立体几何判断题.docx

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立体几何判断题

1．三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）

A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

2．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（　　）

A．α⊥β，α∩β=l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥α

C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

3．已知a，b是直线，α是平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．a⊥α，a⊥b⇒b∥αB．a⊥b，a∥α⇒b⊥a

C．a∥b，b∥α⇒a∥αD．a⊥α，a∥b⇒b⊥α

4．在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

③若平面α与平面β的交线为m，平面α内直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；

④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β．

其中正确命题的个数为（　　）个．

A．0B．1C．2D．3

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　）

A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m∥α，n⊂α，则m∥n

6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（　　）

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β

7．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥α

C．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β

8．已知m、n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（　　）

（1）α∩β=m．n⊂α，n⊥m，则α⊥β

（2）α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m

（3）m⊥α，m⊥β，则α∥β（4）m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

A．

（1）、

（2）B．（3）、（4）C．

（2）、（3）D．

（2）、（4）

9．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题中不正确的是（　　）

A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥α

C．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．α∩β=m，n与α，β所成的角相等，则m⊥n

10．设α，β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是（　　）

A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且m∥α

C．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β，且l∥m

参考答案与试题解析

1．三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）

A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

【分析】运用正方体，墙角线面，同一法，直线平面的垂直的定理的关键条件，判断即可．

【解答】解：

若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，m有可能在平面α上，故A不正确；

若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β可能相交，故B不正确；

若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故C不正确

若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m∥n，从而可得m⊥α，故D正确．

故选：

D．

【点评】本题考查空间中直线与平面间的位置关系，解题时要认真审题，注意立体几何中定理和公理的灵活运用，属于基本知识的考查．

2．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β（　　）

A．α⊥β，α∩β=l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥α

C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项B正确．根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项C和D是否正确，

【解答】解：

α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；

n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确；

α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；

α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；

故选B

【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．

3．已知a，b是直线，α是平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．a⊥α，a⊥b⇒b∥αB．a⊥b，a∥α⇒b⊥aC．a∥b，b∥α⇒a∥αD．a⊥α，a∥b⇒b⊥α

【分析】根据直线与平面平行的判断定理及其推论对A、B、C、D四个选项进行一一判断；

【解答】解：

A、a⊥α，a⊥b⇒b∥α或b⊂α，故A不正确；

B、a⊥b，a∥α⇒b⊥α，b也可能与α不垂直，故B错误；

C、a∥b，b∥α⇒a∥α，若a⊂α，则结论不成立，故C错误；

D、a⊥α，a∥b⇒b⊥α，满足直线与平面垂直的判定定理，故D正确；

故选D．

【点评】此题考查直线与平面平行与垂直的判断定理的应用，这些知识要熟练掌握．

4．在空间中，有如下命题：

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；

③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；

④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β．

其中正确命题的个数为（　　）个．

A．0B．1C．2D．3

【分析】由射影的定义、两平面平行的定义和面面垂直的性质定理，逐项判断．

【解答】解：

两平行线在同一平面内的射影还可能是两个点，故①错；

两平面平行则无公共点，平面α内任意一条直线m∥平面β，故②对；

由面面垂直的性质定理，少面面垂直条件，故③错；

三点位于平面异侧也满足距离相等，故④错；

综合可得，正确命题为②．

故选B．

【点评】本题考查了空间线面的位置关系的定义及平行和垂直定理的理解，借此考查直观感知能力和空间想象能力，难度较小．

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　）

A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m∥α，n⊂α，则m∥n

【分析】A．若m∥α，m∥β，则α∥β，可由面面平行的条件判断；

B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α；

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直的判断定理作出判断；

D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面．

【解答】解：

A．若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；

B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n⊂α，故不正确；

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，正确；

D．m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故不正确．

故选：

C．

【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本．

6．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（　　）

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β

【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．

【解答】解：

A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；

B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；

C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；

D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．

故选B．

【点评】考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念．

7．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，b⊥a，则b⊥α

C．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥α

D．若a⊥α，a∥β，则α⊥β

【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．

【解答】解：

以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）

对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）

对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）

由A、B、C都不对，得应该选择D选项．

故答案为D

【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．

8．已知m、n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（　　）

（1）α∩β=m．n⊂α，n⊥m，则α⊥β

（2）α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m

（3）m⊥α，m⊥β，则α∥β

（4）m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

A．

（1）、

（2）B．（3）、（4）C．

（2）、（3）D．

（2）、（4）

【分析】由线面平行、垂直判定定理性质定理，面面平行、垂直的判定定理即可依次判断

【解答】解：

对于

（1）由线面垂直的判定定理知，n不一定垂直于β，所以由线面垂直的判定定理知α不一定垂直于β，所以

（1）不正确

对于

（2）当α与β的交线平行于γ时，m、n平行，所以

（2）不正确

对于（3）过直线m作两个平面，分别于面α、β相交于直线a、b和c、d，则a∥c，b∥d，又a、b相交，c、d相交，所以α∥β，所以（3）正确

对于（4）∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，所以m⊆β或m∥β

当m⊆β时，由面面垂直的判定定理知α⊥β

当m∥β时，可在β内作直线a，使得a∥m，则a⊥α，由线面垂直的判定定理知α⊥β

∴（4）正确

故选B

【点评】本题考察直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，须熟练应用线面、面面垂直的判定定理与性质定理．属简单题

9．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题中不正确的是（　　）

A．α∥β，m⊥α，则m⊥β

B．m∥n，m⊥α，则n⊥α

C．n∥α，n⊥β，则α⊥β

D．α∩β=m，n与α，β所成的角相等，则m⊥n

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【解答】解：

α∥β，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故A正确；

m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；

n∥α，n⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；

α∩β=m，n与α，β所成的角相等，则m与n相交、平行或异面．

故选：

D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．

10．设α，β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是（　　）

A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且m∥α

C．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β，且l∥m

【分析】利用直线与平面平行的性质关系，判断A、B、C，利用直线与平面的垂直与平行的性质关系，判断D，推出结果．

【解答】解：

条件A中，增加上l与m相交才能判断出α∥β，A错．

由条件B、C都有可能α与β相交，排除B和C．

而垂直于同一直线的两个平面平行，D成立．

故选D．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．