高三平面解析几何.docx
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高三平面解析几何
平面解析几何
上课时间学生姓名：
编写人
点
中点坐标
两点间距离
圆
位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
方程形式
标准方程
一般方程
点到直线的距离
直
线
直线斜率与倾斜角
两条直线位置关系
平行
相交
垂直
方程形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
点与直线位置关系
平面解析几何
空间直角坐标系
【知识图解】
直线的方程
例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m
，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
例2.直线l过点P（2,1）,且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
（1）当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
（2）当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
例3.直线l被两条直线l1：
4x＋y＋3＝0和l2：
3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.
【练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P0（x0,y0）的直线都可以用方程y-y0＝k（x-x0）表示；②经过任意两个不同点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的直线都可以用方程（y-y1）（x2-x1）＝（x-x1）（y2-y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程
+
＝1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是
2.设直线l的方程为
当直线l的斜率为-1时，k值为____,当直线l在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为
3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为
，且sin
+cos
=0，则a,b满足的关系式为
4.若直线l：
y＝kx
与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为
，则c的值为
6．若直线（m2─1）x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
答案1、①③④2、5、1或33、
4、
5、
6、
两条直线的位置关系
例4.已知两条直线
:
x+m2y+6=0,
:
（m-2）x+3my+2m=0，当m为何值时,
与
（1）相交；
（2）平行；（3）重合？
例5.已知直线
经过点P（3，1），且被两平行直线
：
x+y+1=0和
：
x+y+6=0截得的线段之长为5。
求直线
的方程。
【练习】
1.已知直线
在
轴上的截距为1，且垂直于直线
，则
的方程是
2.若直线
与
互相垂直，则
3.若直线l1：
ax+2y+6=0与直线l2：
x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是______.
4.已知
，且点
到直线
的距离等于
，则
等于
5.经过直线
与
的交点，且平行于直线
的直线方程是
1、
2、-3或13、-14、
5、3x+6y-2=0
圆的方程
例6设方程
，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
变式1：
方程
表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
例7.求半径为4，与圆
相切，且和直线
相切的圆的方程．
【练习】
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
2.过点P（-8，-1），Q（5，12），R（17，4）三点的圆的圆心坐标是
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是
6.方程
表示的曲线是_
7.圆
关于直线
的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式
，那么
的最大值是
9.已知点
和圆
，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为_____
答案1、B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞02、（5，-1）3、
4、
5、
6、两个半圆
7、
8、
9、_8
例题答案
例1分析：
运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:
（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．当m≠－1时，
，
（2）当m=－1时，AB：
x=－1，当m≠1时，AB：
.
（3）①当m=－1时，
；
②当m≠－1时，∵
∴
故综合①、②得，直线AB的倾斜角
例2析引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解
（1）设直线l的方程为y-1=k（x-2）,则点A（2-
0）,B（0,1-2k）,且2-
>0,1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S=
（1-2k）（2-
）=
[（-4k）+
+4]≥4,当-4k=
即k=
时,△AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
（2）解法一:
由题设,可令直线方程l为y-1=k（x-2）.
分别令y=0和x=0,得A（2-
0）,B（0,1-2k）,
∴|PA|·|PB|=
当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|·|PB|取得最小值4.又k<0,∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:
如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈（0,
）,且|PA|·|PB|=
当且仅当θ=
时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1,直线l的方程是x+y-3=0.
y
x
O
P
E
F
B
A
例2图
例3分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：
解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直线l过A（-2,5）,P（-1,2）,它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝
，∵A,B两点分别l1和l2上，∴
，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，
从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
例4解:
当ｍ＝0时，
：
x＋６＝０，
：
x＝０，∴
∥
，
当ｍ＝2时，
：
x＋４y＋６＝０，
：
３y＋２＝０
∴
与
相交；
当m≠０且m≠２时，由
得m＝－１或m＝３，由
得m＝3
故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时
与
相交。
（２）m＝－１或m＝０时
∥
，
（３）当m＝３时
与
重合。
点拨：
判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例5解法一：
:
若直线
的斜率不存在，则直线
的方程为x=3，此时与
、
的交点分别是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。
若直线
的斜率存在，则设
的方程为y=k（x-3）+1，
解方程组
得A（
－
）
解方程组
得B（
，－
）
由|AB|=5得
+
=25，
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。
综上可知，所求
的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线
与
、
分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25②
联立①②，可得
或
由上可知，直线
的倾斜角为0°或90°，又由直线
过点P（3，1），故所求
的方程为x=3或y=1。
点拨：
用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
例6解：
配方得：
该方程表示圆，则有
，得
，此时圆心的轨迹方程为
，消去m，得
，由
得x=m+3
所求的轨迹方程是
，
注意：
方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1解：
原方程可化为
当a
时，原方程表示圆。
又
当
，所以半径最小的圆方程为
例7解：
则题意，设所求圆的方程为圆
．
圆
与直线
相切，且半径为4，则圆心
的坐标为
或
．
又已知圆
的圆心
的坐标为
，半径为3．
若两圆相切，则
或
．
（1）当
时，
，或
（无解），故可得
．
∴所求圆方程为
，或
．
（2）当
时，
，或
（无解），故
．
∴所求圆的方程为
，或
．
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