克）,统计质量的数据,作出其频率分布直方图如图所示:

（1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000）,[2000,2250）的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;

（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:

A.所有蜜柚均以40元/千克收购;

B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250的以80元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

参考答案

专题突破练21　统计与概率

1.解

（1）由概率统计相关知识,可知各组频率之和的值为1,即频率分布直方图中各小矩形面积之和为1,所以0.5×（0.08+0.16+0.40+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1,解得a=0.3.

（2）由图可知,不低于2.5吨人数所占百分比为0.5×（0.3+0.12+0.08+0.04）×100%=27%,

所以全市月均用水量不低于2.5吨的人数为60×27%=16.2（万）.

（3）由

（2）可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为73%,

即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.5

假设月均用水量平均分布,则x=2.5+

=2.8（吨）.

2.解

（1）数学成绩的平均数估计为55×

+65×

+75×

+85×

+95×

+105×

+115×

=88.6（分）.

（2）记成绩为103,103,107,112分的学生分别为A,B,C,D,两位105分的学生分别为a,b,从中任取2人有（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,a）,（A,b）,（B,C）,（B,D）,（B,a）,（B,b）,（C,D）,（C,a）,（C,b）,（D,a）,（D,b）,（a,b）,共15种结果,有且只有一人成绩是105分的结果有8种,所以所求概率为

.

3.解

（1）年销量的平均数

=0.00250×40×120+0.00500×40×160+0.00750×40×200+0.00625×40×240+0.00375×40×280=0.1×120+0.2×160+0.3×200+0.25×240+0.15×280=206（吨）.

（2）①因为该产品的销售利润为1万元/吨,由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时,年销售利润才不低于220万,

∴年销售利润不低于220万的概率P=0.25+0.15=0.4.

同理,年销售利润不低于180万的概率P=0.3+0.25+0.15=0.7.

②由

（1）可知第一年的利润为206×1=206（万元）,

第二年的利润为（0.1×120+0.2×160+0.3×200+0.4×240）×1=200（万元）,

第三年的利润为（0.1×120+0.2×160+0.7×200）×1=184（万元）,

∴预测该企业3年的总净利润为:

206+200+184-300=290（万元）.

4.解

（1）K2=

=10.因为7.879

（2）记A组推选的2名同学为a1,a2,B组推选的3名同学为b1,b2,b3,则从中随机选出2名同学包含如下10个基本事件:

（a1,a2）,（a1,b1）,（a1,b2）,（a1,b3）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a2,b3）,（b1,b2）,（b1,b3）,（b2,b3）,记挑选的2人恰好分别来自A,B两组为事件Z,则事件Z包含如下6个基本事件:

（a1,b1）,（a1,b2）,（a1,b3）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a2,b3）,故P（Z）=

.即挑选的2人恰好分别来自A,B两组的概率是

.

5.解

（1）设饿了么外卖配送员乙送餐量为16单的5天分别为a,b,c,d,e,

送餐量为18单的1天为m,则6天中抽取2天的所有基本事件为（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,m）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,m）,（c,d）,（c,e）,（c,m）,（d,e）,（d,m）,（e,m）,共15个基本事件,这2天的送餐量恰好都为16单的基本事件为（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（c,d）,（c,e）,（d,e）,共10个基本事件,

故这2天的送餐量恰好都为16单的概率为P=

.

（2）①由题意

=13×

+14×

+16×

+17×

+18×

+20×

=16,

=11×

+13×

+14×

+15×

+16×

+18×

=14.

②

=30

=480∈（300,600],

=30

=420∈（400,+∞）,

美团外卖配送员,估计月薪平均为1800+4

=3720元,

饿了么外卖配送员,估计月薪平均为2100+4

=3780元>3720元,

故小王应选择做饿了么外卖配送员.

6.解

（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.

因此,事件A的概率估计值为0.62.

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66

K2=

≈15.705.

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）箱产量的频率分布直方图表明:

新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50kg到55kg之间,旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.

7.解

（1）列联表如下:

优等生

非优等生

总计

学习大学先修课程

50

200

250

没有学习大

学先修课程

100

900

1000

总计

150

1100

1250

由列联表可得

k=

≈18.939>6.635,

因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.

（2）在这5名优等生中,记参加了大学先修课程的学习的2名学生为A1,A2,记没有参加大学先修课程学习的3名学生为B1,B2,B3.

则所有的抽样情况如下:

{A1,A2,B1},{A1,A2,B2},{A1,A2,B3},{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B2,B3},{A2,B1,B2},{A2,B1,B3},{A2,B2,B3},{B1,B2,B3},共10种,其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有1种,为{B1,B2,B3}.

记事件A为至少有1名学生参加了大学先修课程的学习,则P（A）=1-

.

8.解

（1）由题得蜜柚质量在[1750,2000）和[2000,2250）的比例为2∶3,故应分别在质量为[1750,2000）和[2000,2250）的蜜柚中各抽取2个和3个.记抽取质量在[1750,2000）的蜜柚为A1,A2,质量在[2000,2250）的蜜柚为B1,B2,B3,则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种:

A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,其中质量小于2000克的仅有A1A2这1种情况,故所求概率为

.

（2）方案A好,理由如下:

由频率分布直方图可知,蜜柚质量在[1750,2000）的频率为250×0.0004=0.1,同理,蜜柚质量在[1750,2000）,[2000,2250）,[2250,2500）,[2500,2750）,[2750,3000]的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购:

根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250.于是总收益为

×500+

×500+

×750+

×2000+

×1000+

×250

×40÷1000=

×250×[（6+7）×2+（7+8）×2+（8+9）×3+（9+10）×8+（10+11）×4+（11+12）×1]×40÷1000=25×50（26+30+51+152+84+23）=457500（元）.若按方案B收购:

∵蜜柚质量低于2250克的个数为（0.1+0.1+0.3）×5000=1750

蜜柚质量低于2250克的个数为5000-1750=3250.

∴收益为1750×60+3250×80=250×20×（7×3+13×4）=365000元.

∴方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.