知识点140 分式方程的解解答.docx

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知识点140分式方程的解解答

知识点140分式方程的解（解答）

1、（xx•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解答：

解：

去分母，得2x+a=2﹣x解得：

x=，∴＞0∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．点评：

由于我们的目的是求a的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得3x=2﹣a即可列出关于a的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣4，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．

2、若方程的解是正数，求a的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答：

解：

去分母得：

2x+a=﹣x+2．化简，得3x=2﹣a．故．欲使方程的根为正数，必须＞0，得a＜2．所以，当a＜2时，方程的解是正数．上述解法是否有误？

若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

化为整式方程，求得x的值然后根据解的情况进行分析没有错，但还应考虑分母x﹣2≠0即x≠2．解答：

解：

有错，当a＜2时，分母有可能为零；改正：

因为x≠2，所以，a≠﹣4，所以结果为a＜2且a≠﹣4．点评：

本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

3、已知关于x的方程﹣2=解为正数，求m的取值范围．考点：

分式方程的解。

分析：

先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．解答：

解：

去分母，得x﹣2（x﹣3）=m，解得：

x=6﹣m，∵x＞0，∴6﹣m＞0，∴m＜6，且x≠3，∴m≠3．∴m＜6且m≠3．点评：

解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x﹣3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．

4、如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣3和，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题；数形结合。

分析：

通过理解题意可知本题的等量关系，点A，B到原点的距离相等，根据这个等量关系，可列出方程，再求解．解答：

解：

依题意可得：

=3去分母得：

1﹣x=3（2﹣x），去括号得：

1﹣x=6﹣3x，移项得：

﹣x+3x=6﹣1，解得：

x=经检验，x=是原方程的解．答：

x的值是．点评：

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

5、如果关于x的分式方程：

无解，试求可能的k值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

分式方程无解的条件是：

去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：

解：

方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）可得：

x（x﹣2）﹣（x+2）2=k，∴﹣4﹣6x=k，则：

x=．又∵原方程无解，故x可能取值为2或﹣2，∴①当x=2时，k=﹣16；②当x=﹣2时，k=8．故满足条件的k值可能为﹣16或8．点评：

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．

6、已知分式方程=1的解为非负数，求a的范围．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再列出不等式解不等式即可．解答：

解：

去分母，得2x+a=x﹣1，解得x=﹣a﹣1．∴．由

（1）得a≤﹣1，由

（2）得a≠﹣2．∴a≤﹣1且a≠﹣2．点评：

本题综合考查了解分式方程和解不等式的知识点，比较简单．

7、如果关于x的方程无解，求m值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

化为整式方程，观察可得整式方程不存在无解的情况，那么就是分式方程产生增根了，把增根代入整式方程即可．解答：

解：

两边同时乘（x﹣3），得m+7（x﹣3）=﹣（x﹣4），整理得8x=25﹣m，整式方程不存在无解的情况，∴原方程无解时，x=3，解得m=1，答：

m的值是1．点评：

分式方程无解的可能为：

整式方程本身无解当未知数是系数为一定值时，整式方程不存在无解的情况；分式方程产生增根．

8、已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．解答：

解：

分式方程转化为整式方程得，2x+a=x﹣1移项得，x=﹣a﹣1，解为非负数则﹣a﹣1≥0，又∵x≠1，∴a≠﹣2∴a≤﹣1且a≠﹣2．点评：

本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．

9、已知关于x的方程无解，求m的值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

分式方程无解的条件是：

去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：

解：

去分母，整理得（m+3）x=4m+8，①由于原方程无解，故有以下两种情况：

（1）方程①无实数根，即m+3=0，而4m+8≠0，此时m=﹣3．

（2）方程①的根x=是增根，则=3，解得m=1．因此，m的值为﹣3或1．点评：

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．

10、若方程的一个解为x=﹣2，求代数式k+k﹣1的值．　3　考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

把x的值代入原方程，得到一个关于k的方程，直接解答求出k即可．解答：

解：

原方程化为整式方程得：

2x（x﹣1）﹣k（x﹣2）=2（x﹣1）（x﹣2）∵x=﹣2代入得：

k=3当k=3时，k+=3．点评：

碰到两个未知字母时，应先化为整式方程，再根据解的情况作答．注意k﹣1=．

11、已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围　m＜﹣2．　考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围．解答：

解：

解分式方程得，x=﹣m﹣2因为原方程的解为正数，所以x＞0，即﹣m﹣2＞0∴m＜﹣2．点评：

首先用m表示出x，再根据x的范围求出m的取值．

12、当a为何值时，关于x的方程有解x=2．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

根据方程的解的定义，把x=2代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．解答：

解：

把x=2代入方程得，去分母得，20a+2=82a﹣246移项、合并同类项得，62a=248解得a=4．点评：

解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．由已知解代入原方程列出新的方程，然后解答．

13、若关于x的方程无解，求m的值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

分式方程无解的条件是：

去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：

解：

∵方程无解∴方程有增根x=3∴方程两边同乘以（x﹣3），得6﹣x=m2∴当x=3时，m=．点评：

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．

14、

（1）先化简，再求值：

，其中x=﹣4．

（2）若关于x的分式方程无解，求m的值．考点：

分式方程的解；分式的化简求值。

专题：

计算题。

分析：

（1）这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．

（2）关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=3，再按此进行计算．解答：

解：

（1）原式==，当x=﹣4时，原式=﹣1；

（2）关于x的分式方程无解即是x=3，又∵方程可转化为2x+m=3﹣x，当x=3时，m=﹣6．点评：

本题除考查了分式的混合运算外，还考查了分式方程的解．

15、当m为何值时，分式方程无解？

考点：

分式方程的解。

分析：

无解时就是x=1或x=﹣1时，先把分式方程化成整式方程，然后代入x=1或x=﹣1求解，解答：

解：

原题化成整式方程为：

m（x﹣1）+（x+1）=1从方程可看出x≠1．∴当x=﹣1时，m=﹣．点评：

本题考查分式方程的解，理解有增根时就是无解的情况，进而求出结果．

16、若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是　m＜8且m≠4　．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

方程两边同乘以x﹣4，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．解答：

解：

方程两边同乘以x﹣4，得，x﹣2（x﹣4）=m，解得x=8﹣m，∵分式方程的解是正数，∴8﹣m＞0且x﹣4≠0，即m＜8且m≠4，故答案为m＜8且m≠4．点评：

本题考查了分式方程的解，分式的分母为0，此题是一道易错题，有点难度．

17、如果关于x的方程+=没有解，求m的值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．解答：

解：

方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得（x﹣1）2﹣5（x+1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，解得x=﹣1或1，当x=﹣1时，m=4，当x=1时，m=﹣10．点评：

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

18、当a=　﹣　时，关于x的方程的根是1．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

将x=1代入方程求得a的值即可．解答：

解：

∵方程的根是1，∴=，解得a=﹣，故答案为﹣．点评：

本题考查了分式方程的解，根据方程解的定义，代入求出a的值是关键．

19、若关于x的分式方程无解，求m的值．考点：

分式方程的解。

分析：

本题须先求出分式方程的解，再根据分式方程无解的条件列出方程，最后求出方程的解即可．解答：

解：

，2（x+2）+mx=3（x﹣2），2x+4+mx=3x﹣6，x﹣mx=10，x=，∵当x=2时分母为0，方程无解，即=2，m=﹣4时方程无解；当x=﹣2时分母为0，方程无解，即=﹣2，m=6时方程无解．故答案为：

﹣4或6．点评：

本题主要考查了分式方程的解，在解题时要能灵活应用分式方程无解的条件，列出式子是本题的关键．

20、当a为何值时关于x的方程的解为正数？

考点：

分式方程的解。

分析：

本题需先解方程求出x的值，再列出方程的解为正数时，a需满足的条件即可求出最后结果．解答：

解：

，（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣2）2=2x+a，x2﹣1﹣（x2﹣4x+4）=2x+a，2x=a+5，x=，，且，∴a＞﹣5且a≠﹣1时，方程的解为正数．点评：

本题主要考查了分式方程的解，在解题时要能够求出分式方程的解，并能够列出式子求出方程的解为正数的条件是本题的关键．

21、已知关于x的方程﹣=恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．考点：

分式方程的解。

分析：

去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为△=0（方程有等根，满足方程恰好有一个实数解），若△＞0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．解答：

解：

两边同乘x2﹣x，得2kx2+（3﹣4k）x+4k﹣7=0，若k=0，3x﹣7=0，x=，若k≠0，由题意，知△=（3﹣4k）2﹣8k（4k﹣7）=0，解得k1=，k2=﹣，当k1=时，x1=x2=，当k2=﹣时，x1=x2=4，若方程有两不等实根，则其中一个为增根，当x1=1时，k=2，x2=，当x1=0时，k=，x2=．点评：

本题考查了分式方程的解．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．

22、附加题．

（1）已知分式方程，则它的解为

（2）已知分式方程，则x+1=5或x+1=

，所以原分式方程的解为　4或﹣　（3）已知分式方程，则可得　x+3+=6+　，所以原分式方程的解为　3或﹣　．考点：

分式方程的解。

分析：

（2）通过解一元一次方程可直接得分式方程的解；（3）根据上述方程的规律可知分式方程变形为：

x+3+=6+，问题的解．解答：

解：

（2）由

（1）可得x+1=5或x+1=，∴所以原分式方程的解为x=4或x=﹣；故答案为；4或﹣；（3）由

（1）

（2）可知分式方程可变形为：

x+3+=6+，∴x+3=6或x+3=，∴所以原分式方程的解为3或﹣，故答案为：

3或﹣．点评：

本题是一道找规律的题目，考查了分式方程的解，是基础知识要熟练掌握．

23、若关于x的分式方程无解，则m的值为　或或1　．考点：

分式方程的解。

分析：

首先把x看做未知数，方程两边同时乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化简为整式方程，通过解整式方程，求得x关于m的表达式，再根据题意，当x=3时，方程无解，所以=3，把m看做未知数，然后解关于m的分式方程，求m的值即可．解答：

解：

∵，∴方程两边同时乘以最简公分母（x﹣3）得：

x﹣m（x﹣3）=m2，∴x﹣mx+3m=m2，∴x=，∵当x=3或m=1时，方程无解，∴=3，方程两边同乘以（1﹣m）得：

m2﹣3m=3﹣3m，整理得：

m2=3，∴m=或m=1，故答案为或或1．点评：

本题主要考查解分式方程，分式方程的意义，关键在于明确当x=3时，原方程无解，求出x关于m的表达式，认真正确的解关于m的分式方程．

24、若关于x的方程=1的解为正数，求m的取值范围．考点：

分式方程的解。

分析：

首先解方程求得方程的解，然后根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式即可求解．解答：

解：

去分母得：

2x+m=x﹣2，∴x=﹣m﹣2，根据题意得：

﹣m﹣2＞0，解得：

m＜﹣2．∵x﹣2≠0，∴x≠2，∴m≠﹣4，∴m＜﹣2且m≠﹣4．点评：

本题主要考查了方程的解，关键是正确解方程．

25、关于x的方程无解，求m．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．解答：

解：

∵方程，∴=0，∴x=1是方程的增根，∴m1+1﹣0=0，∴m=﹣1，当m=1时==0，方程也无解，∴m=1．点评：

此题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．

26、关于x的方程的解是正数，求a的取值范围．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围解答：

解：

去分母，得x+a=2﹣x，解得：

x=1﹣，∵x＞0，∴1﹣＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣2，∴a＜2且a≠﹣2．点评：

本题考查了分式方程的解，解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．

27、k取什么值时，分式方程无解？

考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=0或x=1，将原方程化为整式方程，再将x=0或x=1代入整式方程解答即可．解答：

解：

∵分式方程无解，∴x=0或x=1．原方程可化为6x=x+k﹣3（x﹣1），整理得，k=8x﹣3．当x=0时，k=8x﹣3=﹣3；当x=1时，k=8﹣3=5．点评：

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．要注意先将分式方程化为整式方程再进行计算．

28、已知关于x的分式方程的解小于0，求a的取值范围．考点：

分式方程的解。

分析：

由于本题是关于x的分式方程，那么就可以把k当作已知数，求得x的解．再根据根于小0，分母不为0求得a的取值．解答：

解：

方程两边都乘（x﹣3）得，2x+a=﹣2（x﹣3），解得x=．∵根小于0，∴＜0，∴a＞6．点评：

本题考查了分式方程的解，关于某个字母的方程，应该只把这个字母当成未知数，其余的当成已知数来解．本题还需注意分母不能为0．

29、a为何值时，分式方程﹣=5的解为正数．考点：

分式方程的解。

专题：

常规题型。

分析：

先把分式方程化简成整式方程，再求得x的值然后根据解的情况进行分析．解答：

解：

由原方程﹣=5得，+=5，=5，∵分式方程的解为正数，∴x﹣3≠0，∴x≠3，把以上方程去分母解得：

x=，∵x为正数，∴＞0，∴a+13＞0，∴a＞﹣13，又∵x≠3，∴≠3，∴a≠﹣1，∴a＞﹣13，且a≠﹣1时，原方程得解为正数．点评：

考查了分式方程的解，解答本题的关键是要注意分母不为0，并且解为正数．

30、已知下列关于x的分式方程：

方程1、，方程2、，方程3、，…，方程n，

（1）填空：

分式方程1的解为　x=2　，分式方程2的解为　x=2　；

（2）解分式方程3；（3）根据上述方程的规律及解的特点，直接写出方程n及它的解．考点：

分式方程的解。

专题：

规律型。

分析：

（1）利用解分式方程的步骤可解得方程1，2的解；

（2）先去分母，方程两边同乘以（x+1）（x+2），将分式方程化为整式方程，求解即可；（3）根据上述方程的规律可得形如：

的解为x=2．解答：

解：

（1）方程两边同乘以x（x﹣1），得：

2（x﹣1）=x，解得x=2；方程两边同乘以x（x+1），得：

2（x+1）=3x，解得x=2；

（2）方程两边同乘以（x+1）（x+2），得：

3（x+2）=4（x+1），解得x=6﹣4，即x=2检验：

当x=2时，（x+1）（x+2）=12≠0，∴x=2是原方程的解；（3）方程n：

，解得x=2；故答案为x=2；x=2．点评：

本题是一道找规律的题目，考查了分式方程的解，是基础知识要熟练掌握．

31、如果方程的根是1，求a的值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后把方程的根代入计算即可求出a的值．解答：

解：

方程两边都乘以a﹣x得，x+3=2（a﹣x），∵方程的根是1，∴1+3=2（a﹣1），解得a=3．故答案为：

3．点评：

本题考查分式方程的解，分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，再把方程的解代入计算即可．

32、已知关于x的分式方程有一个正数解，求m的取值范围．考点：

分式方程的解；等式的性质；解一元一次方程。

专题：

计算题。

分析：

根据等式的性质求出方程的解x=1﹣m，根据已知得出1﹣m＞0，根据x1≠0得出1﹣m≠1且1﹣m≠﹣1，根据以上结论得出答案即可．解答：

解：

方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）约去分母，得x（x﹣1）﹣（x﹣1）（x+1）=m，整理得﹣x+1=m，所以x=1﹣m，因为原方程有解，所以x不能为1和﹣1，即1﹣m≠1且1﹣m≠﹣1，所以m≠0且m≠2，又因为方程的解为正数，所以1﹣m＞0，即m＜1，所以当m＜1且m≠0时，原方程有一个正数解，即m的取值范围是m＜1且m≠0．点评：

本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，分式方程的解等知识点的理解和掌握，能根据已知和方程的解得出m的范围是解此题的关键．

33、关于x的方程的解是（x

1、x2表示未知数x的两个解？

（即）的解是的解是的解是

（1）猜想关于x的方程的解是什么？

并说明理由．

（2）请探究关于x的方程的解．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题；规律型。

分析：

（1）首先正确理解已知条件，抓住题目隐含的规律，利用规律即可求解；

（2）首先把所求方程变形为，然后利用

（1）中规律即可求解．解答：

解：

（1）x1=c，x2=．理由：

∵（即）的解是，的解是，的解是，∴关于x的方程的解是x1=c，x2=；

（2）∵，∴，∴x﹣1=a﹣1，或x﹣1=，∴x=a或x=．点评：

此题主要考查了分式方程的解的情况，同时也是一个找规律的题目，要抓住题目的隐含条件，发现规律，然后利用规律解决问题．

34、如果关于x的分式方程：

无解，试求可能的k值．考点：

分式方程的解。

专题：

计算题。

分析：

分式方程无解的条件是：

去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：

解：

方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）可得：

x（x﹣2）﹣（x+2）2=k，∴﹣4﹣6x=k，则：

x=．又∵原方程无解，故x可能取值为2或﹣2，∴①当x=2时，k=﹣16；②当x=﹣2时，k=8．故满足条件的k值可能为﹣16或8．点评：

本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．