高中数学导数及其应用综合检测试题及答案语文.docx

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高中数学导数及其应用综合检测试题及答案语文

高中数学导数及其应用综合检测试题及答案

　　第一章导数及其应用综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2019全国Ⅱ文，7）若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（）

A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1

[答案]　A

[解析]　y＝2x＋a，y|x＝0＝（2x＋a）|x＝0＝a＝1，

将（0，b）代入切线方程得b＝1.

2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为（）

A．v＝2sint＋2tcost＋1

B．v＝2sint＋2tcost

C．v＝2sint

D．v＝2sint＋2cost＋1

[答案]　A

[解析]　因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s（t）在t0的导数，S＝2sint＋2tcost＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A（2,10）处的切线的斜率是（）

A．4

B．5

C．6

D．7

[答案]　D

[解析]　由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A（2,10）处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y|x＝2＝7，故选D.

4．函数y＝x|x（x－3）|＋1（）

A．极大值为f

（2）＝5，极小值为f（0）＝1

B．极大值为f

（2）＝5，极小值为f（3）＝1

C．极大值为f

（2）＝5，极小值为f（0）＝f（3）＝1

D．极大值为f

（2）＝5，极小值为f（3）＝1，f（－1）＝－3

[答案]　B

[解析]　y＝x|x（x－3）|＋1

＝x3－3x2＋1　（x0或x3）－x3＋3x2＋1　（03）

y＝3x2－6x　（x0或x3）－3x2＋6x　（03）

x变化时，f（x），f（x）变化情况如下表：

x（－，0）0（0,2）2（2,3）3（3，＋）

f（x）＋0＋0－0＋

f（x）?

无极值?

极大值5?

极小值1?

f（x）极大＝f

（2）＝5，f（x）极小＝f（3）＝1

故应选B.

5．（2009安徽理，9）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程是（）

A．y＝2x－1

B．y＝x

C．y＝3x－2

D．y＝－2x＋3

[答案]　A

[解析]　本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．

∵f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，

f（2－x）＝2f（x）－x2－4x＋4，

f（x）＝x2，f（x）＝2x，

曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2（x－1），y＝2x－1.

6．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3时取得极值，则a等于（）

A．2

B．3

C．4

D．5

[答案]　D

[解析]　f（x）＝3x2＋2ax＋3，

∵f（x）在x＝－3时取得极值，

x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，

a＝5，故选D.

7．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0时，f（x）g（x）＋f（x）g（x）0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）

A．（－3,0）（3，＋）

B．（－3,0）（0,3）

C．（－，－3）（3，＋）

D．（－，－3）（0,3）

[答案]　D

[解析]　令F（x）＝f（x）g（x），易知F（x）为奇函数，又当x0时，f（x）g（x）＋f（x）g（x）0，即F（x）0，知F（x）在（－，0）内单调递增，又F（x）为奇函数，所以F（x）在（0，＋）内也单调递增，且由奇函数知f（0）＝0，F（0）＝0.

又由g（－3）＝0，知g（3）＝0

F（－3）＝0，进而F（3）＝0

于是F（x）＝f（x）g（x）的大致图象如图所示

F（x）＝f（x）g（x）0的解集为（－，－3）（0,3），故应选D.

8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）

A．①②

B．③④

C．①③

D．①④

[答案]　B

[解析]　③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.

9．（2019湖南理，5）241xdx等于（）

A．－2ln2

B．2ln2

C．－ln2

D．ln2

[答案]　D

[解析]　因为（lnx）＝1x，

所以241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.

10．已知三次函数f（x）＝13x3－（4m－1）x2＋（15m2－2m－7）x＋2在x（－，＋）是增函数，则m的取值范围是（）

A．m2或m4

B．－4－2

C．24

D．以上皆不正确

[答案]　D

[解析]　f（x）＝x2－2（4m－1）x＋15m2－2m－7，

由题意得x2－2（4m－1）x＋15m2－2m－70恒成立，＝4（4m－1）2－4（15m2－2m－7）

＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28

＝4（m2－6m＋8）0，

24，故选D.

11．已知f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c（）

A．有最大值152

B．有最大值－152

C．有最小值152

D．有最小值－152

[答案]　B

[解析]　由题意f（x）＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f（x）0恒成立．

所以f（－1）0f

（2）0

即2b－c－304b＋c＋120

令b＋c＝z，b＝－c＋z，如图

过A－6，－32得z最大，

最大值为b＋c＝－6－32＝－152.故应选B.

12．设f（x）、g（x）是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f（x）g（x）－f（x）g（x）0，则当ab时有（）

A．f（x）g（x）f（b）g（b）

B．f（x）g（a）f（a）g（x）

C．f（x）g（b）f（b）g（x）

D．f（x）g（x）f（a）g（x）

[答案]　C

[解析]　令F（x）＝f（x）g（x）

则F（x）＝f（x）g（x）－f（x）g（x）g2（x）0

f（x）、g（x）是定义域为R恒大于零的实数

F（x）在R上为递减函数，

当x（a，b）时，f（x）g（x）f（b）g（b）

f（x）g（b）f（b）g（x）．故应选C.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）

13.－2－1dx（11＋5x）3＝________.

[答案]　772

[解析]　取F（x）＝－110（5x＋11）2，

从而F（x）＝1（11＋5x）3

则－2－1dx（11＋5x）3＝F（－1）－F（－2）

＝－11062＋11012＝110－1360＝772.

14．若函数f（x）＝ax2－1x的单调增区间为（0，＋），则实数a的取值范围是________．

[答案]　a0

[解析]　f（x）＝ax－1x＝a＋1x2，

由题意得，a＋1x20，对x（0，＋）恒成立，

a－1x2，x（0，＋）恒成立，a0.

15．（2009陕西理，16）设曲线y＝xn＋1（nN*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．

[答案]　－2

[解析]　本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．

k＝y|x＝1＝n＋1，

切线l：

y－1＝（n＋1）（x－1），

令y＝0，x＝nn＋1，an＝lgnn＋1，

原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100

＝lg1223…99100＝lg1100＝－2.

16．如图阴影部分是由曲线y＝1x，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．

[答案]　23＋ln2

[解析]　由y2＝x，y＝1x，得交点A（1,1）

由x＝2y＝1x得交点B2，12.

故所求面积S＝01xdx＋121xdx

＝23x3210＋lnx21＝23＋ln2.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）（2019江西理，19）设函数f（x）＝lnx＋ln（2－x）＋ax（a0）．

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（0,1]上的最大值为12，求a的值．

[解析]　函数f（x）的定义域为（0,2），

f（x）＝1x－12－x＋a，

（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋2x（2－x），所以f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，2）；

（2）当x（0,1]时，f（x）＝2－2xx（2－x）＋a0，

即f（x）在（0,1]上单调递增，故f（x）在（0,1]上的最大值为f

（1）＝a，因此a＝12.

18．（本题满分12分）求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．

[解析]　由y＝2x－x2，y＝2x2－4x得x1＝0，x2＝2.

由图可知，所求图形的面积为S＝02（2x－x2）dx＋|02（2x2－4x）dx|＝02（2x－x2）dx－02（2x2－4x）dx.

因为x2－13x3＝2x－x2，

23x3－2x2＝2x2－4x，

所以S＝x2－13x320－23x3－2x220＝4.

19．（本题满分12分）设函数f（x）＝x3－3ax＋b（a0）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处与直线y＝8相切，求a，b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值点．

[分析]　考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．

[解析]　

（1）f（x）＝3x2－3a.

因为曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处与直线y＝8相切，

所以f

（2）＝0，f

（2）＝8.即3（4－a）＝0，8－6a＋b＝8.

解得a＝4，b＝24.

（2）f（x）＝3（x2－a）（a0）．

当a0时，f（x）0，函数f（x）在（－，＋）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．

当a0时，由f（x）＝0得x＝a.

当x（－，－a）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；

当x（－a，a）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；

当x（a，＋）时，f（x）0，函数f（x）单调递增．

此时x＝－a是f（x）的极大值点，x＝a是f（x）的极小值点．

20．（本题满分12分）已知函数f（x）＝12x2＋lnx.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：

当x1时，12x2＋lnx23x3.

[解析]　

（1）依题意知函数的定义域为{x|x0}，

∵f（x）＝x＋1x，故f（x）0，

f（x）的单调增区间为（0，＋）．

（2）设g（x）＝23x3－12x2－lnx，

g（x）＝2x2－x－1x，

∵当x1时，g（x）＝（x－1）（2x2＋x＋1）x0，

g（x）在（1，＋）上为增函数，

g（x）g

（1）＝160，

当x1时，12x2＋lnx23x3.

21．（本题满分12分）设函数f（x）＝x3－92x2＋6x－a.

（1）对于任意实数x,f（x）m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f（x）＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

[分析]　本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．

[解析]　

（1）f（x）＝3x2－9x＋6＝3（x－1）（x－2）．

因为x（－，＋）．f（x）m，即3x2－9x＋（6－m）0恒成立．

所以＝81－12（6－m）0，得m－34，即m的最大值为－34.

（2）因为当x1时，f（x）0；当12时，f（x）0；当x2时f（x）0.

所以当x＝1时，f（x）取极大值f

（1）＝52－a，

当x＝2时，f（x）取极小值f

（2）＝2－a.

故当f

（2）0或f

（1）0时，方程f（x）＝0仅有一个实根，解得a2或a52.

22．（本题满分14分）已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋1（aR）．

（1）若函数y＝f（x）在区间0，23上递增，在区间23，＋上递减，求a的值；

（2）当x[0,1]时，设函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a32，＋，求的取值范围；

（3）在

（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）＝x4－5x3＋（2－m）x2＋1（mR）的图象与函数y＝f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．

[解析]　

（1）依题意f23＝0，

由f（x）＝－3x2＋2ax，得－3232＋2a23＝0，即a＝1.

（2）当x[0,1]时，tan＝f（x）＝－3x2＋2ax＝－3x－a32＋a23.

由a32，＋，得a312，＋.

①当a312，1，即a32，3时，f（x）max＝a23，

f（x）min＝f（0）＝0.

此时0tana23.

②当a3（1，＋），即a（3，＋）时，f（x）max＝f

（1）＝2a－3，f（x）min＝f（0）＝0，

此时，0tan2a－3.

又∵[0，），当323时，0，arctana23，

当a3时，[0，arctan（2a－3）]．

（3）函数y＝f（x）与g（x）＝x4－5x3＋（2－m）x2＋1（mR）的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋（2－m）x2＋1恰有3个不等实根，

x4－4x3＋（1－m）x2＝0，

显然x＝0是其中一个根（二重根），

方程x2－4x＋（1－m）＝0有两个非零不等实根，则

＝16－4（1－m）01－m0

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

m－3且m1

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

故当m－3且m1时，函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象恰有3个交点．

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。