立体几何与空间向量知识点归纳总结.docx
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立体几何与空间向量知识点归纳总结
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立体几何与空间向量知识点归纳总结
一、立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱的定义：
有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：
侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：
侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：
底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：
平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的
比。
（3）棱台的定义：
用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：
①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转叫圆柱。
其余三边旋转所围成的几何体
圆柱的性质：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴
圆锥。
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旋转一周所围成的几何体叫
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圆锥的性质：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：
以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体
叫圆台。
圆台的性质：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体
叫球。
球的性质：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线）
S
ch
S圆柱侧
2rh
S正棱锥侧面积
ch'
直棱柱侧面积
1
2
S圆锥侧面积
rl
S正棱台侧面积1（c1
c2）h'
S圆台侧面积（rR）l
2
S圆柱表
2r
r
l
S圆锥表
r
r
l
S圆台表
r2
rlRl
R2
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
柱
Sh
V圆柱
Sh
2rh
V锥
1
Sh
V圆锥
1
2
h
V
3
3
r
V台
1
（S'
S'SS）h
V圆台
1
'
'
1
（r
2
2
3
（S
SSS）h
rRR）h
3
3
（4）球体的表面积和体积公式：
V球=4
R3
；S球面=4
R2
3
3、平面及基本性质
公理1
Al,Bl,A
B
l
公理2
若P
P
则
a且P
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公理3不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）
4、空间两直线的位置关系
共面直线：
相交、平行（公理4）异面直线
5、异面直线
（1）对定义的理解：
不存在平面，使得a且b
（2）判定：
反证法（否定相交和平行即共面）判定定理：
P15
★（3）求异面直线所成的角：
①平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角
形.
②向量法
|ab|
（注意异面直线所成角的范围（0,]
cos|cosa,b|
|a||b|
2
（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；
②向量法abab0
（5）求异面直线间的距离：
大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题
计算.
6、直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
a,a//,aA
2、直线与平面平行的判定
b
（1）判定定理:
b//ab//（线线平行，则线面平行P17）
a
//
（2）面面平行的性质：
a//（面面平行，则线面平行）
a
3、直线与平面平行的性质
a//,a
a//b（线面平行，则线线平行P18）
b
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★4、直线与平面垂直的判定
l
（1）直线与平面垂直的定义的逆用
la
a
l
m,l
n
（2）判定定理：
m,n
l
（线线垂直，则线面垂直
23
）
P
m
n
A
a//b
a
（P25练习第6题）
（3）
b
（4）面面垂直的性质定理：
la（面面垂直，则线面垂直P51）
a,al
//
（5）面面平行是性质：
l
l
5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理线垂影线垂斜
7、两个平面的位置关系：
空间两个平面的位置关系相交和平行
8、两个平面平行的判定
a//
b//
P19）
（1）判定定理：
//（线线平行，则面面平行
a,b
abP
l
（2）
l
//垂直于同一平面的两个平面平行
（3）
//,//
//平行于同一平面的两个平面平行
（P21练习第2题）
9、两个平面平行的性质
（1）性质1：
//,aa//
//
（2）面面平行的性质定理：
a//b（面面平行，则线线
a,b
平行P20）
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（3）性质2：
//,ll
10、两个平面垂直的判定与性质
（1）判定定理：
a,a（线面垂直，则面面垂直P50）
（2）性质定理：
面面垂直的性质定理：
la（面面垂直，则线
a
al
面垂直P51
）
12、空间角：
异面直线所成角（
9.1）；斜线与平面所成的角
（0,）
2
（1）求作法（即射影转化法）：
找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足
.
（2）向量法：
设平面
的法向量为n，则直线AB与平面
所成的角为
，则
sin
|cosAB,n|
|AB
n|
（0,
）
|AB|n||
2
（3）两个重要结论
最小角定理P48：
cos
cos
1cos2
，P26,例4P28第6题
13、空间距离：
求距离的一般方法和步骤
（1）找出或作出有关的距离；
（2）证明它符合定义；
（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）求点到面的距离常用的两种方法
（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；
（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：
|ABn|
d
|n|
直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离
①定义：
和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）
②求法：
法1找出两异面直线的公垂线段并计算，法2转化为点面距离
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向量法
|AB
n|
n为垂直于两异面直
d
（A，B分别为两异面直线上任意一点，
|n|
线的向量）
注意理解应用：
l2
m2
n2
d2
2mncos
二、空间向量知识点
1、空间向量的加法和减法：
1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：
在空间任取一点
，作a，b，则ab．
2求两个向量和的运算称为向量的加法：
在空间以同一点为起点的两个已知向量
a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b
的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运
算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0
时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．
3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
4、向量共线充要条件：
对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使ab．
5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
6、向量共面定理：
空间一点位于平面C内的充要条件是存在有
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序实数对x，y，使
xyC；或对空间任一定点，有
x
yC；或若四点，
，
，C共面，则
x
y
zCx
y1．z
7、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点
，作
a，
b，
则
称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范
围是：
a,b
0,．
8、对于两个非零向量a和b，若a,b
，则向量a，b互相垂直，
2
记作a
b．
9、已知两个非零向量a和b，则abcosa,b称为a，b的数量积，记
作ab．即ab
abcosa,b．零向量与任何向量的数量积为
0．
10、a
b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b
的乘积．
11、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有
1
ea
aeacosa,e
；2a
bab
0；
3
与
同向
，aa
a2，a
aa；4cosab,
ab；
ab
aba
b
ab
a与b反向
ab
5
ab
ab．
12、空间向量基本定理:
若三个向量a，b，c不共面，则对空间任
一向量p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．
13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
14、设e1，e2，e3为有公共起点
的三个两两垂直的单位向量（称它
们为单位正交基底），以e1，e2
，e3的公共起点为原点，分别以e1，
2，3
的方向为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系
．则
ee
y
z
xyz
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对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点
重合，得到向量
p．存在有序实数组x,y,z，使得
1
2
．3把x，，
称作向量
在单位正交基底1，2
，3下
pxe
ye
ze
y
z
p
ee
e
的坐标，记作p
x,y,z
．此时，向量
p的坐标是点
在空间直角坐标
系xyz中的坐标x,y,z．
15、设a
x1,y1,z1
，b
x2,y2,z2，则
1ab
x1x2,y1
y2,z1
z2．2abx1
x2,y1y2,z1z2．3
a
x1,
y1,z1
．
4abx1x2
y1y2
z1z2．5若a
、b
为非零向量，则
ab
ab0
x1x2y1y2
z1z20．
6
若
b
0
，
则
a/
/b1
a2．7a
a,abx12
y12
z12．x,
8
ab
x1x2
y1y2
z1z2
．
cosa,b
ab
x12
y12
z12
x22
y22
z22
9
x1,y1,z1，
x2,y2,z2，则d
x2x1
2
2
2
．
y2y1
z2z1
16、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两
条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上
任意一点，存在有序实数对x,y使得xayb，这样点与向量a，
b就确定了平面的位置．
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17、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法
向量．
18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则
a//ba//b
abR，ababab0．
19．anan0，aaa//nan．
20、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则
//a//b
ab，abab0．
21、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，
ab
．
则有coscos
ab
22、设直线l的方向向量为l，平面
的法向量为n，l与
所成的角
为，l与n的夹角为
，则有sin
cos
l
n
l
．
n
23、设n1，n2是二面角
l的两个面
，
的法向量，则向量n1，
n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l
的平面角为
，则cos
n1
n2
．
n1
n2
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24、在直线l上找一点
，过定点
且垂直于直线l的向量为n，则定
点到直线l的距离为d
cos
n
n
．
n
25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计
算．
26、点是平面
外一点，是平面
内的一定点，n为平面
的一个
法向量，则点
到平面的距离为d
n
cos,n
n
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